2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册+第六章+　组合的应用

第2课时组合的应用[目标导航]课标要求通过实例掌握常见的组合问题,掌握解决组合问题常用的方法和技巧新知导学·素养启迪新知梳理小试身手1.现有6名内科医生和4名外科医生,要组成5人医疗小组送医下乡,要求既有内科医生,又有外科医生,则不同的选法共有

种.(用数字作答)

2463.将4本完全相同的小说和1本诗集全部分给4名同学,每名同学至少得到1本书,则不同的分法有

种.

3或7164.在一次医疗救助活动中,需要从甲医院的6名内科医生、4名外科医生中分别抽调3名内科医生、2名外科医生,且内科医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派方案共有

种.(用数字作答)

60课堂探究·素养培育[例1]

男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;有限制条件的组合问题(2)队长中至少有1人参加;(3)既要有队长,又要有女运动员.解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法(即先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法)的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.即时训练1-1:某工厂对35件产品进行抽样检查,已知其中有15件次品.现从35件产品中选取3件.(1)其中某1件次品必须在内,不同的取法有多少种?(2)恰有2件次品在内,不同的取法有多少种?(3)至多有2件次品在内,不同的取法有多少种?组合中的多面手问题[例2]

车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名既能做钳工又能做车工,从中选出4名钳工和4名车工,问有多少种不同的选法?分类问题找准标准是关键,对于多面手问题,在弄清楚多面手的人数后,只需按照多面手参加其中某项活动的人数来分类,剩余多面手在另一种活动中待选,这样可以做到不重不漏.即时训练2-1:有12名外语翻译人员,其中8名会翻译英语,6名会翻译韩语,从中找出8人,使他们组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译韩语,这两个小组能同时工作,问这样的分配名单共可开出多少种?排列组合的综合应用[例3](1)从1,2,3,4,5,6,7这7个数字中任取2个奇数和2个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为(

)A.432 B.288 C.216 D.108C(2)有5本不同的教科书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是(

)A.24 B.48 C.72 D.96B(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步.这是处理排列、组合综合问题的一般方法.即时训练3-1:(1)6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者,每名学生只去1个值勤岗亭,且每个值勤岗亭均有志愿者值勤.若甲值勤岗亭安排3名志愿者,则不同的安排方法共有(

)A.60种 B.96种

C.120种 D.240种C(2)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A,B,C三个场馆参加活动,要求每个场馆都有人去,且这四人都在这三个场馆,则甲和乙都没被安排去C馆的种数为(

)A.12 B.14 C.16 D.18B分组分配问题一、非均匀分组

所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组.例如7个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?(1)分成三组,分别为1人,2人,4人;(2)选出5个人再分成两组,一组2人,另一组3人.二、均匀分组

所谓“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组.1.全部均匀分组

例如从7个参加义务劳动的人中,选出6个人,分成两组,每组都是3人,有多少种不同的分法?分析:记7个人为a,b,c,d,e,f,g,写出一些组来考查.选3人

再选3人

分组方法种数

abc

def

def

abc

这两种只能算一种分法

abc

deg

deg

abc

这两种只能算一种分法

………2.部分均匀分组例如将10个不同的零件分成四堆,每堆分别有2个、2个、2个、4个,有多少种不同的分法?分析:记10个零件为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,写出一些组来考查.[典例]

某学校派出5名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有(

)A.80种 B.90种C.120种 D.150种D素养演练:某运动会期间,某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任A、B和C三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排1人,每人只能安排到1个项目,则所有排法的总数为(

)A.60 B.120 C.150 D.240C当堂即练·素养达成当堂即练D1.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某比赛,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有(

)A.140种 B.120种

C.35种 D.34种2.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有(

)A.252种 B.112种 C.20种 D.56种B3.平面内有四个红点,六个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任意三点不共线,过这十个点中的任意两点所确定的直线中,至少过一个红点的直线的条数是(

)A.30 B.29 C.28 D.27B4.甲、乙、丙3个公司承包5项不同工程,甲、乙公司均承包2项,丙公司承包1项,则共有

种承包方式.

30课堂小结1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求