2027届新高考数学热点精准复习集合

2027届新高考数学热点精准复习集合阅读索引：1.怎样判断元素与集合的关系；2.如何理解集合中元素的互异性；3.怎样理解两个集合之间的包含与真包含的关系；4.怎样求一个确定集合的子集与真子集的个数；5.求解集合相等问题时应注意什么；6.集合运算主要包括哪些内容；7.怎样利用数轴或Venn图解决集合问题；8.怎样求解域方程有关的集合问题；9.含参数的集合问题怎样求解；10高考中关于集合的创新题如何求解.问题是思维的源泉！我们带着问题扑面而来新课标教科书相关内容安排参考资料12设P是一个数集，且至少含有两个数，若任意，都有

（除数），则称P是一个数域.例如有理数Q就是一个数域；数集F={}也是数域.有下列命题：1.整数是数域；2.若有理数，则数集M必为数域；3.数域必为无限集；4.存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号：.（把你认为正确的命题的序号都填上.）解析：数集内.而故1错误.2.设M中除有理数外还有另外一个元素，则.也必在M内，而不一定属于M，故2错误.

3.设数域P，（假设），则则

，同理，故数域必为无限集；所以3正确；4.形如这样得数集都是数域，故存在无穷多个数域.为无理数3.43解题途径从数域中的任意元素

，是否满足：

入手进行判断，对于不满足集合特征的只需举一个反例即可。思索：该题给出一个新定义的数学概念后，让你现场发挥和接受，在较短的时间内，应用新定义的术语解题。此题是一个好题，具有一定的代表性。希望从中汲取养分！数学是清楚的，数学是简单的。4探究二：如何理解集合中元素的互异性？解题必备：集合中的元素必须是互不相同的，两个相同的对象归入同一个集合时，应看做是集合的同一个元素。用下面的例子加以说明：已知集合A={}，若是三角形的三条边，则该三角形不可能是：A.直角三角形；B.斜三角形；C.等腰三角形；D.有一个锐角为30°的钝角三角形.解析：因为是同一个集合的三个元素，因此不

可能相等，故该三角形不可能是等腰三角形.答案：C.解题途径：利用集合中的元素互不相等以及等腰三角形中有两条边相等的条件来求解.万变不离其宗——基础5探究三：怎样理解两个集合之间的包含与真包含的关系？解题必备：两个集合之间的包含关系是指两个集合之间的子集关系，记为“”，而真包含关系是指两个集合之间具有真子集关系，记为“”.若，则对于任意，都有.一般地，有两种可能：A是B的一部分或A与B是同一集合，而真子集的本质是：A是B的一部分.请看如下的例子：设集合：则（）M=NB.MNC.NMD.思考后请点击看详细的解析B6解析1.在集合M中，令k=0,1,2,3,依次得：

其终边的位置为坐标平面内一、三、

象限与二、四象限角平分线所在直线.在集合N中，令k=0,1,2,3,4,5,6,7,依次得：

其终的位置为坐标平面内一、三象限与二、四象限角平分

线所在的直线和x轴、y轴所在的直线，由此可知：解析2.在集合M中，

在集合N中，由于时，2k+1是一个奇

数的集合，而k+2是一个整数的集合，故可以的出结论答案

：.从而选项B正确.

解题途径：解法1是用列举法将集合M、N写出，此种解法一方面较复杂，另一方面易出错；解法2在求解时充分考虑集合中元素的共性将元素表达式变形，是一种常见方法.因此求解此类问题时，充分认识集合中元素的特点有利于比较两个集合之间的关系.通过分析1，2可见解析2具有良好的思维品质！7探究四：怎样求一个确定集合的子集与真子集的个数？解题必备：（1）一般地，设集合：则集合M的子集的个数为：，真子集的个数为：非空子集的个数为：，非空真子集的个数为：含有

个元素的集合个数为：（2）若则A的个数为：（3）若则B的个数为：对于探究四请看下面的例子：8例题：若，若,求实数组成的集合，并写出它的所有非空真子集.解：由于A={3，5}，，（1）

则.（2）若

则此时有

综上所述可知，有实数组成的集合为：

故其所有非空真子集为：个解题途径：先化简集合A，对于，不能忽视的情况.方法提炼：对于与本题类似的题目，一半用到列举法一一列举出

即可，列举时，一半按照元素个数由少到多一一列举.9探究五：求解集合相等问题时应注意什么？解题必备：集合相等，不但要利用对应元素相同列方程或方程组，

还要注意集合中元素的互异性，该类问题不但考查集

合知识，而且还考查函数与方程思想，因此是高考中

的重点.举例说明如下：例子：已知集合A=B=

若A=B，求c的值.解：根据题意，分两种情况进行讨论：

（1）若

当时，集合B中的三个元素均为0，与元素的互异

性矛盾，故.无解10（2）若综合（1），（2）得到所求的结果为：解题途径：求c的值，关键是要有见利方程组的数学思想，此题应根

据相等的两个集合的元素完全相同以及集合中元素的确

定性、互异性见利关系式.方法提炼：解决集合相等的问题容易产生于互异性相矛盾的增解，

这就需要解题后进行讨论检查.入门既不难，深造也是办的到！11探究六：集合运算主要包括哪些内容？解题必备：集合运算时高考中的重点，主要包括集合的子集、交集、

并集、补集的运算，在求解此类问题时，要明确各种运算的特点，其主要公式如下：后面的两个例子来说明此类问题的解法：12例子1.已知集合则：A.{1,5,7};B.{3,5,7};C.{1,3,9};D.{1,2,3}解析：∵

故答案A正确.解题途径：此类问题的求解应该按步求解，本题的求解关键是

正确求出，利用补集的性质求解.此处的N为

非负整数（自然数）集合.教科书P3有说明.13例子2.若集合则解析：由故答案D正确14方法提炼：与不等式的解集有关的集合运算，求解时首先应利用解不等式的方法求不等式的解集，然后根据集合的运算方法求解.15探究七：怎样利用数轴或Venn图解决集合问题？解题必备：有的集合问题比较抽象，解题时若借助Venn图或数轴采用数形结合的思想方法，往往可使问题直观化、形

象化，进而能使问题简捷、准确地获解.例子：设全集则（）B16AUB12345678图1-1-1解析：由已知得：U={1,2,3,4,5,6,7,8}

根据已知画出Venn图（如图1-1-1）A={1,3,5,8}，B={2,3,5,6}

故选项B正确.解题途径：由于本题所给的集合是一些自

然数集，且已知条件中集合个数

较复杂.因此可用Venn图表示已知条件，然后结合

交集、补集的性质求解.数形结合的思想在解题时是闪闪发光的！17探究八：怎样求解域方程有关的集合运算问题？解题必备：与方程有关的集合运算问题主要有两类：一是不含参

数的直接求出方程的解集，二是含有参数的方程要注

意分类讨论求解，求解时先要准确化简集合.例子：已知三个集合：

求实数

的取值集合.解：18解题途径：三个集合都表示方程的解集，由于集合B、C中的两个方程都不含有参数，所以可从化简B、C

入手，应用已知条件和，确

定A中方程的性质，找到关键元素也就找到了

合理的解题过程.多深的基础，多高的楼！要想盖高楼大厦就赶紧打下坚实的基础吧！每一点按照一定的程序就可以形成气候！不要不珍惜每一点！19探究九：含参数的集合问题怎样求解？解题必备：所谓集合中的参数问题，是指集合{pp适合的条件}中“p适合的条件“里面含有的参数的问题.解答这类问题类

似于解其它含有参数的问题，灵活信封极强，难度也很

大.因此，解决此类问题不但要注意思维的严谨性，而且

还要注意参数在方程或不等式中的位置.例子：（1）已知集合

则实数的取值范围是：

（2）已知集合

则实数的取值范围是，其中c=2021解析：（1）1图1-1-2如图1-1-2所示当时，命题处理.（2）方法提炼：已知两个集合的运算关系且一个

集合中含有参数时，常用数形结

合思想来求解22探究十：高考中关于集合的创新题如何求解？解题必备：集合中的创新题是在已有集合知识的基础上，引出新的

定义、运算符号、或条件、结论开放的题型.求解此类问

题应将题目中的已知条件转化为已学知识之间的联系。用例子说明此类问题到底应该怎样应用：例子：设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1A,

且k+1A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S得3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”

的集合共有个.解析：由题意可知，不含“孤立元”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}

共计6个集合.623解题途径：本题主要考查分析问题、解决问题的能力，解题关键是通过本题给出的信息正确理解“孤立元”的定义！24解题技巧归纳1.思维误区点拨（1）对概念理解不清至错：看下面的例子已知A={1,2,3},B={4,},若A∩B={2},则集合A∪B的元素个

数为（）A.3;B.4;C.5;D.6.错解：A∪B={1,2,3,4,},因此A∪B得元素个数为5.故选C.剖析：错误原因是对于并集概念掌握不清，认为并集是两个集合元

素的简单合并，忽视了两个集合中有相同元素2.的结果导致.正解：因为A∩B={2}，说明，即A∪B={1,2,3,4}.所以A∪B的

元素个数为4，应选B.提示：别看题小，它是解决复杂问题的一种积累，切忌浮躁！25（2）忽视集合中元素的互异性：看下面的一个例子例子：设集合

求集合A中所有元素之和.错解：.设解为:则

所以集合A中元素者为-(b+2).剖析：由于因此当b=0时，方程有两个相等解，此时集合中

只有一个元素，上述求解过程忽视了集合中元素的互异性.正解：当

即b=0时，A={-1}.所以集合A中元素之和为-1.

当时，方程两根之和为-(b+2)

所以当b=0时，A中元素之和为-1，当b≠0时，A中元素之

和为-(b+2).

26（3）注意数0、、集合{}之间的关系

是元素与集合之间的关系，此时作为元素，而

则是以为单元素的集合；在中，和均为

集合，这符合空集是任何非空集合的真子集这一事实.

不要把数0或集合{0}与空集混淆，数0不是集合，{0}是含有

一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合.不要把空集

错误地写成{空集}或，涉及子集时，应注意空集是任何集

合的子集，需要分类讨论.例子：已知集合：集合：Q=

且,实数的取值范围构成的集合A.解：又，∴当Q=时，

时，有；27数学编辑器在收入文字时不显示那是因为你的系统里缺少文字造成的，可以在界面更改样式定义高级里得文字字体文本框也可以更改设置，而后右键点击设为默认文本框即可。张国顺研究2010.6.20.这样以后录制速度就快多了！28（4）特征性质描述法代表元素

特征性质描述方式是一个难点，同时也是重点，

同学们接受时有一定难度，尤其是对于代表元素的

理解.数集合点集是两类重要的集合，一定要通过代

表元素的形式区分.例子：29剖析：以上解法都是因为对特征性质描述法中代表元素

理解不透彻而造成误选的.错解1，2将P,Q认为

方程是根的集合，错解3将数集认为点集.正解：集合P表示函数y=x+1中的y的取值范围，因此人巧不如工具妙，设置了文本框和数学编辑器以后速度提高了若干倍！这就是所谓的磨刀不误砍柴工！302.用Venn图求解集合问题：Venn图既可以不是一个独立的集合也可以不是集合与

集合之间的相互关系.例如，集合A={0，1，3，5}可以

用图1-13（1）来表；集合A是集合B的真子集，可以用

图1-1-3（2）来表示；集合可以表示成图1-1-3（3）；集合可以不是成图1-1-3（4）.有了

上述的表示方法，我们就可以利用Venn图来解决有关

集合的问题.ABBAAB0135（1）（2）（3）（4）图1-1-331例子：设全集I={1,2,3,4,5}若集合S和T满足:1，5I342图1-1-4323.集合三种语言的相互转化：集合的语言形式有三种：自然语言、符号语言、图形语言，如表示由直线y=x所有的点组成的集合，可用以下三种语言形式：（1）自然语言形式：直线y=x上所有点组成的集合；（2）符号语言形式：（3）图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线y=x

如下图所示：y=xxy033将集合的三种语言进行互化，有助于弄清集合是由哪些元素构成的，有助于提高分析问题和解决问题的能力.从此也可以看出，学习就要进行必要的变通，在“变”中求生存和发展！发展是个硬道理.下面结合一个例子来说明三种语言的互相转化在解题中的具体应用：起到抛砖引玉的作用.变34解析：由于对符号语言较难理解，我们将它转化为自然语言：集合是指集合A的补集与集合B的交集，也就是全集U中去掉A中的元素后剩下的元素与B中相同的元素构成的集合.由于所以它与集合B的公共元素只有一个，即点（2，3）.故选B.答案：B354