2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册+第七章+离散型随机变量的均值

7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值[目标导航]课标要求1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值的概念2.能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些实际问题新知导学·素养启迪新知梳理离散型随机变量的均值(1)定义:若离散型随机变量X的分布列为x1p1+x2p2+…+xnpnXx1x2…xnPp1p2…pn(2)意义:它反映了随机变量取值的

.(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且有E(aX+b)=

.平均水平aE(X)+b小试身手1.投掷一枚质地均匀的硬币,规定正面向上得

1分,反面向上得-1分,则X的期望E(X)=

.

02.在一次商业活动中,某人获利300元的概率为0.6,亏损100元的概率为0.4,此人在这样的一次商业活动中获利的均值是

.

140解析:设此人获利为随机变量X,则X的取值是300,-100.其概率分布列为X300-100P0.60.4所以E(X)=300×0.6+(-100)×0.4=140.课堂探究·素养培育求离散型随机变量的均值所以X的分布列为求期望的关键是写出分布列,一般分四步(1)确定X可能的取值.(2)计算出P(X=k).(3)写出分布列.(4)利用E(X)的计算公式计算E(X).(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E(ξ).所以ξ的分布列为均值问题的实际应用[例2]

国庆期间,某电器商场为了促销,给出了两种优惠方案,顾客只能选择其中的一种,方案一:消费每满

8

000元,可减

800元.方案二:消费金额超过8

000元(含

8

000

元),可抽取小球三次,其规则是依次从装有

2个红色小球、2个黄色小球的一号箱子,装有

2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子,装有

1个红色小球、3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球(这些小球除颜色外完全相同),其优惠情况为:若抽出3个红色小球则打六折;若抽出2个红色小球则打七折;若抽出1个红色小球则打八折;若没有抽出红色小球则不打折.(1)若有两名顾客恰好消费8

000元,他们都选中第二方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;(2)若你家人在该商场消费了1万元,请用所学知识帮助你家人分析一下应选择哪种付款方案.故X的分布列为利用均值解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来.(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率.(3)依据均值的定义、公式求出相应的均值.(4)依据均值的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.即时训练2-1:某地拟在该地一水库上建造一座水电站,用泄流水量发电,下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量K(单位:万立方米)的频率分布直方图(不完整),已知X∈[0,120],历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156,一年按364天计.(1)请把频率分布直方图补充完整.(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行,但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机,如60≤X<90时才够运行两台发电机,若运行一台发电机,每天可获利润为4

000元;若不运行,则该台发电机每天亏损500元.以各段的频率作为相应段的概率,以水电站日利润的期望值为决策依据,问:为使水电站日利润的期望值最大,则该水电站应安装多少台发电机?①若安装一台发电机,则Y的所有可能取值为-500,4

000,其分布列为②若安装两台发电机,则Y的所有可能取值为-1

000,3

500,8

000,其分布列为③若安装三台发电机,则Y的所有可能取值为-1

500,3

000,7

500,12

000,其分布列为当堂即练·素养达成当堂即练1.已知ξ的分布列为D2.口袋中有编号分别为1,2,3的3个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为(

)D则a=

,b=

.

课堂小结1.对于离散型随机变量的均值,要理解随机变量的均值E(ξ)是一个数值,是随机变量ξ本身所固有的一个数学特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.2.求随机变量的期望关键是写出分布列,一般分为四步:(1)确定ξ的可能取值;(2)计算出P(ξ=k);(3)写出分布列;(4