2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+第四章++数列的概念与简单表示法

4.1数列的概念第一课时数列的概念与简单表示法第四章数列[目标导航]课标要求

1.通过实例,了解数列的概念2.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题新知导学·素养启迪新知梳理1.数列的概念(1)定义:按照确定的

排列的一列数称为数列.(2)项:数列中的

叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.(3)数列的表示:数列的一般形式是a1,a2,a3,…,an,…,简记为

.顺序每一个数{an}分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第

项起,每一项都

它的前一项的数列递减数列从第

项起,每一项都

它的前一项的数列常数列

的数列摆动数列从第

项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列2.数列的分类2大于2小于各项都相等23.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的

之间的对应关系可以用

来表示,那么这个

叫做这个数列的通项公式.序号n一个式子式子(1){an}与an是不同概念:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an表示数列{an}中的第n项.(2)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数解析式.(3)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.小试身手1.若数列{an}的通项公式为an=n2-n+2,则a4=

.

14解析:a4=42-4+2=14.3.写出当自变量x取1,2,3,…时,函数f(x)=x2的值构成的数列的前三项:

.1,4,9解析:当x取1,2,3时,函数f(x)=x2的值分别为1,4,9,故当自变量x取1,2,3,…时,函数

f(x)=x2的值构成的数列的前三项为1,4,9.4.若数列5,4,3,m,…是递减数列,则m的取值范围是

.

(-∞,3)课堂探究·素养培育[例1](多选题)下列说法不正确的有(

)A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列B.数列-2,3,6,8

可以表示为{-2,3,6,8}C.{an}和an是相同的概念D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的数列的概念及分类BCD解析:根据摆动数列的概念,A正确;数列-2,3,6,8

不能表示为集合{-2,3,6,8},数列和元素顺序有关,集合和元素顺序无关,故B错误.{an}表示数列的全部的项,而an表示数列的第n项,不是同一概念,故C错误;数列的通项公式可以有多个,D错误.故选BCD.即时训练1-1:给出下列数列.①2014—2022年某市居民人数(单位:万人)构成数列93,105,118,132,147,163,180,198,208;③-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列-2,4,-8,16,-32,….其中,有穷数列是

,无穷数列是

,递增数列是

,常数列是

.

①②③①②解析:①是有穷数列;②③是无穷数列,同时①也是递增数列;②是常数列.(1)有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需看数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.(2)数列单调性的判断判断数列的单调性,则需要从第2项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足an<an+1,则是递增数列;若满足an>an+1,则是递减数列;若满足an=an+1,则是常数列;若an与an+1的大小不确定时,则是摆动数列.由数列的前几项求通项公式[例2]根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.(2)1,3,6,10,15,…;(3)6,66,666,….即时训练2-1:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(3)7,77,777,7

777.此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.这些方法的具体对象为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系.通项公式的简单应用[例3]已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第4项和第6项.解:(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)问:-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是否是该数列的一项?变式训练3-1:若本例中的条件不变,(1)试写出该数列的第3项和第8项.解:(1)因为an=3n2-28n,所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32.(2)问:20是不是该数列的一项?若是,应是哪一项?变式训练3-2:若将例题中的“an=3n2-28n”变为“an=n2+2n-5”,试判断数列{an}的单调性.(1)由通项公式写出数列的指定项,只须对n进行取值,然后代入通项公式,相当于已知函数解析式和自变量的值求函数值.(2)判断一个数是否为该数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可判断.(3)在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件.当堂即练·素养达成1.(多选题)下列说法中不正确的有(

)A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列当堂即练ABD解析:由数列的定义知A,B错误;C正确;D中数列的第1项0无法用an=2n(n∈N*)来表示,故选ABD.2.(多选题)已知数列0,2,0,2,0,2,…,则前6项适合的通项公式为(

)A.an=1+(-1)nAC20解析:根据题意,a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,则a2·a3=20.11课堂小结1.数列的定义中的两个关键词:“一列数”,即不止一个数;“确定顺序”,即数列中的数是有序的.2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不足近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需