《概率基础》小学教育专业全套教学课件

概率基础全套可编辑PPT课件目录大数定律与中心极限定理第5章随机变量及其分布第2章随机向量及其分布第3章随机变量的数字特征第4章随机事件与概率第1章第1章随机事件与概率项目背景本章重点介绍概率论的两个最基本的概念：随机事件及其概率．主要内容包括：随机事件的关系和运算、古典概率与几何概率、条件概率与乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式、事件的独立性以及二项概率公式等．这些知识内容都是进一步学习概率论的基础．项目目标知识与能力目标过程与方法目标情感态度与价值观目标1.了解确定性现象和随机现象、样本空间和随机事件等概念．2.理解概率的定义，如古典概率、几何概率、统计概率，以及概率的公理化定义．3.掌握事件的关系和运算规则、概率的性质，并且会应用概率性质进行概率的计算．4.掌握条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式和二项概率公式，并能灵活运用这些公式解决实际问题．1.通过参与抛硬币试验获取数据，归纳试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高．2.通过课堂讨论、小组合作等教学活动，锻炼解决复杂数学问题的能力．1.激发学生对概率课程的兴趣和好奇心，培养学生主动探索未知领域的精神，增强学生的学习动机，使其认识到概率理论在现代数学及其应用中的重要性，从而更加积极地投入学习．2.通过构建概率模型，培养学生“做”数学的精神，体验“做”数学带来的成功的喜悦．1.1随机事件1.1.1随机现象概率论是专门研究随机现象的学科，自然界与人类社会普遍存在两类现象。概率论核心研究对象包括新生婴儿性别、投篮是否命中、次日股票涨跌等都属于随机现象。随机现象常见示例一定条件下可能出现多种结果，事前无法确定具体会出现哪种结果。随机现象一定条件下可准确预言结果是否发生，例如标准大气压下100℃水必然沸腾。确定性现象对于随机现象，是否有规律可循呢？就单次试验而言，没有什么规律可循，其出现的结果具有偶然性．但是，当经过大量重复试验时，就会发现试验结果呈现某种规律性．例如：（1）抛掷一枚质量均匀的硬币，当抛掷次数很大时，就会发现正面和反面出现的次数几乎各占一半．表1-1中列出了历史上有名的抛硬币试验数据．在对一个目标进行射击时，如果射击次数不多，弹孔分布看不出有什么规律

性，但当射击次数非常多时，就可发现弹孔的分布呈现一定的规律，弹孔围绕目标的

分布略呈对称性，且越靠近目标的区域弹孔越密，越远离目标的地方弹孔越稀疏．密闭容器中，考虑某一瞬时的分子热运动情况．每个分子的状态难以确定，如

速率，容器中每个分子的速率由于分子间频繁碰撞不断发生改变．但对大量的气体分

子而言，分子速率的分布遵循一定规律，呈现出速率较大和较小的分子数量相对较少，

而速率趋于中间值的分子数量较多的特点．02031.1.2样本空间和随机事件

样本相关概念包含抛硬币看正反面、摸球看颜色、投骰子看点数和、统计路口车流量、测试元器件寿命。随机试验示例对随机现象的观察试验，满足可重复、可观测、随机性三个特点，通常用E表示。随机试验定义1.1.2样本空间和随机事件一般地，样本空间W的子集称为随机事件，简称事件，通常用大写字母ABC,,,表示．随机事件A发生当且仅当A中的样本点出现．基本事件也是随机事件，它是一个单元素集合．由于样本空间W本身作为一个事件，每个样本点都属于它，因此，每次试验W都发生，W称为必然事件；而空集f作为一个事件，它不包含任何样本点，因此，不管任何试验，它都不会发生，因此称f为不可能事件．必然事件和不可能事件是确定性事件，为了讨论方便，我们把它们看作特殊的随机事件．1.1.3事件的关系和运算1.事件的包含在概率论中，由于事件、事件的关系及运算与集合、集合的关系及运算是相似的，因此根据集合的运算性质，可推得事件的运算性质如下：用通俗的语言表述就是，多个事件的和的对立事件等于其对立事件的积，多个事件的积的对立事件等于其对立事件的和．例1.5设A,B,C为任意三个事件，试用A,B,C表示下列事件：（1）只有事件A发生；（2）只有一个事件发生；（3）至少有一个事件发生；（4）至多有一个事件发生．1.2古典概率基本定义是最早的概率定义，适用有较强限制，仅适用于较简单的场景。适用条件随机试验样本空间包含有限个样本点，且每个样本点发生可能性均等。模型归类满足上述两个条件的随机试验，属于古典概率模型，简称古典概型。

古典概型核心前提要求所有样本点发生的可能性完全相同，前提成立才可应用对应概率计算逻辑。常见认知误区无论证即默认所有结果等可能，认为“试验仅两种结果则概率各为50%”，易引发错误结论。典型错误示例误认为投篮只有投中、不中两种结果，命中率就为50%，不符合运动员与普通人的实际水平差异。例1.6投掷两枚质量均匀的骰子，求点数之和是7的概率．解设事件A表示“点数之和是7”．将两枚骰子掷出的结果以有序数对表示，显然，该试验共有36个可能出现的结果，而事件A包含了其中的6个可能结果．根据古典概率有17世纪，数学家莱布尼茨曾经认为点数之和是11和12的可能性相同，理由是11和12都仅有一种情况才可能出现．这里，莱布尼茨犯了一个错误，他没有把两枚骰子看成是不同的对象，所以认为(6,5)和(5,6)是同一个结果．那么，如何避免类似的错误呢？首先，应该给每个对象做标记，而不是将它们设定为不可区分的．其次，通过计数计算概率时，要思考试验是否符合古典概型的条件．一旦确定了属于古典概型，那么计算事件A的概率就转化为一个计数问题．例1.9设一批产品共N件，其中有M件次品，其余的产品均为正品．现在不放回地依次从中取一件产品，求第k次取到次品的概率．1.3几何概率应用几何概率计算事件概率的核心是将具体问题完成几何化转化。适用关键前提选取合适参数、构建对应坐标系，将每个试验结果映射为坐标系中的点，使全体结果构成可度量的区域。几何化操作步骤几何概型中等可能指结果落在某区域的概率与区域度量成正比，和区域的位置、形状无关。等可能的定义例1.13

某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每整点报时一次，求此人等待时间短于10分钟的概率．例1.14甲、乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟（15分钟），过时即可离去．求两人会面的概率．例1.15［蒲丰投针问题（Buffonneedleproblem）］

平面上画很多平行线，间距为a．向此平面投掷长为l(l<a)的针，求此针与任一平行线相交的概率．1.4统计概率

古典/几何概率的基础与局限以等可能性为核心基础，仅适用于结果具备等可能性质的试验，适用场景有限。

古典/几何概率的不适用场景如患肺癌概率、产品次品率、考试通过概率等结果非等可能的场景，无法使用该类概率计算。

统计概率的适用范围突破等可能条件限制，可适用于各类一般试验场景，覆盖更多实际情况。

统计概率的核心逻辑当数据量足够大时，随机事件发生的频率会无限接近其真实发生的概率。1.5概率的公理化定义古典概率、几何概率适用范围局限，统计概率直观通用但数学表述不严谨。1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率公理化定义，兼具普遍性与严密性。以概率应满足的性质作为公理来定义概率，表述严谨规范。现有定义局限公理化定义提出公理化定义内涵根据上述公理，不难推导出概率的一些基本性质：

例1.17把班级内n个学生每人准备的一份礼物在班级内随机地分配，设事件A表示至少有一个学生拿到自己的礼物，求事件A的概率．1.6条件概率和乘法公式1.6.1条件概率

额外信息的影响获得试验结果的额外信息时，会影响不确定性判断，可增强或质疑原有判断。

条件概率的作用条件概率用于解决如何根据新观察到的信息，调整原有判断的问题。

条件概率的定义已知事件B发生时，重新度量事件A发生的概率，记作P(A|B)，即B发生条件下A的概率。

内容后续安排后续将结合具体例子对条件概率的相关逻辑进行进一步讲解说明。例1.18已知甲班共有学生40人，其中有15名女生；乙班共有学生35人，其中有20名女生．现在从两个班总共75人中随机抽取1人，求：（1）这个人是甲班学生的概率；（2）这个人是女生的概率；（3）这个人是甲班女生的概率；（4）如果已知这个人是女生，那么她属于甲班学生的概率．1.6.2乘法公式1.7全概率公式与贝叶斯公式1.7.1全概率公式1.7.2贝叶斯公式1.8事件的独立性1.8.1两个事件的独立性条件概率P(A|B)指事件B发生的条件下，事件A发生的概率，体现B发生对A发生可能性的影响。条件概率定义0102若事件B的发生对事件A的发生无任何影响，满足P(A|B)=P(A)，则称B对A独立。独立特性定义03由P(A|B)=P(A)可推导得P(AB)=P(A)P(B)，该式为两个事件独立性的定义公式。独立性判定公式定义标准若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称二者相互独立，该定义体现双方地位对称。等价判定当P(B)>0时，A、B相互独立等价于P(A|B)=P(A)；任意事件与不可能、必然事件均独立。通俗解释事件相互独立即彼此无关联影响，例如两人射击互不影响、多次抛硬币结果互不干扰。常规判断方式多数事件可凭经验、直观方法判断独立性，无需通过定义验证。特殊情况判定存在关联、直观难以判断是否独立的事件，需依托统计资料分析。验证依据有关联的事件需依据独立性定义式，通过计算验证是否相互独立。1.8.2一组事件的独立性1.8.3二项概率公式定义1.10将随机试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其他各次试验的结果，那么这样的试验称为n重独立试验．当抛掷10次硬币时，正面向上的频率介于0.4至0.6之间的概率不到七成。抛掷硬币的频率与概率小学数学中，通过抛硬币试验让学生体会正面向上的概率为0.5，但试验次数少时频率可能偏离概率较大。教学中的抛硬币试验如果把硬币抛掷100次，正面向上次数介于40至60之间的概率约为0.9544，此时频率与概率的偏差相对较小。增加试验次数的影响谢谢聆听概率基础目录大数定律与中心极限定理第5章随机变量及其分布第2章随机向量及其分布第3章随机变量的数字特征第4章随机事件与概率第1章第2章随机变量及其分布项目背景前文指出，概率是一门研究随机现象规律性的学科．了解随机现象的规律性就是要了解随机现象中所有可能出现的结果以及每个结果所对应的概率．为了方便表示随机试验的结果，并且借助数学工具深入研究随机现象，有必要把随机试验的结果数量化，因而引入随机变量的概念．本章将介绍两种类型的随机变量——离散型随机变量和连续型随机变量．项目目标知识与能力目标过程与方法目标情感态度与价值观目标1.理解离散型随机变量分布和连续型随机变量分布的定义，知道这两种类型分布所具备的性质.2.掌握常见离散型分布（两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布）的特点．3.掌握常见的连续型分布（均匀分布、指数分布、正态分布），并能基于常见分布解决实际问题．4.理解并掌握随机变量的分布函数以及随机变量函数的分布，能够由概率分布或概率密度函数．经历从理论学习到实践应用的完整过程，进一步加深对概率理论的理解和掌握，体会概率在日常生活和生产实践中的应用，从而提高学生的解决问题能力和数学素养．1.体验合作探究，提高学数学的兴趣．2.学会用联系的观点看待问题，加强知识间的联系．2.1随机变量数值类试验结果直接映射本身呈数值形式的试验结果可直接对应数值，如掷骰子点数用1-6表示、身高用实际测量值表示。非数值类试验结果赋值映射与数值无关的试验结果可自定义对应数值，如掷硬币时用1代表正面向上，0代表反面向上。数值化的核心作用以标准化数值形式统一表示不同类型的随机试验结果，便于后续统计分析。典型应用场景广泛应用于概率统计研究、随机现象建模、各类数据统计采集的场景中。离散型随机变量2.2离散型随机变量2.2.1离散型随机变量及其分布变量定义若随机变量X的所有可能取值为有限个或无限可列个不同数值，则称其为离散型随机变量。分布描述描述离散型随机变量的取值规律，需明确其所有可能取值，以及取每个值对应的概率。2.2.2常见的离散型分布3.泊松分布随机变量X的概率分布为泊松分布是实际中经常遇到的分布，它多是出现在一定时间或空间内某事件发生的个数的场合．比如，电话交换台在给定时间内接收到的呼叫次数；某个时间段内某个交通路口发生事故的次数；某本书出现错误印刷的个数；某小区百岁老年人的人数；某人在一天内收到微信的数量；放射性物质发出的a粒子数等等，这些情况均可用泊松分布描述和分析．例2.5设有同类型仪器若干台，这些仪器的工作相互独立，且发生故障的概率为0.01，通常一台仪器的故障可由一个人来排除．（1）若有仪器300台，至少配备多少维修工人，才能保证当仪器发生故障又不能及时排除的概率小于0.01？（2）若由3个人共同负责维修80台仪器，求有故障不能及时维修的概率．（3）若有4个维修工人，每个人包干20台仪器，求80台仪器中发生故障又不能及时排除的概率．2.3随机变量的分布函数2.4连续型随机变量2.4.1连续型随机变量及其概率密度基本定义连续型随机变量是取值非离散的随机变量中最常见、最重要的一类，可能取值充满一个区间。分布特点无法像离散型随机变量一样，通过逐一指定每个取值的概率来给出其概率分布。描述方法后续将通过具体示例，介绍描述连续型随机变量分布的相关方法。例2.10

从规定尺寸为25.4mm的产品中抽取100件，这些产品实际尺寸的频率分布如表2-5所示．2.4.2常见的连续型分布

1.均匀分布例2.14电子元件的寿命X（年）服从参数为1/3的指数分布．（1）求该电子元件寿命超过2年的概率；（2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率．是概率论和数理统计中最重要的分布之一，实际中大量随机变量服从或近似服从该分布。核心地位人的身高、体重受种族、饮食、地域、运动等多因素影响，无单一决定性因素，符合或近似符合正态分布。实际应用示例依据中心极限定理，若随机变量受多个独立因素影响且单个因素无决定性作用，即可判定符合该分布。适用判定依据2.5随机变量函数的分布2.5.1离散型随机变量函数的分布2.5.2连续型随机变量函数的分布

函数类型说明连续型随机变量的函数不一定为连续型随机变量，本次主要讨论仍为连续型的情形。

求解需求不仅需要求得随机变量函数的分布，还需要进一步求出其密度函数。

求解思路可先求出随机变量的分布函数，再通过分布函数推导得出密度函数。谢谢聆听概率基础目录大数定律与中心极限定理第5章随机变量及其分布第2章随机向量及其分布第3章随机变量的数字特征第4章随机事件与概率第1章第3章随机向量及其分布项目背景在第2章中，我们介绍了一维随机变量及其分布．现实生活中，我们常常需要同时考虑多个随机变量的情形．本章主要讨论二维随机向量及其分布，至于三维或更多维随机向量则不难类推，下面的讨论如不特别说明，随机向量指的就是二维随机向量．项目目标知识与能力目标过程与方法目标情感态度与价值观目标1.掌握离散型随机向量的分布，能够求联合分布和边缘分布．2.掌握连续型随机向量的分布，能由联合概率密度求出边缘密度．3.掌握随机向量函数的分布，能够由联合分布或联合概率密度求出随机向量函数的分布．4.理解随机变量之间的独立性概念，能够依据现实背景或者独立性定义判断随机变量的独立性．通过引导学生参与课堂讨论、小组合作学习等教学活动，培养学生解决复杂数学问题的能力．激发学生自主学习的兴趣，着重培养学生的创新意识和探索精神．3.1离散型随机向量及其分布3.1.1随机向量基本定义样本空间W上的两个随机变量X、Y构成的有序对(X,Y)即为二维随机向量。研究要点需将(X,Y)作为整体研究，除单个变量属性外，还需考虑二者的关联关系。研究方法可将其视为平面随机点，借助分布函数研究其变化规律，适配离散和连续情形。3.1.2离散型随机向量1.联合概率分布3.2连续型随机向量及其分布3.2.1联合概率密度3.2.2边缘概率密度3.2.3二维均匀分布3.3随机变量的独立性3.4随机向量函数的分布3.4.1离散型随机向量函数的分布3.4.2连续型随机向量函数的分布例3.15设随机变量X与Y相互独立，且都服从N(0,1)，求Z=X+Y的密度函数．例3.14

设随机变量X与Y相互独立，并且都在区间[0,1]上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度．谢谢聆听概率基础目录大数定律与中心极限定理第5章随机变量及其分布第2章随机向量及其分布第3章随机变量的数字特征第4章随机事件与概率第1章第4章随机变量的数字特征项目背景由前文的探讨，我们看到概率分布或密度函数能够全面描述随机变量的统计特性．然而在许多实际问题中，并不需要全面考察随机变量的变化情况，而仅需要了解随机变量的某些特征即可．本章主要来介绍随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、协方差、相关系数和矩．项目目标知识与能力目标过程与方法目标情感态度与价值观目标1.理解数学期望和方差的现实意义，能够用数学期望和方差解释现实中的现象．2.理解离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望的定义和性质．3.掌握方差的定义和性质，以及协方差、相关系数、矩的定义．4.掌握随机变量函数的数学期望和方差，会求随机变量函数的数学期望和方差．1.经历数学期望和方差等概念的形成过程，以此提升自身的抽象能力和概率思维能力．2.经历由现实问题到数学问题的建模过程，进而增强自身的数学建模能力和应用意识．1.培养学生的自主探究意识和合作精神．2.体验知识的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨性．4.1随机变量的数学期望4.1.1离散型随机变量的数学期望例4.1（分赌本问题）17世纪中叶，一位叫梅雷（DeMere）的赌徒向法国数学家帕斯卡（Pascal，1623—1662）提出了分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，且每局中无平局．他们约定，谁先赢3局，则得全部赌本100法郎．当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故中止赌博．现问这100法郎如何分才算公正？显然，平均分对甲不公平；如果全部给甲，则对乙不公平．合理的分法应该是按照一定的比例分配，让甲分多一些，乙少一些．那么，按怎样的比例分配更为合理呢？一种观点认为甲应分得2/3，乙应分得1/3．这种分法基于已经结束的赌局结果，却没有考虑继续赌下去，甲、乙赢下赌局的概率．1654年，法国数学家帕斯卡提出了这样的分法：设想继续赌下去，则甲的最终所得X为一随机变量，其可能的取值为0或100．在甲赢2局，乙赢了1局的情况下，至多再赌2局，赌局便可结束．再赌2局可能出现的结果有以下四种：前三种情况时，甲赢得100法郎，只有为第四种情况时，甲得0法郎．随机变量X的概率分布如表4-1所示．例4.2设某射击手在同样的条件下，瞄准靶子相继射击100次，其中射中次数记录如表4-2所示．例4.4一道选择题，应该有多少种选择答案，答对者应给多少分，答错者应罚多少分，才能使猜答案者没有收益呢？假设一道选择题的备选答案（选择分支）有m个，其中有一个是正确答案，选对者得a分，选错者罚b分，即得-b分，不答者得0分；以X表示乱猜答案者所得分数．那么m,a,b的设计要以E(X)0≤作为标准，简单地以无收益[E(X)=0]为标准，随机变量X的取值以及对应的概率分布如表4-3所示．4.1.2连续型随机变量的数学期望例4.9设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（单位：分钟）是一个随机变量，其概率密度为4.1.3随机变量函数的数学期望设X是一个随机变量，下面讨论X的函数Y=g(X)的数学期望．理论上，我们可以先求出Y=g(X)的概率分布，然后再计算Y的数学期望E(Y)．但是下面定理提供了一种更为便捷的方法．例4.16一公司经营某种原料．根据调查了解到该原料的市场需求为X～U(300,500)（单位：吨），每售出一吨原料，公司可获利１千元（单位：千元），若积压一吨，则公司要损失0.5千元．问公司应组织多少货源，可以使收益最大？4.1.4数学期望的性质例4.19某地区进行某种疾病的普查，为此要检验某一个人的血液．假设当地共有N个人．如果每个人的血液都分别检验，则需要检测N次．问：有没有办法减少检验的工作量？一种方法是：将N个人分组，每组k个人（假设N很大且是k的整数倍），将这k个人的血样混合后进行检验．如果混合血样为阴性，则说明这k个人的血液都呈阴性反应，则这k个人都没有该疾病，因而这k个人只需要检验一次，检验工作量明显减少．如果混合血样为阳性，则说明这k个人中至少有一人为阳性．于是需要再检查k次以确定哪些人为阳性，这样这k个人共检验了k+1次，检验工作量有所增加．假设在接受检验的人群中该疾病检验结果为阳性的概率为p，且每个人检验结果是阴性或是阳性相互独立．现计算该方法的平均检验次数．方差4.2随机变量的方差4.2.1方差的定义方差的定义与意义方差D(X)是衡量随机变量X在期望E(X)周围取值分散程度的数字特征，取值越分散D(X)越大。方差的量纲特征方差是有量纲的指标，它的单位是随机变量X自身单位的平方。未采用其他偏差定义的原因EX-E(X)正负偏差抵消恒为0，E|X-E(X)|不可微数学处理不便，因此未作为方差定义。标准差的概念为使偏离程度的单位与X保持一致，对方差取算术平方根，所得结果即为