高中竞赛班考试题及答案

高中竞赛班考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪个函数在定义域内是单调递增的？（）A.\(y=-x^2\)B.\(y=2^{-x}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，则\(a_5=\)（）A.8B.10C.12D.145.直线\(2x-y+3=0\)的斜率是（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)6.函数\(y=\sqrt{x-1}\)的定义域是（）A.\((-\infty,1]\)B.\((-\infty,1)\)C.\([1,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)7.若\(a>b\)，则下列不等式一定成立的是（）A.\(a^2>b^2\)B.\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)C.\(a-1>b-1\)D.\(ac^2>bc^2\)8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.1B.2C.3D.49.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)10.抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标是（）A.\((0,2)\)B.\((0,-2)\)C.\((2,0)\)D.\((-2,0)\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=|x|\)2.已知\(a,b\inR\)，则“\(a>b\)”是“\(a^3>b^3\)”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列关于直线方程的说法，正确的有（）A.点斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)适用于不垂直于\(x\)轴的直线B.斜截式方程\(y=kx+b\)适用于不垂直于\(x\)轴的直线C.两点式方程\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)适用于不垂直于\(x\)轴和\(y\)轴的直线D.截距式方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)适用于不过原点且不垂直于\(x\)轴和\(y\)轴的直线4.已知等比数列\(\{a_n\}\)，公比\(q>0\)，\(a_1=1\)，则下列说法正确的有（）A.数列\(\{a_{2n}\}\)是等比数列B.数列\(\{\frac{1}{a_n}\}\)是等比数列C.若\(q=2\)，则\(a_{10}=512\)D.若\(q=\frac{1}{2}\)，则\(S_5=\frac{31}{16}\)5.下列三角函数值为正的有（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos150^{\circ}\)C.\(\tan300^{\circ}\)D.\(\sin210^{\circ}\)6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,1)\)，则（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)B.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}\)C.\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角D.\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)上的投影向量为\(\frac{1}{5}\overrightarrow{b}\)7.已知函数\(y=f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，则下列结论正确的有（）A.\(f(0)=0\)B.\(f(-x)+f(x)=0\)C.若\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上有最小值\(-1\)，则\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上有最大值\(1\)D.\(y=f(|x|)\)是偶函数8.已知圆\(C:(x-1)^2+(y-2)^2=4\)，则下列点在圆内的有（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((2,2)\)D.\((3,3)\)9.对于函数\(y=\log_2x\)，下列说法正确的有（）A.函数图象过点\((1,0)\)B.函数在\((0,+\infty)\)上单调递增C.函数是奇函数D.函数值域为\(R\)10.已知\(a,b,c\)分别是\(\triangleABC\)的内角\(A,B,C\)的对边，若\(a=2\)，\(b=3\)，\(C=60^{\circ}\)，则（）A.\(c=\sqrt{7}\)B.\(\cosA=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)C.\(\sinB=\frac{3\sqrt{21}}{14}\)D.\(\triangleABC\)的面积为\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)三、判断题（每题2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=3^x\)与\(y=\log_3x\)互为反函数。（）3.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）4.等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）5.函数\(y=\sinx\)的图象关于\(y\)轴对称。（）6.直线\(x+y-1=0\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切。（）7.如果\(a>b\)，\(c>d\)，那么\(ac>bd\)。（）8.若\(f(x)\)是周期函数，周期为\(T\)，则\(f(x+2T)=f(x)\)。（）9.等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=-1\)，则\(a_{2023}=-1\)。（）10.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的图象可以由\(y=\frac{1}{x}\)的图象向右平移1个单位得到。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=2x^2-4x+3\)的对称轴和顶点坐标。2.已知数列\(\{a_n\}\)是等差数列，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_7\)的值。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)和\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\)。4.求不等式\(x^2-3x+2<0\)的解集。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的单调性。2.讨论等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)的情况。3.讨论直线\(y=kx+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系。4.讨论三角函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\neq0,\omega>0)\)的性质。答案一、单项选择题1.C2.B3.B4.B5.A6.C7.C8.D9.B10.C二、多项选择题1.ACD2.ABC3.ABCD4.ABCD5.A6.ABD7.ABCD8.BC9.ABD10.ABCD三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，这里\(a=2\)，\(b=-4\)，对称轴\(x=1\)。把\(x=1\)代入函数得\(y=2-4+3=1\)，顶点坐标为\((1,1)\)。2.因为\(\{a_n\}\)是等差数列，则\(2a_5=a_3+a_7\)，已知\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，所以\(a_7=2a_5-a_3=2\times9-5=13\)。3.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times2+3\times(-1)=2-3=-1\)，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+2,3-1)=(3,2)\)，\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\)。4.由\(x^2-3x+2<0\)得\((x-1)(x-2)<0\)，解得\(1<x<2\)，解集为\((1,2)\)。五、讨论题1.对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，当\(a>0\)时，在\((-\infty,-\frac{b}{2a})\)上单调递减，在\((-\frac{b}{2a},+\infty)\)上单调递增；当\(a<0\)时，在\((-\infty,-\frac{b}{2a})\)上单调递增，在\((-\frac{b}{2a},+\infty)\)上单调递减。2.当\(q=1\)时，\(S_n=na_1\)；当\(q\neq1\)时，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)。3.圆心\((0,0)\)到直线\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)的距离\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。当\(d=1\)即\(k=0\)时，相切；