第1章 特殊平行四边形 单元测试卷（含详解）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

\o"第一章特殊平行四边形"第1章特殊平行四边形一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）下列各命题的逆命题成立的是（）A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果两个角是直角，那么它们相等 C．全等三角形的对应角相等 D．对顶角相等2．（5分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AB＝BC3．（5分）如图，DE∥AC，DF∥AB，则下列说法不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD，点E为线段BC上异于端点的一动点，DH⊥AE于点F，交AB于点H，AE、BD交于点P，FG平分∠DFE交DB于点G．下列结论正确的有（）①若∠BAE＝∠HDB，则S△BHD=1②若CE＝3BE，则DG=52③若S△ABF＝S△BDF，则BE＝2CE；④若AB＝10，DP＝2BP，则FG=10A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若菱形ABCD的面积是12，则△AOB的面积为（）A．3 B．6 C．24 D．486．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．2−1 B．2−2 C．22−27．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BAD＝60°，E，F是对角线AC上的动点且EF=13AC，连接DE，BF，则DE+A．43 B．33 C．88．（5分）下列判断错误的是（）A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．正方形有矩形和菱形的一切性质二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为．2．（4分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为．3．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝5，则四边形OCED的周长为．4．（4分）在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点，下列说法正确的是．①存在无数个平行四边形MENF；②当BE=25−2，且四边形MENF是矩形，③当四边形MENF是菱形时，AM的长度为3；④不存在正方形MENF．5．（4分）摆一摆，找规律．（1）摆第7个图形需要根小棒．（2）有19根小棒的是第个图形．6．（4分）将n个边长都为2的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则2027个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为．三．解答题（共8小题，满分86分）1．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD＝BE；（2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积．2．（10分）如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形吗？为什么？3．（10分）如图，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF．4．（10分）已知：矩形ABCD中，点E在BC边上，AD＝DE，AF⊥DE于点F．（1）如图1，求证：AF＝DC；（2）如图2，连接CF，若CD＝CF，CE＝2，求线段BE的长．5．（10分）如图，在正方形ABCD的内部作等边△ABE，连接DE、CE，对角线BD交AE于点F．（1）求∠DAE的度数；（2）求证：△CDE是等腰三角形．6．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，一动点P从A点出发沿射线AE方向移动，连接BP，问：（1）如图（1），将BP绕点B顺时针旋转90°，点P到达点F，连接CF，当△BCF的面积是矩形ABCD面积的一半时，求PA的长；（2）如图（2），将△ABP沿BP翻折，点A到达点G，连接CG，当BG＝CG时，求PA的长．7．（12分）如图，从①BE平分∠ABC、②CE平分∠ACD、③∠A＝2∠E中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．（1）这3个命题中，真命题的个数为；（2）选择一个真命题并证明．如图，已知，求证：．证明：8．（12分）如图1，在等边三角形ABC内有一点P．（1）若PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC（2）若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图2，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，PB=2，PC＝1，求正方形答案一、选择题1．【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；B、如果两个角是直角，那么它们相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立，不符合题意；C、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；D、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；故选：A．2．【解答】解：A、由AB＝CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意；B、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故此选项正确，符合题意；C、由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意；D、由AB∥CD，AB＝BC，AC＝BD，无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意．故选：B．3．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C正确；如果AD⊥BC且AB≠AC，无法判断四边形AEDF是菱形．故D错误．故选：D．4．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝AD，∠DAH＝∠ABE＝90°，∠ABD＝45°，∵DH⊥AE，∴∠DAE+∠ADH＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADH，∵∠BAE＝∠HDB，∴∠ADH＝∠HDB，过点H作HK⊥BD于K，如图1，则HA＝HK，∠BKH＝90°，DK＝AD，∴BK＝HK，BH=2HK=2设AH＝HK＝BK＝x，则BH=2x∴AD＝AB＝DK＝（2+1）x∴DH2＝AH2+AD2＝x2+（2+1）2x2＝（4+22）x2∵S△BHD=12BH•AD=12×2x（2∴S△BHD=14DH2，故②∵CE＝3BE，设BE＝a，则CE＝3a，∴正方形ABCD的边长为4a，BD=2AB＝42a在△ADH和△BAE中，∠DAH=∠ABEAD=AB∴△ADH≌△BAE（ASA），∴AH＝BE＝a，DH＝AE，∴DH=AH∵∠DFA＝∠DAH，∠ADF＝∠HDA，∴△ADF∽△HDA，∴DFAD=AF∴DF=161717a，AF∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴DPBP∴DP=45BD=1625a，AP∵FG平分∠DFE，∴∠DFG=12∠∴∠DFG＝∠DBH，∵∠FDG＝∠BDH，∴△DFG∽△DBH，∴DGDH=DF∴DG＝22a，∴PG＝DP﹣DG=1625a﹣22a∴DGPG∴DG=53PG，故③如图2，延长BF交AD于K，分别过点A，D作BF的垂线，垂足分别为M，N，∵S△ABF＝S△BDF，∴AM＝DN，在△AKM和△DKN中，∠AKM=∠DKN∠AMK=∠DNK∴△AKM≌△DKN（AAS），∴AK＝DK=12AD，设AK＝DK＝b，则正方形ABCD的边长为2∴BK=AK∵∠AFD＝90°，∴FK=12AD＝∴BF＝BK﹣FK＝（5−1）b∵AK＝FK，∴∠DAF＝∠AFK，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFK＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝（5−1）b∴CE＝BC﹣BE＝2b﹣（5−1）b＝（3−5）∴BECE∴BE=5+12CE④∵AB＝10，DP＝2BP，∴BD＝102，DP=20∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴BEAD∴BE=12∴AH＝BE＝BH＝5，DH＝AE＝55，∵△ADF∽△HDA，∴DFAD=AF∴DF＝45，AF＝25，由②知△DFG∽△DBH，∴FGBH=DF∴FG=10，故④故选：B．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABC＝S△ACD=12S菱形＝6，AO＝∴S△ABO＝S△CBO=12S△故选：A．6．【解答】解：设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD=2AB＝22，EF＝BF＝x∴BE=2x∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED=2x+2＝22解得：x＝2−2即EF＝2−2故选：B．7．【解答】解：过点E作EG∥BF，使EG＝BF，连接BG，DB，DG，∵AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∴DB＝6，DE＝DB＝3，∴AC＝63，∴EF=13AC＝2∵EG∥BF，EG＝BF，∴四边形EGBF是平行四边形，∴EF＝BG＝23，∵EG＝BF，∴DE+BF＝DE+EG，∵DE+EG≥DG，∴DE+EG＝DG时，有最小值，∴DG=BD2故选：A．8．【解答】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，故A选项正确，不符合题意；B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项错误，符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意；D、矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质，故D选项正确，不符合题意，故选：B．二、填空题1．【解答】解：相邻两个内角的度数之比是1：2，∴两个相邻角度分别为60°、120°，∵较长的对角线所对的角为120°，∴较短的对角线所对的角为60°，较短的对角线与菱形的一组邻边构成的是等边三角形，那么较短的对角线长为30÷4＝7.5（cm）．故答案为：7.5cm．2．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AB＝AD，∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴∠DEA＝∠BFA＝∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，且AB＝AD，∠DEA＝∠BFA，∴△ABF≌△DAE（SAS）∴DE＝AF＝5，BF＝AE＝8，∴EF＝AF+AE＝13，故答案为：13．3．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵ABCD是矩形，∴OC=OD=∴四边形OCED是菱形，∴四边形OCED的周长为2.5×4＝10．故答案为：10．4．【解答】解：如图1所示，连接MN与EF交于点O，连接ME、EN、NF、MF，∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OD，又∵BE＝DF，∴EO＝FO，只需使OM＝ON，即可使四边形MENF为平行四边形，又∵E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个平行四边形MENF，故①正确；∵AD＝2AB＝8，∴AB＝4，BD＝AC=4当BE=25∴EO＝OF＝BO﹣BE=1又∵四边形MENF是矩形，则OM＝ON＝2=12AB，MN＝4＝AB，此时易知MN故∠AMO＝90°，此时AM=A故②正确；当四边形MENF是菱形时，如图3所示，由菱形性质可得∠MOD＝90°，∴tan∠MDO＝tan∠BDA，即MODO∴MO=1在Rt△MDO中，由勾股定理可得DM=M故AM＝AD﹣DM＝8﹣5＝3，故③正确；只需使MN＝EF，MN⊥EF，ON＝OM，则四边形MENF为正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误．综上，正确的序号有：①②③．故答案为：①②③．5．【解答】解：由题意可得：第n个图形需要小棒的数量为：3+2x（n﹣1）＝3+2n﹣2＝2n+3﹣2＝（2n+1）根；（1）当n＝7时，2n+1＝2x7+1＝14+1＝15，故答案为：15；（2）2n+1＝19，解得：n＝9，故答案为：9．6．【解答】解：作A1E⊥A2G于点E，A1F⊥A2H于F．则∠FA1E＝∠HA1G＝90°，∴∠FA1H＝∠GA1E，在△A1HF和△A1GE中，∠FA∴△A1HF≌△A1GE（ASA），∴四边形A2HA1G的面积＝四边形A1EA2F的面积=1同理，各个重合部分的面积都是1，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n﹣1）＝n﹣1，∴2027个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2027﹣1＝2026．故选：2026．三、解答题1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．AB∥CD．∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AC＝BE，∴BD＝BE．（2）解：在矩形ABCD中，BO＝1，∴2×1＝2，∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°，∴△OCD是等边三角形．∴CD＝OD＝1．∴AB＝CD＝1．DE＝CD+CE＝CD+AB＝1+1＝2．在Rt△BCD中，BC=B∴四边形ABED的面积=12．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BE＝CF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中，AB=CDAF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）四边形ABCD是矩形；证明：∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形；3．【解答】解：如图，连接AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠B＝∠ACF＝60°，在△ABE和△ACF中，∠B=∠ACFAB=AC∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE，∴60°+∠CEF＝60°+20°，解得∠CEF＝20°．4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADF＝∠DEC，∵AF⊥DE于点F∴∠AFD＝90°，又∵AD＝DE，∴△ADF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC．（2）解：作CH⊥DE于点H，连接AE，设BE＝x，∵△ADF≌△DEC，CE＝2，∴EC＝FD＝2，∵CD＝CF，∴DH=FH=1∵AD＝DE，EC＝FD＝2，BE＝x，∴BE＝EF＝x，∵∠DEC＝∠DEC，∠CHE＝∠BCD＝90°，∴△EHC∽△ECD，∴ECED=EHEC，即EC2＝∵EC＝FD＝2，DH=FH=12CE=1，BE＝EF∴代入上式可得：4＝（x+1）（x+2），即x2+3x﹣2＝0，解得：x1=17∴BE=175．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：同（1）可得∠ABC＝90°，∠ABE＝60°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴∠DAE＝∠EBC，∵在正方形ABCD中，AD＝BC，在等边△ABE中，AE＝BE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴DE＝CE，∴△CDE是等腰三角形．6．【解答】解：（1）过点F作FH⊥BC于点H，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，∠A＝∠ABC＝90°，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×8＝40，∵△BCF的面积是矩形ABCD面积的一半，∴S△BCF＝20，∴12BC•FH∴12×8×FH∴FH＝5，由旋转性质得：BF＝BP，∠PBF＝90°，∴∠PBF＝∠ABC＝90°，∴∠PBF﹣∠PBC＝∠ABC-∠PBC，即∠FBH＝∠PBD，∵FH⊥BC于点H，∠A＝90°，∴∠FHB＝∠A＝90°，在△AHF和△BPA中，∠FBH=∠PBD∠FHB=∠A=90°∴△AHF≌△BPA（AAS），∴FH＝PA＝5；（2）∵四边形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，AB∥CD，∠A＝∠ABC＝90°，∵动点P从A点出发沿射线AE方向移动，∴有以下两种情况：①当点P在线段AD上时，点G在BC的上方，过点G作直线GM⊥BC于点M，交AD于点N，如图2所示，∴∠BMN＝∠A＝∠ABC＝90°，∴四边形ABMN是矩形，∴MN＝AB＝5，AN＝BM，∵BG＝CG，GM⊥BC于点M，∴BM＝CM=12∴AN＝BM＝4，设PA＝a，则PN＝AN﹣PA＝4﹣a，由翻折性质得：PG＝PA＝a，GB＝AB＝5，在Rt△BGM中，由勾股定理得：MG=B∴GN＝MN﹣MG＝5﹣3＝2，在Rt△PGN中，由勾股定理得：PG2＝PN2+NG2，∴a2＝（4﹣a）2+22，解得：a＝2.5，∴PA＝a＝2.5；②当点P在AD的延长线上时，点G在BC的下方，过点G作直线GM⊥BC于点M，交AD于点K，交BP于点K，如图3所示，同①得：四边形ABMN是矩形，MG＝3，BM＝CM＝4，∴MN＝AB＝5，AN＝BM＝4，AB∥MN，∴∠ABK＝∠GKB，由翻折性质得：∠GBK＝∠ABK，GB＝AB＝5，∴∠GKB＝∠GBK，∴GK＝GB＝5，∴MK＝GK﹣GM＝2，∴KN＝MN﹣MK＝3，∵AB∥CD，∴△PKN∽△BKM，∴PNBM∴PN4∴PN＝6，∴PA＝PN+AN＝6+4＝10，综上所述：PA的长为2.5或10．7．【解答】（1）解：利用角平分线定义和三角形外角性质，进行判定，可知真命题的个数为3，故答案为：3；（2）证明如下：（答案不唯一）已知：①②，求证：③．∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A．同理∠4＝∠2+∠E，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4，∴2∠4＝2∠2+∠A．∵∠4＝∠2+∠E，∴2∠4＝2∠2+2∠E，∴2∠2+∠A＝2∠2+2∠E，∴∠A＝2∠E．已知：①③，求证：②．证明如下：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A，同理∠4＝∠2+∠E，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠2．∵∠A＝2∠E，∴∠ACD＝2∠2+2∠E．∵∠4＝∠2+∠E，∴2∠4＝2∠2+2∠E，∴∠ACD＝2∠4，∴CE平分∠ACD．已知：②③，求证：①．证明如下：∵∠A