天津市静海区第六中学2025−2026学年第二学期第二次质量监测高二年级数学试题（含答案）

天津市静海区第六中学2025−2026学年第二学期第二次质量监测高二年级数学试卷一、单选题1．设集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（

）A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%5．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为C．二项式系数最大的项为 D．常数项为6．下列说法正确的是（

）A．回归分析中，决定系数越小，说明残差平方和越小，拟合效果越好B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知随机变量，则D．已知随机变量，则7．某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（

）A．72 B．108 C．216 D．2888．某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（

）A． B． C． D．9．设函数与是定义在同一区间上的两个函敉，若对任意的，都有，则称与在上是“k度和谐函数”，称为“k度密切区间”．设函数与在上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题10．二项式的展开式中的系数为_____．11．已知，则函数的最小值为_______________．12．已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________．13．现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________．14．学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________．15．已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________．三、解答题16．设函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值与最小值．17．人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广.某市教育局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表.年龄是否喜欢使用AI技术合计喜欢不喜欢不超过45岁461460超过45岁322860合计7842120（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关；（2）现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术教师的条件下，求此人年龄不超过45岁的概率.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82818．有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；（2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望.19．已知函数，（1）求函数的极值；（2）若，讨论函数的单调性．20．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求证：；（3）证明：函数存在唯一极大值点，且．

参考答案1．【答案】C【详解】已知全集，集合，则，又，因此.2．【答案】B【详解】不等式解集为，所以，“”是“”的必要不充分条件.3．【答案】D【详解】依题意，f'(x)=x-ax+1≥0在[1,+∞)上恒成立，

即a≤x2+x在[1,+∞)上恒成立.4．【答案】D【详解】由χ2≈6.816>6.635=x0.01，可知有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，故D正确；

独立性检验仅说明两个变量间的关联性，无法量化个体情况5．【答案】B【详解】选项A：在的展开式中，二项式系数之和为，A错误；选项B：令，得各项系数之和为，B正确；选项C：二项展开式的通项公式：，其中，为偶数，二项式系数最大的是中间项即第4项（对应），代入通项得该项为，C错误；选项D：令，得，得常数项为，D错误.6．【答案】C【详解】对于A，回归分析中，决定系数，越小，说明残差平方和越大，模型拟合效果越差，故A错误；对于B，线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强.若为负数，越大（越接近0）反而线性相关性越弱，故B错误；对于C，由随机变量得，，故C正确；对于D，因，则，又因，则，故D错误.7．【答案】C【详解】上午两节语文课连上，在上午4节课中有3种排法（即第1、2节，第2、3节或第3、4节）；

同理，下午两节数学课连上，在下午4节课中也有3种排法.

剩余4个空位安排英语、物理、体育、音乐各一节，进行全排列，有A44种排法.

根据分步乘法计数原理，共有3×3×8．【答案】B【详解】每次点击有3种选择，连续点击5次，总共有35=243种组合.

若5个数字之和为三个1和两个0：从5个位置中选3个放1，其余放0，共有C53一个2，一个1，三个0：从5个位置中选1个放2，再从剩余4个位置中选1个放1，其余放0，共有C51C41=20种组合.

所以，数字之和为3的组合共有10+20=30种.

因此，抽奖码是39．【答案】B【详解】由题意在时恒成立，即在时恒成立，设，则，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，又，，所以，因此由在时恒成立得：且，所以．故选B．10．【答案】80【详解】解：由二项式的展开式的通项公式得：令，解得，即二项式的展开式中的系数为：，故答案为11．【答案】11【详解】令，由，得，且．将代入中，可得，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立．此时，则，满足题设条件，故函数的最小值为11．12．【答案】【详解】由题意可知，三次配送结果相互独立，每次准时送达的概率均为，因此准时送达的次数，；记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“该骑手恰好准时送达两次”，显然，故，，，所以.13．【答案】100【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况，当按照分组时，有种分组方法，当按照分组时，有，所以总的分组方法有种；第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法；第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法.又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法.14．【答案】【详解】设事件为“该同学选择抒情歌演唱”，事件为“该同学选择流行歌演唱”，事件为“该同学选择摇滚歌演唱”，事件为“该同学晋级下一轮”．由题意可得：，，，，，．根据全概率公式可得：，即，则他能晋级的概率为．根据贝叶斯公式可得：，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为．15．【答案】【详解】由，得，显然，所以在有解，令，则，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即的取值范围为.16．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为和.（2）最大值为，最小值为.【详解】（1）对函数求导可得，，令，得；令，得或，所以，函数单调递增区间为，单调递减区间为和.（2）由（1）得在区间，上单调递减，上单调递增，如下表所示单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以，，又，故在区间上最大值为，最小值为.17．【答案】（1）能（2）【详解】（1）零假设：该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄无关，计算，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关.（2）设事件A为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用AI技术的教师，事件B为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄不超过45岁，由题意，，，则.18．【答案】（1）（2）分布列：0123【详解】（1）前3局甲都获胜的概率为；（2）的所有可能取值为.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则；所以的分布列为：0123故的数学期望为.19．【答案】（1）极小值为，无极大值（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减.【详解】（1）函数的定义域为.，令，解得.当变化时，的变化情况如表所示.单调递减单调递增因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值.（2）函数的定义域为..①当时，，时，，单调递增；时，，单调递减.②当时，令，得或若，即时，恒成立，所以在上单调递增；若，即时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.若，即时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减.20．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【详解】（1）由求导得，则，又，则曲线在处的切线方程为，即.（2）要证，即证，因为，则得，即，令，则，因在上单调递增，且，，因此存在唯一的，使得，当时，,当时，,即函数在上单调递减