人教版高中数学必修一1.2.1《函数的概念》练习题

夯实基础，深化理解——《函数的概念》练习题解析与拓展函数，作为高中数学的核心概念之一，其重要性不言而喻。它不仅是后续学习微积分、概率论等高等数学知识的基石，也是解决实际问题的强大工具。人教版高中数学必修一1.2.1节《函数的概念》，从集合与对应的角度重新诠释了函数，这相较于初中阶段的认知是一次重要的深化与提升。为了帮助同学们更好地理解和掌握这一概念，下面我们将通过一系列精心设计的练习题，从不同层面进行巩固和拓展。一、核心知识点回顾与强调在进入练习题之前，我们有必要再次回顾函数的核心定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。其中，定义域和对应关系是决定因素，值域由定义域和对应关系共同确定。函数的符号：f(x)是一个整体，表示“x对应的函数值”，也可以简单理解为“关于x的函数”。二、练习题设计与解析（一）基础巩固型这类题目主要考察对函数基本概念的理解和简单应用。练习1：判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数，并说明理由。1.A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7}，对应关系f：“x→2x+1”。2.A=R，B=R，对应关系f：“x→y，其中y²=x”。3.A={三角形}，B=R，对应关系f：“x→x的面积”。解析与点评：判断一个对应关系是否为函数，关键在于紧扣定义中的“非空数集”、“任意一个”、“唯一确定”这几个关键词。1.是函数。理由：集合A、B均为非空数集。对于A中的每一个元素x（1,2,3,4），通过f(x)=2x+1在B中都有唯一确定的元素（3,5,7,9）与之对应。这里需要注意，B中元素可以有剩余，即值域是B的子集即可。2.不是函数。理由：虽然A、B均为非空数集，但对于A中的正数x，在B中有两个元素（±√x）与之对应，不满足“唯一确定”的要求。例如，当x=4时，y=2和y=-2都满足y²=4。3.不是函数。理由：集合A不是数集，而是“三角形”组成的集合，不符合函数定义中对集合A、B的要求（非空的实数集）。练习2：求下列函数的定义域。1.f(x)=√(x-1)2.g(x)=1/(x+2)3.h(x)=√(x+3)+1/(x-1)解析与点评：函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。常见的限制条件有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；零次幂的底数不为0等。1.对于f(x)=√(x-1)，要使根式有意义，需x-1≥0，即x≥1。所以定义域为[1,+∞)。（此处区间表示法应已学，若无，则用集合表示{x|x≥1}）2.对于g(x)=1/(x+2)，要使分式有意义，需x+2≠0，即x≠-2。所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)。3.对于h(x)，它是两个函数的和，故定义域为使两个部分都有意义的x的取值范围的交集。√(x+3)要求x+3≥0⇒x≥-3；1/(x-1)要求x-1≠0⇒x≠1。所以定义域为[-3,1)∪(1,+∞)。练习3：已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(0)，f(1)，f(a)，f(a+1)。解析与点评：这道题主要考察对函数符号f(x)的理解和代入求值能力。f(x)表示当自变量为x时的函数值，f(a)则表示当自变量为a时的函数值。f(0)=2*(0)²-3*(0)+1=1；f(1)=2*(1)²-3*(1)+1=2-3+1=0；f(a)=2a²-3a+1；f(a+1)=2(a+1)²-3(a+1)+1=2(a²+2a+1)-3a-3+1=2a²+4a+2-3a-2=2a²+a。（二）理解深化型这类题目旨在加深对函数概念本质的理解，特别是对“对应关系”和“同一函数”的判断。练习4：下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.f(x)=x与g(x)=(√x)²B.f(x)=x与g(x)=x²/xC.f(x)=|x|与g(x)=√(x²)D.f(x)=1与g(x)=x⁰解析与点评：判断两个函数是否为同一函数，必须同时满足两个条件：定义域相同且对应关系完全一致（从而导致值域也相同）。A.不是同一函数。f(x)=x的定义域为R，g(x)=(√x)²的定义域为[0,+∞)，定义域不同。B.不是同一函数。f(x)=x的定义域为R，g(x)=x²/x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)（x≠0），定义域不同。C.是同一函数。f(x)=|x|与g(x)=√(x²)的定义域均为R。对于任意x∈R，√(x²)=|x|，即对应关系一致。所以它们是同一函数。D.不是同一函数。f(x)=1的定义域为R，g(x)=x⁰的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)（x≠0），定义域不同。即使在x≠0时x⁰=1，但定义域的差异导致它们不是同一函数。练习5：已知函数f(x)的定义域为[-1,2]，求函数f(x+1)的定义域。解析与点评：这类问题是对函数定义域概念的灵活考察。这里要明确，f(x)的定义域是指x的取值范围，而f(x+1)中的“x+1”整体上相当于f(x)中的“x”。因此，f(x+1)的定义域，是指使得“x+1”落在f(x)定义域内的x的取值范围。已知f(x)的定义域为[-1,2]，即f(t)中的t∈[-1,2]。对于f(x+1)，令t=x+1，则t也必须∈[-1,2]。所以有-1≤x+1≤2解得-2≤x≤1故函数f(x+1)的定义域为[-2,1]。练习6：设函数f(x)=2x+3，x∈{1,2,3}，求函数f(x)的值域。解析与点评：值域是函数值的集合。对于定义域为有限集的函数，可直接求出每个自变量对应的函数值，再组成集合即得值域。当x=1时，f(1)=2*1+3=5；当x=2时，f(2)=2*2+3=7；当x=3时，f(3)=2*3+3=9；所以函数f(x)的值域为{5,7,9}。（三）拓展思考型这类题目引导学生从更高层面思考函数的概念，为后续学习做铺垫。练习7：已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，若f(1)=f(3)，试比较f(2)与f(0)的大小。解析与点评：这道题初看涉及二次函数，但即使学生尚未系统学习二次函数的性质，也可以通过函数值的计算和已知条件进行分析。由f(1)=f(3)可得：a(1)²+b(1)+c=a(3)²+b(3)+c化简得：a+b=9a+3b⇒8a+2b=0⇒4a+b=0⇒b=-4a。于是f(x)=ax²-4ax+c。f(2)=a(2)²-4a(2)+c=4a-8a+c=-4a+c。f(0)=a(0)²-4a(0)+c=c。f(2)-f(0)=(-4a+c)-c=-4a。此时，f(2)与f(0)的大小关系取决于a的符号：当a>0时，f(2)-f(0)=-4a<0⇒f(2)<f(0)；当a<0时，f(2)-f(0)=-4a>0⇒f(2)>f(0)。（此题可引导学生思考二次函数的对称性，f(1)=f(3)说明对称轴为x=2，进而理解f(2)是顶点值。）三、解题思路与方法总结通过以上练习，我们可以总结出以下几点关于函数概念学习的解题思路与方法：1.定义域是灵魂：研究函数，首先要考虑其定义域。任何涉及函数的问题，都应在定义域内进行。求定义域时，务必考虑全面，注意各种限制条件。2.对应关系是核心：函数的本质是两个非空数集间的一种特殊对应关系——“一对一”或“多对一”。理解“f”的含义，即对自变量施加的“操作”或“变换”。3.同一函数的判断标准：牢记定义域和对应关系是两大核心要素，缺一不可。值域由前两者决定，无需单独比较。4.抽象函数定义域的求解：关键在于理解“括号内整体”的取值范围的一致性。例如，f(g(x))的定义域，是指x的取值范围使得g(x)落在f(x)的定义域内。5.多思多练，注重理解：函数概念较为抽象，需要通过适量的练习来巩固和深化理解，切忌死记硬背。遇到问题多问“为什么”，挖掘概念的本质。四、总结与展望《函数的概念》这一节，是我们从