2026年北京师范大学大同附属中学校高一期中考试数学试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北师大大同附中2025-2026学年第二学期高一年级数学学科期中考试题考试时长：120分钟命题人：注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上．一、单选题（每小题5分，共40分）1．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．12．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（

）A． B． C． D．3．若数据，，，，的方差为9，则数据，，，，的方差为（

）A．2007 B．1989C．36 D．184．在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（

）A． B． C．或 D．或5．已知向量，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（

）

A． B． C． D．7．如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（

）A． B． C． D．408．在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．二、多选题（每小题6分，共18分）9．将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（

）A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是10．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（

）A．若，则一定有B．若是锐角三角形，则一定有成立C．若，则一定是直角三角形D．若，则一定是锐角三角形11．如图，在等腰梯形中，，E为的中点，点在菱形的内部及边界上运动．设，其中（

）A．若B，P，D三点共线，则B．x，y的约束条件为C．若，则的取值范围是D．若，则的取值范围是三、填空题（每小题5分，共15分）12．小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为________.13．中，，D在上，，，则______.14．数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________．四、解答题（共77分）15．已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.(1)设复数，求；(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.16．已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且．(1)求与夹角的大小；(2)设，求；(3)设，求的取值范围．17．统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？(2)估计该地居民的月收入的中位数；(3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数．18．在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)求的取值范围；(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点．(1)若，且面积为．（i）求角B；（ii）求；(2)若，，，的面积为，，，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】由复数的除法运算得到，从而虚部为.【详解】复数满足，，则的虚部为.故选：A.2．C【分析】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解.【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，样本空间包含，共个，抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为.故选：C.3．C【分析】根据方差的意义分析，每个数据都减去2025，方差不变，原数据都乘2，则方差是原来的4倍即可.【详解】因数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差应是.故选：C.4．A【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角.【详解】由正弦定理，，又，则，所以.故选：A.5．A【分析】利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果.【详解】由，得，由，得，则，因此在上的投影向量为．故选：A．6．A【分析】分析可知，该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，因为该电路正常工作为事件，则，故选：A．7．D【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出.【详解】在中，，则，由图，可知，，则，在中，由正弦定理，得，在中，.故选：D.8．C【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】，，在中，，，为线段上的一点，，且易得，.当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.故选：C9．BD【分析】利用互斥事件，对立事件的概念求解.【详解】事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确.故选：BD10．ABC【分析】根据正弦定理以及三角形的性质，即可判断A，根据锐角三角形角的关系，以及三角函数的单调性，即可判断B，根据余弦定理角化边，即可判断C，利用正弦定理，结合余弦定理，以及三角形的性质，即可判断D.【详解】对于A，若，根据正弦定理得，结合三角形中“大边对大角”，可得，故A项正确；对于B，若是锐角三角形，则､均为锐角，且，可得，两边取正弦得，即，故B项正确；对于C，若，则，去分母得，整理，可知是以为斜边的直角三角形，故C项正确；对于D，若，则，即，由正弦定理得，可得，结合，可知为锐角，但不能得到是锐角三角形，故D项不正确.故选：ABC.11．BC【分析】建立平面直角坐标系，根据向量以及数量积、向量的模分析求解即可.【详解】由题意，等腰梯形中是边长为1的菱形，，设，在轴上.设..由，则.选项A.三点共线，直线方程为，将代入，即，化简得，A错误.选项B.因为在菱形内部及边界，菱形四个顶点对应为，四条边界为，，，，故约束条件为，B正确.选项C.即，满足条件且在菱形内的点是单位圆上弧.，则，参数化，得，C正确.选项D.由，根据圆周角定理，的轨迹由以​为圆心的劣弧和以​为圆心的劣弧组合而成(不包含点E，C)，到圆心​距离为，圆的半径为，最小值为​​，到圆心​距离为，圆的半径为，最大值为​​，且，则的取值范围是，D错误.12．14.5##【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数求解方式求解即可.【详解】将这组数据从小到大排列为：11，12，13，13，13，14，15，15，16，17，又10×60%=6，所以这组数据的第60百分位数为.故答案为：14.513．【分析】方法一：根据的面积等于面积与面积之和即可求解；方法二：利用直角三角形边与角的关系表示出，再用正弦定理表示出即可求解.【详解】解法1：的面积等于面积与面积之和，所以，即.于是.解法2：直角中，因为，所以.因为，所以.在中，由正弦定理可得，从而.所以.于是.故答案为：.14．【分析】根据相互独立事件的概率公式求出夺冠，夺冠的概率，再由对立事件的概率关系和概率的对称性可得解.【详解】进入决赛的概率为，进入决赛的概率为，夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为，夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为，所以或夺冠的概率为，由概率的对称性可得，夺冠的概率为.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长；（2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1），∵是纯虚数，，解得，，则；（2），复数，∵在复平面对应的点在第一象限，，解得，实数的取值范围是.16．(1)(2)或(3)【分析】（1）根据向量垂直以及向量的内积公式求解即可.（2）根据向量的模以及向量内积代入求解即可.（3）根据向量内积以及向量的模不等式求解即可.【详解】（1）已知，为单位向量，且，则，解得.因为，所以.（2）已知，则，化简，又，，所以，解得或.（3）已知等式，展开得，代入​，整理得.，，代入得，设，不等式化为，解得.17．(1)25(2)3900(3)3900【分析】（1）根据频率之和为1求解，即可根据抽样比求解，（2）根据中位数的计算公式即可求解.（3）根据平均数的计算公式即可求解.【详解】（1）因为，所以，月收入在的频率为0.25，所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为；（2）收入在的频率是，收入在的频率是，所以样本数据的中位数在，且为（元）.（3）（元），所以平均数为3900元.18．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小；（2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解；（3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到，设，进而求得长度的最大值.【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，整理得，又由余弦定理，可得，又因为，所以.（2）由正弦定理，可得，因为为锐角三角形，且，可得，则，可得，则，所以，即，所以的取值范围.（3）设长度为，由，可得，因为，可得，所以，可得，又由余弦定理得，所以，则，设，由，可得，所以长度的最大值为．19．(1)（i）；（ii）(2)．【分析】（1）（