江苏省南京市鼓楼区名校联盟2026届九年级下学期中考二模数学试卷（含解析）

2026年江苏省南京市鼓楼区名校联盟二模中考数学试题一、单选题1．画在图纸上的某一零件的长度是25，若比例尺是，则该零件实际长度是（

）．A． B． C． D．2．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（

）A． B． C． D．3．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦4．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（

）A．一直变长 B．一直变短C．先变长，后变短 D．先变短，后变长5．如图，是等边的外接圆，是的直径，过点D作的切线交的延长线于点E．若，则的长为（

）A．5 B． C．6 D．6．已知函数的图象过点，，，则下列选项中，对应的a的值最大的是（

）A． B． C． D．二、填空题7．若，则______．8．已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______．9．若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______．10．某厂工业废气年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______．11．一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为________．12．若抛物线与轴有两个公共点，则的值可以是________．（填写一个即可）13．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________．14．如图，在Rt中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm．15．在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________．16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为______．三、解答题17．解方程：(1)；(2)．18．如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P．求证：PA•PB=PC•PD．

19．按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图．抽取的学生视力状况统计表类别ABCD视力视力4.9视力视力健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良人数160mn56根据以上信息，回答下列问题：(1)______，______，______；(2)抽样调查数据的中位数所在类别为______类；(3)已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议．20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；(2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标．21．射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：选手平均数众数中位数方差甲8a8c乙89b根据以上信息，请解答下面的问题：(1)______，______，______；(2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？(3)选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）．22．甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？23．已知抛物线的对称轴是．(1)求的值及抛物线的顶点坐标．(2)当时，的取值范围是___________．(3)若，请画出的函数图象（不列表），记作．当直线与恰有3个交点时，则的值为___________．24．已知二次函数（为常数）．(1)求证：该函数的图像与轴总有公共点；(2)当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为________．25．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为．(1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式；(2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由．26．如图，在中，，过，两点的交于点，．(1)求证：与相切；(2)若，，①求的长；②的半径为________．27．平行线是研究三角形相似的基本工具．(1)【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）(2)【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证．(3)【应用拓展】如图，已知，直线．在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是．参考答案1．C解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．设零件的实际长度为x，；解得：（）；故选C．2．C解：如图，四边形是矩形，交于点，过点，∴,，∴，∵，∴，又∵，,∴，∴，∴，∴飞镖落在阴影区域的概率是；故选：C．3．D解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误；∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误；∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误；∵垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确．故选D4．D解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长．故选：D．5．C解：连接，是等边三角形，，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，，，，，，，，，故选：C．6．D解：∵图象经过点，，，将这三点坐标代入，得，∴，∴，∵∴随的增大而减小，∵,∴当时，a的值最大，故选：D．7．2解：∵，∴，，∴．故答案为：2．8．解：∵二次函数与x轴有两个公共点，∴方程有两个不相等的实数根，∴，解得，故答案为：．9．6解：由题知，因为关于的方程的两根分别是2，3，所以，则．故答案为：6．10．解：设平均每年废气排放量减少的百分率为x，根据题意列方程得，故答案为：．11．6解：设圆锥的母线长为，圆锥底面周长：，侧面展开图半圆的弧长：，由底面周长等于侧面展开图弧长，得：，∴．故答案为：．12．（答案不唯一）解：抛物线方程为，展开得，∵抛物线与x轴有两个公共点，即方程有两个不相等的实数根，∴，解得．因此k可取任意负数，例如．故答案为：（答案不唯一）．13．5解：连接，，，∵C，D分别是和弦的中点，，∴，，，∴O、D、C共线，设半径，则，由勾股定理得，即解得，故的半径是5，故答案为：5．14．或【详解】在Rt中，，，，是的中点，，，当，，即，解得；当，，即，解得，或，故答案为：或．15．1解：设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、，则，，，，，，．，．，，，平分．．，．．当r最大时，最大．延长至，使，连接则．，，，点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大，此时，，，为等边三角形．．．．的内切圆的半径为r的最大值为1，故答案为：116．解：设，则∴设，则∵点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，根据勾股定理可得代入，得，整理得当时直线与相切，则取的最小值，∴解得：∴当切点在点的左侧时，取得最小值，即的最小值为故答案为：．17．(1)(2)1）解：，，，，∴；（2）解：，，，，，，∴．18．见解析【详解】连接AC、BD．∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△ACP∽△DBP，∴，∴PA•PB＝PC•PD．

19．(1)64，120，30(2)(3)人，建议合理即可（1）解：，∴，，，∴，故答案为：64，120，30；（2）解：总人数人，则中位数为第和人视力的平均数，而组人，组人，∴中位数在组，故答案为：；（3）解：（人），学校可以定期组织视力检查，增加户外活动时间，培养正确的读写姿势和用眼习惯等．20．(1)见解析(2)是，图见解析，M的坐标为（1）解：所作如图所示：（2）解：如上图画出，与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为．21．(1)8，9，；(2)见解析；(3)变大．（1）解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多，甲选手的成绩众数为8，即，，即；把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10，乙选手的成绩的中位数为9；故答案为：8，9，；（2）解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛；（3）第6次为5环，与平均数相差比较大，选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大．故答案为：变大．22．(1)(2)（1）解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种，取出的3个小球上所写数字没有4的概率为．故答案为：．（2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．23．(1)，抛物线的顶点坐标为，(2)(3)b的值为0或（1）的对称轴是直线，，，，抛物线的顶点坐标为，（2）抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，当时，取得最小值为，∵∴当时取得最大值，当时，的取值范围是（3）解：函数W的图象如图所示，∵，顶点坐标为；是由平移得到的且过；由图可知，①当时，恰与W有3个交点；②将的图象向上平移后与只有一个交点时，与恰有三个交点，令，整理得，与只有一个交点，，，综上，当直线与W恰有3个交点时，b的值为0或．24．(1)见解析(2)（1）解：令，则，∵，，，∴，∴方程有实数根，∴该函数的图像与轴总有公共点；（2）解：∵，∴该函数图像的顶点纵坐标为，设，∵，∴当时，有最大值，最大值为0．故答案为：．25．(1)(2)船不能安全通过此桥，见解析（1）解：为16m，的中点为原点，点，的坐标分别是，．可设此函数的表达式为，当水位上升时，水面宽为，点的坐标为，把，代入，，解得．此函数的表达式为，即．（2）解：船不能安全通过此桥．把，代入，得，当船行至桥时水位上升高度为，船顶距高为．，船不能安全通过此桥．26．(1)见解析(2)①；②（1）证明：如图，在优弧上取一点E，连接，，，，设，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又为的半径，∴与相切；（2）解：①∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，解得（负值已舍去）∴；②过A作于H，于F，设半径，则，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，在中，，，由勾股定理得，即，解得，即的半径为．27．(1)见解析(2)见解析(3)①见解析；②（1）解：如图，作，与交于点E，点E即为所求．∵，∴，∵