北师大版八年级数学上册勾股定理测试题

北师大版八年级数学上册勾股定理测试题---北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试题考试时间：90分钟满分：100分注意事项：1.本试卷分选择题、填空题和解答题三部分。2.答题前，务必将自己的姓名、班级填写清楚。3.请在指定区域内作答，字迹工整，卷面整洁。一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是()A.3，4，5B.5，12，13C.7，24，25D.8，15，162.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度是()A.5B.7C.D.3.若一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边为6，则另一条直角边的长是()A.6B.8C.10D.124.下列说法中，正确的是()A.若三角形的三边长分别为a，b，c，则B.若直角三角形的两边长分别为a，b，则第三边长为C.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方D.如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形5.如图，在一个高为3米，宽为4米的大门前，在距离门脚1米的地方有一个障碍物，一个长为5米的梯子能否越过这个障碍物到达大门上方？()(说明：此处默认梯子底端在障碍物同侧地面，且梯子顶端需越过大门顶端)A.能B.不能C.无法确定D.以上答案都不对6.已知一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，则这个直角三角形的面积是()A.12B.6C.10D.247.若等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为()A.B.C.D.38.一艘轮船从港口出发，向正东方向航行12海里后，转向正南方向航行5海里，这时轮船与港口的距离是()A.11海里B.13海里C.15海里D.17海里9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，则CD的长为()A.2.5B.3C.4D.510.下列命题中，假命题是()A.三个内角的度数之比为1:2:3的三角形是直角三角形B.三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形C.两条直角边长度分别为a和b，则斜边的长度为D.两个锐角互余的三角形是直角三角形二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，则c=______。12.若一个三角形的三边长分别为6，8，x，则x的值是______时，这个三角形是直角三角形。(写出所有可能)13.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是______米。14.已知一个直角三角形的面积为12，一条直角边为6，则另一条直角边为______，斜边长为______。15.如图，在一个长为10米，宽为8米的长方形草坪上，修建了两条宽度均为1米的互相垂直的小路（图中阴影部分），则草坪的实际面积为______平方米。16.若△ABC的三边长a，b，c满足关系式，则△ABC的形状是______三角形。三、解答题(本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)如图，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12。求证：△ABC是等腰三角形。18.(8分)一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅测得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=13，BC=12，请你判断这个零件是否符合要求，并说明理由。19.(8分)如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。(1)这个梯子的顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？20.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm。(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB的长；(3)求AB边上的高CD的长。21.(10分)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短线路是多少？22.(12分)已知：在△ABC中，AB=AC=10，BC=16。点D在BC上，且BD=7。(1)求AD的长；(2)判断△ABD的形状，并说明理由；(3)点P在边AB上运动（点P不与点A、B重合），设AP=x，△PCD的面积为S。请用含x的代数式表示S，并求出S的最大值。---参考答案与解析一、选择题1.D解析：A、B、C均为常见勾股数。D选项中，，不满足勾股定理，故选D。2.A解析：直接应用勾股定理，，故选A。3.B解析：由勾股定理得，另一条直角边为，故选B。4.D解析：A选项缺少“直角三角形”条件；B选项未明确a、b是否为直角边；C选项应强调“两条直角边的平方和等于斜边的平方”；D选项是勾股定理逆定理的表述，正确，故选D。5.A解析：大门高3米，宽4米，障碍物距离门脚1米。若梯子底端在障碍物外侧，则梯子底端距门脚至少1米。考虑临界情况，梯子底端距门脚1米，此时梯子顶端高度的平方为，大于3的平方9，故能越过。(或者理解为梯子需要到达大门上方，则至少需要够到3米高，此时梯子底端距离墙的距离的平方为，小于(1+4)=5米的平方，故能。此处题目描述略有歧义，但核心是考察勾股定理在实际场景的估算应用，倾向于A。)6.B解析：设两直角边为a、b，则a+b=7，。由得ab=12，面积为ab/2=6，故选B。7.C解析：等边三角形高为，面积为，故选C。8.B解析：两次航行路线垂直，构成直角三角形，距离为，故选B。9.A解析：直角三角形斜边中线等于斜边一半。AB=5，故CD=2.5，故选A。10.C解析：C选项应为，漏掉根号，故为假命题，选C。二、填空题11.13解析：直接应用勾股定理计算。12.10或解析：当x为斜边时，x=10；当8为斜边时，。13.12解析：设旗杆高x米，则绳子长(x+1)米。根据勾股定理，，解得x=12。14.4，解析：另一条直角边为。斜边长为。15.63解析：总面积为10×8=80平方米。小路面积为10×1+8×1-1×1=17平方米（注意减去重叠部分）。草坪面积为80-17=63平方米。16.直角解析：由题意可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，即a=5，b=12，c=13。满足，故为直角三角形。三、解答题17.证明：∵AD是BC边上的中线，BC=10，∴BD=DC=5。在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5。∵，即。∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°。在Rt△ADC中，AC²=AD²+DC²=12²+5²=144+25=169。∴AC=13。∴AB=AC，故△ABC是等腰三角形。18.解：这个零件符合要求。理由如下：在△ABD中，AD=4，AB=3，BD²=AB²+AD²=3²+4²=9+16=25，∴BD=5。在△BDC中，BD=5，BC=12，DC=13。∵BD²+BC²=5²+12²=25+(12×12)=25+144=169=13²=DC²。∴∠DBC=90°。又∵∠A显然为直角（3,4,5）。∴这个零件符合要求。19.解：(1)设梯子顶端离地面h米。根据勾股定理，h²+7²=25²。h²=625-49=576。∴h=24（米）。答：这个梯子的顶端离地面24米。(2)顶端下滑4米后，新的高度为24-4=20米。设此时梯子底端离墙x米。根据勾股定理，20²+x²=25²。x²=625-400=225。∴x=15（米）。滑动距离为15-7=8（米）。答：梯子的底端在水平方向滑动了8米。20.解：(1)△ABC的面积=(AC×BC)/2=(9×12)/2=54(cm²)。(2)在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²=9²+12²=81+144=225。∴AB=15(cm)。(3)∵面积也可以表示为(AB×CD)/2。∴54=(15×CD)/2。解得CD=(54×2)/15=7.2(cm)。21.解：将台阶的侧面展开，可以得到一个长方形。这个长方形的长为台阶的长，即20dm。长方形的宽为各级台阶的（宽+高）之和：(3+2)dm×3级=15dm。蚂蚁从A到B的最短路线就是这个长方形的对角线长。根据勾股定理，最短线路长²=20²+15²=400+225=625。∴最短线路长=25(dm)。答：蚂蚁爬行的最短线路是25dm。22.解：(1)过点A作AE⊥BC于点E。∵AB=AC=10，BC=16，∴BE=EC=8。在Rt△ABE中，AE²=AB²-BE²=10²-8²=100-64=36。∴AE=6。∵BD=7，∴DE=BE-BD=8-7=1。在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²=6²+1²=36+1=37。∴AD=√37。(2)△ABD是直角三角形。理由如下：在△ABD中，AB=10，BD=7，AD=√37。∵AD²+BD²=37+49=86，AB²=100。86≠100。(哦，这里计算有误，应该是验证AB²,AD²,BD²的关系)正确应为：AB²=100，AD²+BD²=37+49=86<100。或者，我们换一种思路，计算AB²+BD²与AD²？也不对。修正：在△ABD中，AB=10，BD=7，AD=√37。我们看AD²+BD²=37+49=86，AB²=100，86<100，所以∠ADB为钝角？哎呀，前面计算AE=6，DE=1是正确的。那么AD=√(6²+1²)=√37≈6.08。那么在△ABD中，三边长为AB=10，BD=7，AD≈6.08。正确判断方法：AB最长。AD²+BD²≈37+49=86<10²=100。所以根据余弦定理，∠ADB是钝角。所以△ABD是钝角三角形。（非常抱歉，之前的判断有误，特此更正。）答：△ABD是钝角三角形。(3)过点P作PF⊥BC于点F。∵PF⊥BC，AE⊥BC，∴PF∥AE。∴△BPF∽△BAE。∴PF/AE=BP/BA。∵AP=x，AB=10，∴BP=10-x。∴PF/6=(10-x)/10。∴PF=(6(10-x))/10=(3(10-x))/5。CD=BC-BD=16-7=9。△PCD的面积S=(CD×PF)/2=(9×(3(10-x)/5))/2=(27(10-