2026年湖南常德市高三第一次模拟考试数学试题（含详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．集合的真子集的个数为（

）A．9 B．8 C．7 D．63．已知函数，则（）A． B．C． D．4．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为y=2.2x+a，则（

）235657915A．经验回归直线必过点 B．C．对应的样本点的残差为 D．当时，预测值y=15.65．将5个互不相同的球全部放入3个彼此不同的盒子中，每个盒子至少1个球，则不同的放球方法共有（

）A．36种 B．72种 C．108种 D．150种6．已知函数在上单调递减，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．57．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知正方体的棱长为2，点分别是正方形和的中心，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面周长为（

）A． B． C． D．二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.9．已知复数，且，则（

）A．是纯虚数 B．C．若，则 D．若，则是实数10．若函数的部分图象如右图所示，且，则（

）A．B．是的一个对称中心C．D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，则（

）A．直线斜率的取值范围是B．当直线过原点时，的面积为C．若，则D．若直线的斜率为，且，则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．记等差数列的前项和为，若，则_____.13．在等边三角形中，，点在边上，且满足，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值为_____.14．某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题.规则如下:任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是，则的值为_____.四、解答题15．记的内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)若，，求的周长．16．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.(1)证明：；(2)若，点在棱上，若二面角的大小为，判断E点的位置.17．为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）；(2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望；(3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率.18．已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T.(1)求抛物线C的标准方程；(2)证明：点T在定直线上；(3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程.19．若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，，.(1)若正实数x，y满足，且，求的值；(2)若代数式为二元轮换式，求证：；(3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】先根据向量平行的坐标表示得出的方程，求解的值，再分别判断充分性和必要性是否成立，从而确定与的条件关系.【详解】若平面向量，，则等价于，又因为，所以，化简可得：，解得或.若，则一定满足，充分性成立，若，还可以取，不能推出，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，选A.2．C【分析】先求集合，进而求解.【详解】由题意得：，解得，又，所以，所以，所以，所以集合的真子集的个数为.3．C【分析】根据题意，由的解析式对其求导可得，令可得：，可解得的值，即可得函数的解析式，进一步可判断各个选项.【详解】因为，所以，则，得，故B错误；所以，，则，，，故AD错误，C正确.故选：C.4．D【分析】先求即可判断A，由即可判断B，求出的残差即可判断C，由回归方程求出即可判断D.【详解】由题意得：，所以经验回归直线必过点，故A错误；由，故B错误；所以，当时，，所以对应的样本点的残差为，故C错误；当时，，故D正确.5．D【分析】依题意，将5个不同的球按照（3，1，1）和（2，2，1）的方式分组，求出分组的方法种数，然后再全排列即可.【详解】若每个盒子中球的个数分别为2、2、1，则有种分法，再把这3组分别放入3个盒子中，有种方法，共有种方法，若每个盒子中球的个数分别为3、1、1，则有种分法，再把这3组分别装入3个盒子中，有种方法，共有种方法，总共有种方法.6．B【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以，解得，所以的最小值为2.7．D【分析】设得，进而得，利用椭圆的定义得，又，由，利用二倍角的余弦公式得，最后由离心率的公式即可求解.【详解】设，由，所以，所以，，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以.8．A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面周长即可.【详解】正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，侧面的中心，侧面的中心，且，则，显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点，则，而平面，则，即，令，得点，令，得点，连，平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，则，由，即，令，得点，连，因为平面平面，则平面与平面的交线过点，与直线平行，过作交于，则，由得，即，显然平面与平面都相交，则平面与直线相交，令交点为，，由得，连接得截面五边形，则，所以截面五边形的周长为.9．AD【分析】根据共轭复数、复数模、复数方程几何意义对各选项进行判断.【详解】在A选项中，的共轭复数为，则：，已知，该复数实部为0、虚部不为0，符合纯虚数定义，A正确，在B选项中，算得：，，若二者相等，需要满足且，即推出，与题设矛盾，B错误，在C选项中，即，整理得，满足该方程的有无数组，对应有无数种可能，不只有，C错误，在D选项中，若，则，因此，则：，，因此结果为实数，D正确.10．ABD【分析】由题得得即可判断A，再由定义域得，进而判断B，由结合诱导公式即可求得进而判断D，计算结合诱导公式即可判断C.【详解】由题意得：，故A正确；由，所以，又，当时，，所以，所以，所以是的一个对称中心，故B正确；又，所以，故D正确；所以，所以，又，所以，故C错误.11．ACD【分析】先根据双曲线性质确定基本参数，再结合直线方程与双曲线方程联立，几何性质、定义等知识逐一分析各选项.【详解】因为双曲线，所以，焦点，渐近线斜率，离心率，在A选项中，设直线，联立双曲线得：，故,故，而直线与双曲线左、右支各有一个交点，故,故，所以，A正确，在B选项中，当直线过原点时，斜率，则直线，代入双曲线得：，则，面积，B错误，在C选项中，设，满足，设，则：，由二倍角公式：，又，故，C正确，在D选项中，因为直线的斜率为，且过点，则直线方程为，因为，所以它们的中点坐标为，斜率，与直线的斜率乘积为，故直线是的垂直平分线，因此直线上任意点到和的距离相等，即，由双曲线定义可得：在左支⟹∣PF在右支⟹∣QF1因此，D正确.12．40【详解】在等差数列中，若，则，由，可得，根据等差数列求和公式可得：.13．2【分析】先通过向量加法法则用、和参数表示与，再根据向量数量积分配律展开并结合已知条件得到关于的二次函数，最后利用二次函数性质求出最小值.【详解】为上一点，设，，，，，根据二次函数性质，当时，.14．50【分析】根据全概率公式，结合每个箱子中第三次抽到物理题的概率，求出第三次抽取的题目恰为物理题的概率表达式，再根据已知概率值求解.【详解】设表示“选到第个箱子”，则，设表示“第三次抽取得题目恰为物理题”，则，不放回抽样中，每次抽到物理题的概率与抽样顺序无关，因此第个箱子中第三次抽到物理题的概率为：，由全概率公式可得：，，即，求解可得：.15．(1)(2)【分析】（1）由辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由正弦定理以及二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角，进而可得出为直角，可得出，结合勾股定理求出、的值，由此可得出的周长.【详解】（1）由可得，所以，因为，则，故，解得.（2）由及正弦定理得，因为、，所以，，可得，故.所以，所以，由勾股定理可得，即，解得，故，因此，的周长为.16．(1)因为平面平面，且平面平面，因为，且点是的中点，所以，所以平面，平面，所以；(2)点在棱靠近点的三等分点处.【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，判断线面垂直，得到线线垂直；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法表示二面角，即可求解.【详解】（1）略（2）由条件可知，，所以，又因为，所以是等边三角形，，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，设平面的法向量为，，令，，，所以平面的法向量为，平面的法向量为，，解得：，所以点在棱靠近点的三等分点处.17．(1)分(2)分布列见解析，数学期望为(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可；（2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望；（3）利用全概率公式可得.【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为：(分)；（2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为，即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为；易知，所以，，，.所以X的分布列为X的数学期望是.（3）由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人，则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是.已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，这名学生是“滇超达人”的概率为.18．(1)(2)抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为，直线与抛物线交点、坐标分别为、且，联立直线方程和抛物线方程可得，化简可得，根据韦达定理可得，，对抛物线求导可得，因此在处的切线斜率为，则切线方程为，因为在抛物线上，所以，代入可得，同理可得在处的切线方程为，联立两条切线方程可得，化简可得，因为，所以解得，代入可得，因为，所以，即点在定直线上.(3)，【详解】（1）抛物线的准线方程为，由题意可知，准线方程为，即，解得，因此抛物线的标准方程为.（2）略（3），，因此，设点到直线的距离为，，的方程为，，因此，因为，所以当时，取到最小值1，因此的最小值为，此时直线的方程为.19．(1)(2)由于为二元轮换式，即，故．构造函数，，故时，，单调递减，时，，单调递增．不妨设，由于，，故．由于，故．要证，只需证，只需证，化简得，只需证，构造函数，．．故在上单调递增，故，即，故得证．(3)【分析】（1）直接代入．（2）根据轮换式条件，可得．这是极值点偏移问题，首先构造函数，分析单调性，然后利用该函数单调性转化不