人教版九年级下册数学 27.2.1.3 相似三角形的判定（第三课时） 导学案

27.2.1.3相似三角形的判定第三课时导学案一、学习目标1.掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似,2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.二、复习巩固问题1相似三角形的概念符号表示如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果：∠A=____，∠B=____，∠C=____.AB：A'B'=____________=____________.那么△ABC∽△A'B'C'.注意：在书写两个三角形相似时，一定要把对应顶点写在对应位置.问题2如何判断两个三角形是否相似？三、核心知识1.用两组角判定两个三角形相似的定理：分别相等的两个三角形相似.2.由三角形相似的条件可知，判定直角三角形相似：一个相等，那么这两个直角三角形相似.两组，那么这两个直角三角形相似.3.直角三角形相似的特殊情况‌：如果一个直角三角形的和一条与另一个直角三角形的和一条对应成比例，那么这两个直角三角形相似.四、新知探究1.【小组讨论】分别画△ABC，△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β.比较画的两个三角形，∠C和∠C′相等吗？对应边的比AB：A′B′、BC：B′C′、AC：A′C′相等吗？这样的两个三角形相似吗？证明：如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，求证：△ABC∽△A′B′C′.改变∠α，∠β的大小，再试试.以上结论还成立吗？巩固练习1.如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E.求证：∆EFB~∆DEC；若AD=10，CD=6，求EF的长.2.如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠A=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.2.教材P35例2：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗?如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，𝐴𝐵/𝐴′𝐵′=𝐴𝐶/𝐴′𝐶′，求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.巩固练习1.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由.(1)∠A=55°，∠E=35°；(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9.2.如图,在正方形ABCD中，M为BC上点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB=12，BM=5，求DE的长.课堂检测1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形()A．一定不相似B．不一定相似C．一定相似D．不能确定 2．下列说法中正确的是()A．两个直角三角形相似B．两个等腰三角形相似C．两个等边三角形相似D．两个锐角三角形相似3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求DE：BC的值．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.5.如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°.求证：△ACD∽△BEC.阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．（四）链接中考1.(2024·河南·中考真题)如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB=4，则EF的长为()A.12B.1C.4参考答案复习巩固问题1相似三角形的概念定义：根据相似多边形的定义，三个角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.符号表示如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.AB：A'B'=BC：B′C′=AC：A′C′.那么△ABC∽△A'B'C'.注意：在书写两个三角形相似时，一定要把对应顶点写在对应位置.问题2如何判断两个三角形是否相似？(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.(2)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(3)三边成比例的两个三角形相似.(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三、核心知识1.用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.2.由三角形相似的条件可知，判定直角三角形相似：一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似.两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.3.直角三角形相似的特殊情况‌：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.四、新知探究1.【小组讨论】分别画△ABC，△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β.比较画的两个三角形，∠C和∠C′相等吗？对应边的比AB：A′B′、BC：B′C′、AC：A′C′相等吗？这样的两个三角形相似吗？∠C=∠C′AB：A′B′=BC：B′C′=AC：A′C′△ABC∽△A′B′C′改变∠α，∠β的大小，再试试.以上结论还成立吗？成立证明：如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，ADAB=AE过点D作DF∥AC，交BC于点F，则ADAB=CFCB，∴AEAC=CF∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF，∴AEAC=DECB，则ADAB=AEAC=∴△ADE∽△ABC，∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B′，AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.巩固练习1.如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E.（1）求证：∆EFB~∆DEC；解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∠A=∠B=∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°根据折叠的性质得：∠DEF=∠A=90°，∴∠BEF+∠CED=90°∴∠BEF=∠CED∴∆EFB~∆DEC（2）若AD=10，CD=6，求EF的长.解：根据折叠的性质得：DE=AD=10，∵CD=6，∴CE=DE2-CD∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10.∴BE=2.2.如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠A=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°，∴∠A=∠DBC.又∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC.2.教材P35例2：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°，又∠C=90°，∠A=∠A.∴△AED∽△ABC.∴ADAC=AEAB，∴AD=AC·AEAB我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗?如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，𝐴𝐵/𝐴′𝐵′=𝐴𝐶/𝐴′𝐶′，求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证BCB'C'=ABA'B'=ACA'C'

，若设AB证明：设ABA'B'=ACA'C'=k，则AB=kA′B′由勾股定理，得BC=AB2-AC2，B′C′=∴BCB'C'=AB2-AC2∴BCB'C'=AB∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.巩固练习1.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由.(1)∠A=55°，∠E=35°；(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9.(1)解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°.∵∠A=55°，∴∠B=90°-∠A=35°，∴∠B=∠E，∴△ABC∽Rt△DEF，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似；(2)解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°.∵ACDF=96=32，BCEF=128=32∴△ABC∽Rt△DEF，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°.在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，∴BC=102-8∵ABDE=1015=32，BCEF=69=32，则ABDE=BCEF，∴Rt理由是：有斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.2.如图,在正方形ABCD中，M为BC上点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB=12，BM=5，求DE的长.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD，∠B=90°∴AD∥BC.∠AMB=∠EAF∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°,∠B=∠AFE，△ABM∽△EFA.（2）解：∠B=90°，AB=12，BM=5，∴由勾股定理得AM=13，∴AD=AB=12.∵F是AM的中点AF=12AM=6.5∵△ABM∽△EFA，∴BM：AF=AM：AE，即5：6.5=13：AE，∴AE=16.9.∴DE=AE-AD=4.9.课堂检测1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(C)A．一定不相似B．不一定相似C．一定相似D．不能确定 2．下列说法中正确的是(C)A．两个直角三角形相似B．两个等腰三角形相似C．两个等边三角形相似D．两个锐角三角形相似3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求DE：BC的值．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，则△ADE∽△ABC，DE：BC＝AD：AB＝3：5.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC．∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.5.如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°.求证：△ACD∽△BEC.证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°.∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC.阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.