河北省2026年数学中考试卷附同步解析

河北省2026年数学中考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）1．计算：a+a+b+b=（）A．2ab B．2a+2b C．a2b2 D．【答案】B【解析】【解答】解：a+a+b+b=2a+2b故答案为：B【分析】合并同类项即可求出答案.2．如图，点P在直线AB外，点C是直线AB上的动点，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．∠1>∠2 B．∠1=3∠2C．∠1-∠2=90° D．∠1+∠2=180°【答案】D【解析】【解答】解：由图象可得：

∠1+∠2=180°故答案为：D【分析】根据补角定义即可求出答案.3．计算：（）A． B．5 C． D．【答案】A【解析】【解答】解：故答案为：A【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.4．河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图2-1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2-2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（）A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形【答案】D【解析】【解答】解：由图象可得：

这个几何体的主视图中没有出现的图形是菱形故答案为：D【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.5．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色.如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类.用6g红色颜料和4g黄色颜料调配出的颜色属于（）A．①类 B．②类 C．③类 D．④类【答案】C【解析】【解答】解：，属于第③类

故答案为：C

【分析】根据题意求出红色原料的占比百分比，再根据类别所占百分比进行判断即可求出答案.6．计算：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：

=

=

=故答案为：A【分析】根据分式的减法，结合完全平方公式化简计算即可求出答案.7．如图，将一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则a的值为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】【解答】解：∵一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形

∴每个矩形的长为，宽为

由题意可得：

解得：a=8故答案为：B【分析】由题意可得每个矩形的长为，宽为，建立方程，解方程即可求出答案.8．掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为n的概率相等，则n=（）A．3 B．4 C．11 D．12【答案】D【解析】【解答】解：列表如下：和123456123456723456783456789456789105678910116789101112

∴共有36种等可能的结果，点数之和为2的结果有1种

∴点数之和为2的概率

A：点数之和为3的有2种，概率为，不符合题意；

B：点数之和为4的有3种，概率为，不符合题意；

C：点数之和为11的有2种，概率为，不符合题意；

D：点数之和为12的有1种，概率为，不符合题意；故答案为：D【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再分别求出点数之和为2的结果，及各选项的结果，再求出概率，再进行比较即可求出答案.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E.B'A，B'E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC

∴四边形AECD是平行四边形

∴AD=EC

∴BC=3AD=3EC=BE+EC

∴BE=2EC

由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA

∵AE∥DC

∴∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C

∴∠ENC=∠C

∴EN=EC

∴B'E=BE=2EN

∴

∵AE∥DC

∴∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA

∴△B'MN∽△B'AE

∴

∴故答案为：C【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形AECD是平行四边形，则AD=EC，再根据边之间的关系可得BE=2EC，由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA，根据直线平行性质可得∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C，则∠ENC=∠C，根据等角对等边可得EN=EC，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.10．如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（）A． B． C． D．2n°【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE

∵OB=OC

∴∠OCB=∠CBO=n°

∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-2n°

∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-(180°-2n°)=2n°-30°

∴

∴∠ADC=180°-∠E=180°-(n°-15°)=195°-n°故答案为：C【分析】连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，根据等边对等角可得∠OCB=∠CBO=n°，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.11．平面直角坐标系中有A（1，n），B（m，6），C（m，n）三点.若直线AB经过原点，则点C一定在（）A．函数的图象上 B．函数的图象上C．函数y=-x+5的图象上 D．函数y=6x的图象上【答案】B【解析】【解答】解：∵直线AB经过原点

∴设直线AB的解析式为y=kx

将点A（1，n）代入解析式可得，k=n

∴直线AB的解析式为y=nx

将点B代入解析式可得，mn=6

∵点C（m，n）

∴点C的横纵坐标的乘积为mn=6

对函数变形可得xy=6，满足点C的坐标特征

∴点C在函数的图象上故答案为：B【分析】设直线AB的解析式为y=kx，将点A，B坐标代入可得mn=6，再根据点C的坐标特征进行判断即可求出答案.12．如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m，n，则m-n=（）A． B． C． D．0【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点B作BJ∥x轴交直线l1于点J，过点F作EF∥x轴交直线l1于点E

∵CD∥x轴，GH∥x轴

∴CD∥BJ，GH∥EF

由图可得，l1过(0，0)，l2过(1，0)，(2，3)，l3过(0，3)，(3，2)，l4过(0，2)，(3，1)

设直线l1的解析式为y=ax

将点(1，3)代入可得，a=3

∴直线l1的解析式为y=3x

同理可得，l2：y=3x-3，l3：，l4：

∴l1∥l2

∴四边形JBDC，EFHG为平行四边形

当y=1时，1=3x，解得：x=，即G(，1)

当y=1时，1=3x-3，解得：x=，即H(，1)

当y=2时，2=3x，解得：x=，即C(，2)

当y=2时，2=3x-3，解得：x=，即H(，2)

∴GH=BC=1

联立l2与l3得，，解得：x=1.8，则y=2.4，即B(1.8，2.4)

联立l1与l3得，，解得：x=0.9，则y=2.7，即A(0.9，2.7)

联立l2与l4得，，解得：x=1.5，则y=1.5，即F(1.8，2.4)

联立l1与l4得，，解得：x=0.6，则y=1.8，即I(0.6，1.8)

∴阴影部分n的面积为

阴影部分m的面积为

∴m-n=0.65-0.55=0.1=故答案为：B【分析】过点B作BJ∥x轴交直线l1于点J，过点F作EF∥x轴交直线l1于点E，由图可得，l1过(0，0)，l2过(1，0)，(2，3)，l3过(0，3)，(3，2)，l4过(0，2)，(3，1)，设直线l1的解析式为y=ax，根据待定系数法将点(1，3)代入可得直线l1的解析式为y=3x，同理可得，l2：y=3x-3，l3：，l4：，根据平行四边形判定定理可得四边形JBDC，EFHG为平行四边形，求出G(，1)，H(，1)，C(，2)，H(，2)，根据两点间距离可得GH=BC=1，两两联立直线解析式，求出交点坐标，再根据割补法，结合平行四边形，三角形面积可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．计算：4-（-6）=.【答案】10【解析】【解答】解：4-（-6）=10故答案为：10【分析】根据有理数的减法即可求出答案.14．某楼梯装有护栏，其侧面如图所示.其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC=60°，AB=4m，则CE=m.【答案】2【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E

∴BD∥AE

∴四边形ABCD为平行四边形

∴DC=AB=4，∠DCE=∠A=60°

∴∠EDC=90°-∠DCE=30°

∴故答案为：2【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，则DC=AB=4，∠DCE=∠A=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EDC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m=.【答案】【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方

∴设方程的两个根为t，t2

∴t+t2=，

解得：

∴故答案为：【分析】根据题意设方程的两个根为t，t2，根据根与系数的关系可得t+t2=，，解方程可得t值，再代入即可求出答案.16．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地.该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A.若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为百元.【答案】21【解析】【解答】解：根据题意，从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案：

方案一：路线为A→B→C→D→A，交通费用为：3+5+7+6=21（百元）

方案二：路线为A→B→D→C→A，交通费用为：3+8+7+4=22（百元）

方案三：路线为A→C→B→D→A，交通费用为：4+5+8+6=23（百元）

方案四：路线为A→C→D→B→A，交通费用为：4+7+8+3=22（百元）

方案五：路线为A→D→B→C→A，交通费用为：6+8+5+4=23（百元）

方案六：路线为A→D→C→B→A，交通费用为：6+7+5+3=21（百元）

∵21<22<73

所以此次旅游的交通费用最少为21百元.故答案为：21【分析】根据题意列举出所有方案，求出交通费用，再比较大小即可求出答案.三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程：3x=12+x；（2）解不等式：【答案】（1）解：移项，3x-x=12

合并同类项，2x=12

系数化为1，x=6（2）解：去分母，2x-6>x-1

移项，2x-x>-1+6

合并同类项，x>5【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.

（2）去分母，移项，合并同类项即可求出答案.18．用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：=（98+2）×（98-2）+22=100×96+4=9604.（1）证明并用以上方法计算992；（2）计算：【答案】（1）证明：计算：=100×98+1=9801（2）解：=100×110+25=11025【解析】【分析】（1）根据平方差公式去括号，再合并同类项化简即可求出答案.

（2）根据（1）中结论化简计算即可求出答案.19．（1）尺规作图：如图10-1，在△ABC中，作出AB边的垂直平分线l；（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图10-2，在△ABC中，∠BAC=2∠B，点D在BC边上，且DA=DB.若AC=6，BC=9，求线段CD的长.【答案】（1）解：尺规作图：分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线l

（2）解：∵DA=DB

∴∠B=∠BAD

∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B

∵∠BAC=2∠B

∴∠BAC=∠CDA

∴△CDA∽△CAB

∴，即

解得：CD=4【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.

（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAD，根据三角形外角性质可得∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，则∠BAC=∠CDA，根据相似三角形判定定理可得△CDA∽△CAB，则，再代值计算即可求出答案.20．为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动.在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长t（单位：h）并提交.（计算方法：）收集数据淇淇随机抽取了40名同学提交的数据，如下：3.62.11.93.22.43.12.02.61.93.21.32.82.91.42.12.51.73.52.62.62.33.72.71.93.32.02.62.01.62.83.42.52.12.21.82.43.02.53.52.3整理数据淇淇将数据适当分组后，绘制了如图所示的不完整的频数直方图.分析数据（1）①补全上面的频数直方图；估计全校学生提交的数据中，t>2.25的占比为▲%.②把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替（如1.25~1.75的中间值为1.5），并利用图中信息，计算这40名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数.（2）资料显示，我国6周岁以上居民的日均家务劳动时长约为1.28h，淇淇发现与之相比有明显差异，请结合统计知识分析原因.（写出一条即可）【答案】（1）①由题意可得，1.25<t<1.75的数据有4个，3.25<t<3.75的数据有6个

补全频数分布直方图可得：

62.5

t>2.25的占比

②各组中间值：1.5，2.0，2.5，3.0平均数：（2）解：本次调查的样本为该校学生家长，群体以中青年为主，且普遍需要承担家庭育儿、日常家务等劳动，家务时长整体偏高；而全国6周岁以上居民涵盖了未成年人、老年人、单身群体等各类人群，整体平均家务时长更低。因此样本不具有全国范围的代表性，二者存在明显差异。【解析】【解答】解：（1）①t>2.25的占比为

故答案为：62.5

【分析】（1）①根据数据求出1.25<t<1.75，3.25<t<3.75的数据，补全图形即可，再求出t>2.25的占比即可求出答案.

②取中间值即可，再根据平均数的定义即可求出答案.

（2）根据各统计量的意义即可求出答案.21．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告.主题求生活中的圆弧长研究内容本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求的长l.工具软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等研究方案与实践成果方案一方案二方案三用软尺直接测量的长.测量数据：第一次6.36m第二次6.32m用测角仪测角，利用弧长公式计算的长.测量数据：∠POQ≈36°查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图1中，弧长测量数据：PQ≈6.20mMN≈0.50m取两次测量结果的平均数，则l=6.34m.利用弧长公式，……根据“会圆术”，……反思应用①方案一可通过▲的方法减少误差；②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出.计算过程如下：……请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算的长l；（3）求图2中弧长和圆心角∠AEB.（π取3.1）【答案】（1）多次测量取平均值（2）方案二：弧长公式米方案三：会圆术米（3）解：∵CD⊥AB，AB=6

∴

在Rt△ADE中，由勾股定理：即

解得：AE=5由会圆术可得，设∠AEB的度数为n，则

解得：【解析】【分析】（1）可通过多次测量取平均值的方法减少误差.

（2）根据弧长公式及会圆术公式公式代值计算即可求出答案.

（3）根据垂径定理可得AD，根据勾股定理建立方程，解方程可得AE，再根据会圆术及弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.22．某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t（分钟）的模型：其中，（k为常数），x（千米）表示登山路线的长度：h（千米）表示山顶与起点的海拔高度差.从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示.（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间）（1）①求k，h的值；②计算路线3的长度.（2）已知山顶M的海拔高度为1000米，B在如图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）.若该登山爱好者从B出发到山顶M的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶M的预估用时.【答案】（1）①将代入得t=kx+150h由题得：(6，210)，(4，180)代入，解得：②由①得：t=15x+120将t=195代入t=15x+120，195=15x+120解得：x=5∴路程为5km。（2）解：（分钟）【解析】【分析】（1）①代入得t=kx+150h，再根据待定系数法将点(6，210)，(4，180)代入即可求出答案.

②将t=195代入解析式即可求出答案.

（2）根据题意求出h值，再代入代数式即可求出答案.23．如图，二次函数y=（x-t）（x-3t）（其中t>0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D.（1）若t=1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'是否在直线PD上；（2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值；（3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值.【答案】（1）解：当t=1时，二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3

∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)

∵y=(x-2)2-1

∴顶点P(2，-1)

∵点B绕点A顺时针旋转90°得到点D，且AB=2

∴D(1，-2)

设直线PD的解析式为y=kx+b

将P(2，-1)，D(1，-2)代入可得：

，解得：

∴直线PD的解析式为y=x-3

∵抛物线的对称轴为直线x=2，点C(0，3)关于对称轴的对称点为C'(4，3)

当x=4时，y=4-3=1≠3

∴点C'不在直线PD上（2）解：y=(x-t)(x-3t)=(x-2t)2-t2，对称轴为直线x=2t①当，即时，在3≤x≤6上，y随x的增大而减小

∴当x=3时，y取最大值为9

(3-t)(3-3t)=9，解得：（舍），②当，即时，在3≤x≤6上，y随x的增大而增大∴x=6时，y取最大值9

(6-t)(6-3t)=9，

解得：（舍），

当3≤2t≤6时，即，最大值在端点取得，经检验无解

∴综上，t的值为4或（3）-2【解析】【解答】解：（3）由题意可得，A(t，0)，B(3t，0)，P(2t，-t2)

∵点B绕点A顺时针旋转90°得到点D

∴D(t，-2t)

设直线OP的解析式为y=k1x

将P(2t，-t2)代入可得，-t2=2tk1，解得：

∵DE∥OP

∴直线DE的解析式为

将D(t，-2t)代入可得，

∴

∴当t=2时，m取最小值为-2

【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，将解析式转换为顶点式可得顶点P(2，-1)，根据旋转性质可得D(1，-2)，设直线PD的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点P(2，-1)，D(1，-2)代入可得直线PD的解析式为y=x-3，根据对称性质可得C'(4，3)，再代入解析式进行判断即可求出答案.

（2）将解析式转换为顶点式可得对称轴为直线x=2t，分情况讨论：①当，即时，②当，即时，当3≤2t≤6时，即，根据二次函数性质建立方程，解方程即可求出答案.

（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得A(t，0)，B(3t，0)，P(2t，-t2)，根据旋转性质可得D(t，-2t)，设直线OP的解析式为y=k1x，将点P(2t，-t2)代入可得，根据直线平行性质可得直线DE的解析式为，再将点D坐标代入，整理，变形，结合二次函数的性质即可求出答案.24．如图1和图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，正方形DEFG的顶点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，CA上.当点D从点B出发沿BA向点A移动时，点E，F随之分别在BC，CA上移动（正方形DEFG的大小发生变化），当点F与点C重合时，移动停止.（1）tan∠ABC=.（2）如图1，当∠BED=45°时，求证：BE=CE.（3）①如图2，当时，求BE的长；②当时，直接写出正方形DEFG的边长.（4）在移动过程中，每当点G移动1个单位长度时，点E均移动d个单位长度，直接写出d的值.【答案】（1）（2）证明：∵四边形DEFG为正方形∴∠DEF=90°，DE=EF∵∠BED=45°∴∠BED=∠CEF∵AB=AC∴∠B=∠C在△BED和△CEF中∴△BED≌△CEF（AAS）∴BE=CE（3）①作DMD'⊥BC于D'，FF'⊥BC于F'

∴∠DD'E=∠EF'F=90°

∵∠DEF=90°

∴∠DED'+∠FEF'=90°

∵∠D'DE+∠DED'=90°

∴∠D'DE=∠FEF'

∵∠DD'E=∠EF'F=90°，∠D'DE=∠F'EF，DE=EF∴△DD'E≌△EF'F（AAS）

∴EF'=DD'，D'E=FF'由（1）知在Rt△BDM中，，即设D'E=x=FF'，则BF'=BD'+D'E+EF'=4+x，CF'=12-BF'=8-x

∵

解得：

∴

②（4）【解析】【解答】解：（1）作AH⊥BC

∵AB=AC=10，BC=12，AH⊥BC

∴∠AHB=90°，BH=CH=6

∴

∴

（3）②设BD'=3y，则DD'=4y，

由①可得，EF'=DD'=4y，

∴

∵

解得：

∴

∴

∴正方形DEFG的边长为

（3）当B，D重合时，△BEF为等腰直角三角形

设BE=EF=m，则CE=12-m

∵

解得：m=

∴EF=BG=

当F，G重合时，△DEB为等腰直角三角形

设DE=EF=n，则BE=12-n

∵

解得：n=

∴DE=GF=

当BE=CE时，作DQ⊥BC

设GE=2t，则OD=OE=t

∵DQ⊥BC

∴DQ=OE=t