四川省绵阳市北川县2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

2026年四川省绵阳市北川羌族自治县第一次学情调查九年级数学试题一、单选题1．一个数的相反数是它本身，这个数是（

）A．1 B． C．0 D．无法确定2．九三阅兵之后国际形势变化较大，全国要求台湾回归祖国的呼声越来越高．据统计截至11月以来，收到相关邮件为800万件，用科学记数法表示是（

）A．件 B．件 C．件 D．件3．对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究．从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．如图是一个工件的立体图，从前面看它得到的平面图形是（

）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．5．将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．6．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C．且 D．7．某校课后服务期间开展大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小美和小好两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个的概率是（

）A． B． C． D．8．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（

）（参考数据：，，）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里9．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（）A． B． C． D．10．如图，四边形是矩形，点P从边上点E出发，沿直线运动到矩形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿运动到点C．设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y关于x变化的函数图像，根据图像，下列判断正确的是（

）A． B．点P经过矩形对角线的交点C． D．当时，长度的最小值为411．抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：①一元二次方程的根为，；②若点，在该抛物线上，则；③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（

）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（

）A． B． C． D．二、填空题13．分解因式：﹣=______．14．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是________15．已知关于的方程的一个根为，则m的值为_________．16．若关于y的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的所有整数m的和为________．17．如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是______．18．如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________．三、解答题19．计算：(1)；(2)先化简，再求值：，其中满足．20．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．请结合图中的信息解决下列问题：(1)在这次活动中，调查的居民共有___________人；(2)将条形统计图补充完整；(3)扇形统计图中的___________，D所在扇形的圆心角是___________度．21．某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元，乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套．(1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元；(2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？22．如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点．(1)的值为__________，的值为__________；(2)对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________；(3)以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上．23．如图，在中，，以边为直径作交于点，为的切线交于点．(1)求证：；(2)若的半径为，，求的长．24．已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接．(1)如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形；(2)当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．25．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．参考答案1．C解：一个数的相反数是它本身，这个数是0．故选：C．2．B解：∵800万，又∵科学记数法要求，其中，∴；故选B．3．D解：该几何体从正面看到的图形是故选：D．4．A解：A、，本选项符合题意；B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；C、，本选项不符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：A．5．D解：如图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：D．6．A解：∵方程有实数根，当时，方程为，解得，有实根；当时，方程为一元二次方程，判别式，∴，即；综上，．故选：A．7．C解：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件分别用表示，画树状图如下：∴共有种等可能的结果，他们选择同一个的结果数为种，∴他们选择同一个的概率是，8．C解：如图所示标注字母，根据题意得：，，，，∴，，∴，在中，，∴（海里），∴此时与灯塔的距离约为海里．故选：C．9．B解：连接，图形由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，，，又，，，，，又空白部分面积为，则图中阴影部分与空白部分面积之比为．10．B解：由题意知，当P与B重合时，，最大，当点P在上运动，逐渐减小，直至P与C重合时，则，，的最大值，，A错误；，，C错误；当时，点P在上，，，，，点E是的中点，即点P从的中点出发，延长交于点G，，用勾股定理可求，是的中点，点F是矩形对角线的交点，即点P经过矩形对角线的交点，B正确；作，易求，当时，长度的最小值为，D错误．故选：B．11．B解：①抛物线，，为常数，经过，两点，一元二次方程的根为：，，则结论①正确；②抛物线的对称轴为直线，当时的函数值与的函数值相等，，当，随的增大而减小，，，②结论错误；③当时，，则抛物线顶点的纵坐标为：，且，将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线解析式为：，由二次函数图象特征可知，的图象位于轴下方，顶点恰好在轴上，即恒成立，对于任意实数总有，即，③正确；④将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线解析式为，函数对应的一元二次方程，若方程的根为整数，则其根只能是，或，或，对应的值只有三个，则结论④错误．综上，结论正确的有①③．故选：．12．D解：令交于点，连接、，如图所示：，，，是等腰直角三角形，则，，，，，是的一个外角，，即，综合四个选项中的角度，只有满足要求，故选：D．13．【详解】故答案为：14．解：过点作，如图：，，，∵，∴，，∴，．15．解：方程的一个根是，，解得，故答案为：．16．30解：，解不等式①可得：，解不等式②可得：，∴原不等式组的解集为，∵关于y的不等式组有且只有五个整数解，∴不等式组的整数解为，，，，，∴，解得：，∵为整数，∴或或或或，∴符合条件的所有整数m的和为，故答案为：．17．3解：如图，由题意得：，，∴，根据两个三角形相似，对应边上的高的比等于相似比可知：，∴；故答案为：．18．解：如图，过点作于点，∵，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，，当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，∵是线段的中点，，，由折叠的性质得：，∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，∴当点、、三点共线时，最小，此时面积最小，延长、交于点，过点作于点，则，∴，，，，∵，，，∴是等腰直角三角形，，，，，，∵，，即，∴，，，∴面积的最小值为．19．(1)(2)；（1）解：原式；（2）解：原式；∵，∴，解得或，∵且，∴且，∴，原式．20．(1)200(2)见解析(3)25，36（1）解：根据题意得：（人），则调查的居民共有200人；故答案为：200；（2）解：根据题意得：（人），（人），补全条件统计图，如图所示：（3）解：根据题意得：，，则扇形统计图中的，D所在扇形的圆心角是度．故答案为：25，36．21．(1)每套乒乓球拍的进价是30元，羽毛球拍的进价是45元(2)购进乒乓球拍数量范围是67套到120套；当购进67套乒乓球拍和133套羽毛球拍时，获利最大（1）解：设每套乒乓球拍的进价为元，羽毛球拍的进价为元．根据题意列方程组：，解得：．答：每套乒乓球拍的进价是30元，羽毛球拍的进价是45元．（2）解：设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套，设总利润为w，∴，解得：，总利润，∵，∴当时，利润最大．答：购进乒乓球拍数量范围是67套到120套；当购进67套乒乓球拍和133套羽毛球拍时，获利最大．22．(1)2；6(2)(3)点B没有落到双曲线上（1）解：将代入一次函数与反比例函数，∴，，∴，．故答案为2；6（2）解：将代入，∴，解得，根据图象得到当时，的取值范围为．故答案为（3）解：如图，过点A作轴，垂足为D，过点B作，垂足为E，∴，∵为正方形，∴，．∴，∴．∴．∴，．∵点A的坐标为，∴，．∴点B的坐标为．∴当时，，∴点B没有落到双曲线上．23．(1)见解析(2)（1）证明：连接，如图，∵为的切线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：连接、，如图，∵的半径为，为的直径，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得．24．(1)见解析(2)补全图形见解析，线段与的数量关系：，证明见解析（1）证明：∵点D，E关于直线对称，∴，∵是等边三角形，∴．∵点D为线段的中点，∴．∴．∴．∵，∴是等边三角形；（2）解：补全图形如图所示，线段与的数量关系：．证明：延长到点G，使，连接．∵F为线段的中点，∴．在和中，，∴，∴．∴．∵是等边三角形，∴．∴．∵点D，E关于直线对称，∴．∴，∵．∴，∴，∴，在和中，，∴．∴，∴．25．(1)；6m(2)(3)（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，又∵抛物线过点，∴，∴，