材料力学（II） 课件 第5章 应变分析 · 电阻应变计法基础

1第5章应变分析·电阻应变计法基础§5-1概述§5-2平面应力状态下的应变分析§5-3电阻应变计法的基本原理§5-4应变的测量和应力的计算2§5-1概述

用电测法只能测定构件表面的线应变，应力是根据应变值由胡克定律求出的。所以我们首先研究平面应力状态下的应变分析，然后研究电阻应变片的原理及其应用。

对复杂结构进行应力分析时往往采用理论分析和实验应力分析相结合的方法。

实验应力分析的方法，主要有电阻应变计法（电测法）和光弹性法（光测法），本章仅研究电测法。3§5-2平面应力状态下的应变分析

本节研究平面应力状态下，一点处在该平面内的应变随方向而改变的规律。Ⅰ.任意方向的应变

设在平面应力状态下的平面内，过O点处有两组坐标系xOy和x

Oy

，a角以逆时针旋转为正，如图a所示。4

已知：O点处在xOy坐标系内的应变ex、

ey

、

gxy。求：O点处沿x'方向的线应变ea

及在坐标系x'Oy'内的切应变ga(即直角∠x

Oy

的改变量)例题5-15解:(1)

求ea在图b,c,d中，(a)例题5-1

在线弹性范围内，可用叠加法进行计算。61.

只有正值ex(图b)，设不动，矩形OAPB→OA'P'B,的伸长量为(b)O点沿x

方向的线应变为(c)例题5-172.只有正值ey(图c)，的伸长量为(d)沿x'方向的线应变为(e)例题5-183.只有正值gxy(图d)，的伸长量为(f)沿x'

方向的线应变为(g)例题5-19在ex、ey、

gxy

同时存在时，沿x'方向的线应变为或写成(5-1a)(5-1b)例题5-110(2)求ga

ga

为直角∠x'Oy'的改变量，并设第一象限的直角减小为正，设x'和y'的转角分别为ya和ja（图e）,则

由图b、c、d可见，在ex、

ey、gxy同时存在时x′()的转角为例题5-111(h)式中第二项为负，是因为仅由ey产生的转角为逆时针转(图c)。y'()的转角ja可用求x'的转角ya相同的方法，用几何作图求得，图(f)示出了仅有ex时()的转角

a1

。注意到y'和x轴的夹角(a

+p/2)，把(h)式中的a用(a

+p/2)来代替求出ja更为方便。其值为(i)例题5-112在x'Oy'坐标系内的切应变为或写作(i)(5-2)例题5-113(5-2)

当已知ex、

e

y、gxy时，由(5-1)式求任意方向上的线应变，由(5-2)式求切应变。例题5-114Ⅱ.应变圆材料力学(Ⅰ)的第七章曾得到(7-1)(7-2)该两式表示平面应力状态下，一点处的应力状态。也可以用应力圆表示平面应力状态下一点处的应力状态。15将式(7-1)、(7-2)和(5-1)(5-2)对比后可知，两组公式相似，对应关系为16只需以为e横坐标，以g/2为纵坐标（向下为正），即可作出应变圆。已知：作出应变圆如图所示。应变圆中半径为17III.主应变的数值和方向由应变圆可见，主应变为(5-3)(2)沿各主应力方向的线应变称为主应变，依次用e1、e2、e3

表示，且(1)主平面——

主应力——切应力等于零的平面。主平面上的正应力。18(5-4)

x轴和e1方向的夹角a0为(5-5)由于所以2a0为正()。借助应变圆，判断主应变方向更为直观。将(5-3)、(5-4)和(5-5)与材料力学(Ⅰ)中的(7-3)19(7-4)(7-5)比较后可知，若ex以代换sx，ey代换sy，－gxy/2代换tx，则由材料力学(Ⅰ)的(7-3)、(7-4)、(7-5)，可直接得(5-3)、(5-4)和(5-5)式。20

已知，ex=345×10－6，e45°=208×10－6,ey=−149×10－6。试用应变圆求主应变的数值和方向。0200100（×10－6）例题5-221解:(1)已知ex、e

y、gxy

，画应变圆

按选定的比例尺，由（ex、gxy/2），即（345×10-6，110×10-6）确定A点。例题5-222由（ey、-gxy/2）即（-149×10-6、-110×10-6）确定C点，连接C、A两点的直线，其交e

轴于O1

；以O1为圆心，

为半径画圆，此圆即为所求的应变圆。由逆时针转90°至B1点，B1(e

45°、-gxy/2),过B1作g

/2轴的平行线交应变圆与B点；可知：∠ABB1=45°,∠CBB1=45°，(同弧的圆周角等于其圆心角的一半)。O1点为和的垂直平分线之交点。90°90°45°45°A(345,110)×10–6O1O

(-149,-110)×10–6CBg/2eB1(b)例题5-22390°90°45°45°A(345,110)×10–6O1O

(-149,-110)×10–6CBg/2eB1(b)

这种方法画应变圆和已知sx、sy、tx画应力圆的方法类似，容易接受，在明确了应变圆的几何关系后，再由ex、ey

、e45°

画应变圆，就便于理解。例题5-224(2)已知ex、e

y、e45°用应变圆求主应变。1.按比例尺，由ex、e45°、ey之值分别作平行于g

/2轴的直线La、Lb、Lc。

因为gxy未知，无法直接确定A和C点，根据应变圆的几何关系，作图方法为2.在Lb上任取一点B，过B点分别作与Lb各成45°角的线段BA、BC，分别交La、Lc于A、C两点。(c)例题5-225(c)以O1为圆心，以为半径画圆。A、B、C点的横坐标，分别代表ex、e45°、

ey。分别代表主应变e1和e3，角a0为e1和x轴的夹角。在应变圆上用比例尺量得3.作，的垂直平分线，它们交于O1点，O1为应变圆的圆心，过O1点作g

/2轴的垂线，该线为e

轴。例题5-226§5-3电阻应变计法的基本原理I.电阻应变片

图a为丝绕式应变片，用j=0.02~0.05mm的康铜丝或镍铬丝绕成栅状，并把金属栅粘固于两层绝缘的薄纸（或塑料薄膜）之间，丝栅两端用直径为0.2mm左右的镀银铜丝作引线。l为基线长度（标距），a为宽度。图b为泊式应变片。图c为半导体式应变片。27

将应变片贴在被测构件的测点处，使其随同构件一起变形。应变片产生变形的同时，其电阻也要发生改变。当应变在一定范围内时，电阻的改变率DR/R与弹性线应变Dl/l之比为一常数，即(5-7)

以电阻应变片为转换器，把非电量线应变的测量转换成电阻改变率DR/R的测量。测出DR/R后，由算出线应变。

式中，e为标距范围内的平均线应变。常数K称为材料的灵敏因数。R为应变片的电阻，DR为电阻的改变量。28

由于DR很小，必须用由电桥和放大器等组成的电阻应变仪进行测量。(1)惠斯顿电桥原理II.测量原理及电阻应变仪图中输入电压为UAC，输出电压为UBD

。UBD=UAB-UAD=Ⅰ1R1-Ⅰ4R4由于得(5-8)29当UBD

=0，即电桥平衡时，得R1R3-R2R4

=0(5-9)(2)电阻应变仪

电阻应变仪主要由测量电桥和读数电桥组成，如图所示。读数电桥由精密的可变电阻组成，用旋钮来调节电阻。

设测量电桥的四个桥臂上的电阻均为贴于构件上的电阻应变片，且其初始电阻相等，即R1=R2=R3=R4=R30构件受力前，调节读数电桥的旋钮使输出总电压U=UBD+U'BD=0UBD,U'BD为测量电桥和读数电桥的输出电压。

构件受力后，各电阻变为R1＋DR1，R2＋DR2，R3＋DR3，

R4＋DR4。代入（5-8）式，并注意到(DR/R)<<1，可得测量电桥输出的不平衡电压为31把代入后，得该电压经放大后使指示仪的指针偏转。

调节读数电桥的旋钮，使其输出一个与UBD等值反向的不平衡电压U

BD

使输出的总电压U=0，指示仪的指针恢复到零位。设旋钮的旋量为eR，eR与读数电桥的输出电压成正比，即(5-10)U'BD

=AeR令32设计旋钮刻度，使，可得此即为旋钮读数与测量电桥4个应变片的线应变之间的关系。(5-11)III.应变测量中的一些问题1.半桥接线法：测量电桥的R1和R2两臂接上应变片，R3和R4为电阻应变仪内的标准电阻，该两电阻不随构件一起变形，即e3=e4＝0,(1)测量电桥的接线e

R=e1-e2则332.全桥接线法：测量电桥的四个桥臂上均接上应变片。两种接线法的应用见§5-4。(2)温度补偿

应变片的电阻值随温度而改变，另外，应变片和构件的线膨胀系数不同也要引起应变片电阻的改变。于是测量的应变值中包含温度变化的影响，导致测量误差。采用温度补偿，消除温度的影响。34则

图a中，R1为工作片，R2为温度补偿片，R2贴在与构件相同的材料上，并置于与构件相同的温度环境中，把R1，R2分别接在电桥相邻桥臂AB和BC上，设R1和R2由力F及温度产生的线应变分别为e1F，e1t，e2t。35图b中，(3)灵敏因数调整器的使用

式中，n为构件材料的泊松比。这种不单独设补偿片，而消除温度影响的方法，称为自动补偿。因为，从而提高了测量的灵敏度。36由于式中，K为应变片的灵敏因数值，e为实际应变值，eR

为应变仪的读数值。

在同次试验中，应选用K值相同的应变片，并把灵敏因数调整器的指针对准应变片的K值。这样才有eR=e1+e3-e2-e4。若应变片的K值超过灵敏因数调整器的可调范围，一般可将调整器的指针对准2.00，然后进行修正。(5-12)故37§5-4应变的测量和应力的计算Ⅰ.单轴应力状态试用半桥自动补偿方法，测定图示简支梁m-m截面上a的正应力sa。材料的弹性模量为E。38Ⅱ.主应力方向已知的平面应力状态

沿主应力方向贴应变片，测出主应变后，由广义胡克定律求主应力，即a、b两点均为单轴应力状态，且sb=-sa，eb=-ea。在a、b两点处沿梁的轴线方向分别贴上应变片Ra和Rb。把Ra、Rb分别接入电桥的AB、BC臂（半桥接线法），BC为温度补偿臂（自动补偿）。当Ra=Rb时，有由胡克定律39

用电阻法测量图示圆轴的最大切应力t及扭转力偶矩M。材料的E、n为已知。(b)tTyz例题5-340圆轴表面的ab线上各点的单元体如图c所示。主应力为：1.

半桥自动补偿

在ab线上任意一点c处，沿中和轴线方向成±45°方向分别贴上应变片R1和R2（图a,d）。将R1和R2分别接入电桥的AB、BC臂(图e)，BC臂为温度补偿。当R1=R2时，(d)(e)(f)d(g)例题5-3解:41由广义胡克定律得扭转力矩为把代入上式得例题5-3422.全桥自动补偿

在ab线上任意一点d处，沿与轴线方向成±45°方向分别贴上R1、R2、R3、R4四个应变片（图a、f）因为e3=e1,e2=e4,且e2=e4=-e1。将应变片R1、R2、R3、R4分别接入电桥的AB、BC、CD、DA桥臂上（全桥），BC、DA为温度补偿臂（图g）。当R1=R2＝R3=R4时(a)(f)d(g)例题5-343eR=e1+e3-e2-e4＝4e1,由广义胡克定律得扭转力矩为例题5-344(1)用半桥自动补偿测定Mz；(2)用全桥自动补偿测定Mx。

图示空心截面圆杆，其左端为固定端，右端受力偶矩M2和Mx作用。例题5-445

该题为弯扭组合变形，图a中a、b、c三点的单元体分别如图f、g、h所示。虽然a、b两点为平面应力状态，且主应力方向未知，但在小变形时，t不产生sa(sb)方向的线应变。所以sa=Eea，sb=Eeb，且sb=-sa，eb=-ea。c点为纯剪切应力状态s1=tc

，s2=-tc，e1=-e2。解:1.分析例题5-4462.用半桥自动补偿测定Mz在a、b两点沿x方向分别贴应变片Ra和Rb，将应变片Ra、Rb分别接在电桥的AB和BC臂上(图c)，BC臂为温度补偿。于是由胡克定律得弯矩力偶矩Mz为例题5-4473.用全桥自动补偿测Mx

在C点处贴四个应变片(图a)，并将它们分别接入电桥的四个桥臂上(图e)，BC、DA臂为温度补偿。由广义胡克定律得扭转力矩Mx为例题5-448III.主应力方向未知的平面应力状态(1)图a所示平面应力状态，当e

x、

e

y

、gxy已知时，可由公式（5-3）,（5-4）,（5-5）求出两个主应变值及其方向。因为gxy难以测量，一般分别测量O点处和x轴分别成aa、ab、ac的三个方向的线应变（图b）。49(a)(b)(c)由(5-1a)得联立求解以上三式，求出e

x、e

y

、gxy后，即可求出主应变。50代入(a)、(b)、(c)式中，可得(2)实际应用中，通常采用45°应变花(图c)，或60°应变花(图d、e)。1.45°应变花代入(5-3)、(5-4)、(5-5)可求出两个主应变值和方向。如教材(g)、(h)、