2026年高三上学期数学秋季开学摸底考03(全国)

年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考全部内容第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】由得，则在复平面内所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2．若，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A3．已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意：，，所以.故选：D4．已知集合，，则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由，则，根据对数函数的性质知，则.故选：B5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或与相交【答案】D【详解】对于A，若，则，又，则或，故A错误；对于B，由，可知可能平行或相交，故B错误；对于C，若，则有可能是，也可能，故C错误；对于D，由，可知可能平行或相交，故D正确.故选：D.6．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（） A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先角化边得出，在结合余弦定理求分别求出，，的值，最后在中用余弦定理即可求出的值.【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即，由余弦定理即，故，，在中由余弦定理可知：，在中由余弦定理可知：，整理得：即.故选：D7．若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（） A．2 B． C．4 D．【答案】C【详解】由得，所以圆心为，又圆关于直线对称，则直线过圆心，即，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以，故选：C.8．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】B【分析】通过对函数求导，满足，然后分类讨论利用导数法研究的符号，根据极小值点的概念判断即可.【详解】对函数求导得：，又由是函数的极小值点，所以，还需分析在附近的符号变化，令，则，，当时，，即在附近单调递增，又，所以当时，，当时，，满足0是的极小值点；当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以单调递增，此时无极小值点；当时，，即在附近单调递减，又，所以当时，，当时，，此时0是的极大值点，不符合题意；综上所述：a的取值范围为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，则（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为【答案】AD【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确；对于B，当时，，故，故B错误；对于C，，由，可得，解得，故C错误；对于D，当时，，此时在方向上的投影向量的坐标为，故D正确．故选：AD．10．下列选项正确的是（） A．若随机变量，且，则 B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D．已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为【答案】ACD【详解】对于A，若随机变量，且，又，所以，故A正确；对于选项B：第50百分位数（中位数）为：.故选项B错误.对于C，若样本数据的方差，则数据的方差，故C正确；对于D，样本中心为代入回归方程，得，解得，则，当时，，故样本点处的残差为，故D正确；11．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（） A． B． C．离心率 D．若，则【答案】ABD【详解】如图，∵，∴，，∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确；∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确；由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确；由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确，故选：ABD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则____________．【答案】2【详解】由题意知，所以，由及抛物线定义，得，解得．故答案为：2．13．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________．【答案】【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，，易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，，且点为边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则，解得，其表面积为.故答案为：.14．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则____________________.【答案】/【分析】求出，根据在上有且仅有3个极值点证明，求出，即可求解.【详解】，，，或，或.当，时，在上有且仅有3个极值点，，即，，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：看过没看过合计不超过35周岁302050超过35周岁153550合计4555100(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？(2)根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值；(3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)答案见解析(2)，.(3)分布列见解析，【分析】（1）计算的值，根据独立性检验判断即可；（2）根据条件概率及古典概型求解即可；（3）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望.【详解】（1）零假设：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联，根据表中数据，计算得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联.（2），.（3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人，可得的所有可能取值为1，2，3，此时，，，则的分布列为：123所以.16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，且．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【详解】（1）由题意，则，因为，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值为．17．（15分）已知数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和；(3)设，记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由的关系求解即可；（2）由题意，利用错位相减法和等比数列求和公式即可求解；（3）由题意得，由裂项相消法即可证明.【详解】（1）因为，所以，解得，又，所以，即，所以，即，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．（2）因为，所以，①，②①－②得，所以．（3）因为，所以，易知是增函数，所以，所以．18．（17分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点.（i）若为原点，求面积的最大值；（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）1.【分析】（1）根据椭圆对称性，用待定系数法求解椭圆方程；（2）（i）设直线方程，根据韦达定理表示三角形面积，进而进行判断；（ii）由可知直线的倾斜角互补，用距离公式表示并作比值求解.【详解】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以，所以，C的方程为.（2）设直线的方程为，点，，由消去得：，则，则或.，面积令，则，，当且，即时，面积的最大值为.（ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以，所以点在线段的垂直平分线上，所以.于是，，.所以，于是，因为，所以.所以的值1.19．（17分）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)①求证：有且仅有一个极值点；②当时，设的极值点为，若．求证：．【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性以及零点，即可判断函数的单调性，即可求函数的最小值；（2）①利用导数判断导函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可证明；②根据①的结果，得，再将不等式转化为，再利用导数，逐层判断函数的单调性，分和，利用最值证明不等式.【详解】（1）由，得，设，当时，，，令，则，所以函数在上单