材料力学(I) 课件 第5-9章 梁弯曲时的位移 - 压杆稳定

1第5章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移——挠度和转角§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-6梁内的弯曲应变能§5-5梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施*§5-4梁挠曲线的初参数方程2§5-1梁的位移——挠度和转角

直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q

称为横截面的转角(angleofrotation)。3

弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q

也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：4

直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。5

在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；

顺时针转向的转角

为正，逆时针转向的转角

为负。6§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分I.挠曲线近似微分方程的导出

在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。7

在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。8从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q=w'沿x方向的变化率，是有正负的。9再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w"

，正弯矩对应于负值的w"，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w

2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程10II.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。11

当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有

以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。12

边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。13

若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。14

试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。例题5-1151.列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为通过两次积分得(b)例题5-1解:162.确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程转角方程挠曲线方程由(3)、(4)两式得该梁的边界条件为：在

x=0

处

w'=0

，w=0将C1和C2代入(3)、(4)两式，得例题5-117

根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，描出挠曲线的示意图(图c)。转角方程挠曲线方程(c)例题5-118

由挠曲线可见，该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。由(5)、(6)两式得2.求qmax和wmax(c)例题5-1193.由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：

此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，

因而也有C1=0，C2=0。例题5-1204.因为，是在x向右为正、y向下为正的条件下建立的，所以用积分法求位移时也必须用这样的坐标系。例题5-121思考:试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？22

试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量。例题5-223

列挠曲线近似微分方程，并积分。支反力FA=FB=ql/2挠曲线近似微分方程为通过两次积分得：弯矩方程为例题5-2解:242.确定积分常数。该梁的边界条件为：在x=0处w=0，在x=l处w=0把边界条件分别代入(4)式，得解得例题5-225将C1和C2代入(3)、(4)两式，得转角方程挠曲线方程例题5-2263.求qmax和wmax根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角qA及qB

的绝对值相等，且均为最大值。将x=0及x=l代入(5)式，得最大挠度在跨中，将x=l/2代入(6)式，得例题5-227

试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI为常量例题5-328约束力为两段梁的弯矩方程分别为

为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x)时仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把M2(x)中的F(x-a)展开。1.分段列弯矩方程例题5-3解:292.分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：挠曲线近似微分方程积分得左段梁右段梁例题5-330

值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项是以(x-a)作为积分变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件，即x=a时，w1'=w2'及w1=w2，由(1)、(1')和(2)、(2')式得C1=D1，C2=D2

。3.确定积分常数例题5-331再利用支座位移条件，即：在x=0处

w1=0，在

x=l处

w2=0由两个连续条件得：由(2)式，得从而也有例题5-332将x=l，代入(2')式，得即从而也有例题5-333将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁4.建立转角方程和挠度方程例题5-334左、右两支座处截面的转角分别为当a>b时有5.求qmax和wmax例题5-335

根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当a>b时，最大挠度wmax可能发生在AD段的=0处，令，得a>b时，x1<a，可见w'发生在AD段，即wmax发生在AD段。例题5-336将x1的表达式(6)代入左段梁的挠曲线方程(4)得例题5-337

由(7)式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近时，b值甚小，以致b2和l2相比可略去不计，则有它发生在处。而处(跨中点C)的挠度wC为6.求wmax的近似表达式例题5-338

当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(a=b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为

可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以用跨中挠度代替最大挠度。例题5-339

当分两段建立挠曲线近似微分方程时，为确定积分常数简便，必须遵守以下规则：(1)列每段的弯矩方程时，均以x截面左面的梁段为分离体。第II段的弯矩方程中含有(x-a)的项，不能展开。(2)对第II段的挠曲线近似微分方程进行积分时，均以(x-a)作为积分变量。这样，在利用位移连续条件后，将4个积分常数简化为2个，否则将用4个方程联立求解4个积分常数。例题5-340思考:试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1)

跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？41§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角

当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principleofsuperposition)。42

悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。43

试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度

wC和两端截面的转角qA及

qB。已知EI为常量。例题5-444为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图a所示荷载视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。例题5-4解:45

在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得CqA1qB1wC例题5-446注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁

AC和右半跨梁

CB分别视为受集度为

q/2的均布荷载作用而跨长为

l/2的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得

在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有CqA2qB2例题5-447按叠加原理得例题5-448

试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知EI为常量。例题5-549

为利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)所组成。外伸梁在支座B左侧截面上的剪力和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，它们的指向和转向如图b及图c所示。例题5-5解:50

图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。简支梁BC，由q产生的

Bq、wDq(图d)，由MB产生的

BM、wDM(图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得

B、wD，它们也是外伸梁的

B和wD。例题5-551例题5-552

图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去,才是原外伸梁的A端挠度wA例题5-553*5-4梁挠曲线的初参数方程I.初参数方程的基本形式前已得到等直梁的挠曲线近似方程为弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为后一个微分关系按q(x)向上为正导出。54

为了使下面导出的挠曲线初参数方程(initialparametricequation)中除了包含与位移相关的初参数q0和w0以外，也包含与内力相关的初参数FS0和M0，先将二阶的挠曲线近似微分方程对x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程然后进行积分得55以x=0代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列四式中的积分在坐标原点(x=0)处均为零，于是得式中，FS0，M0，

0和w0为坐标原点处横截面(初始截面)上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四个初参数。56

将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式：

初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定。57

显然，如果梁上的分布荷载是满布的(分布荷载在全梁上连续)，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=-q，从而有58

试利用初参数方程求图示简支梁的跨中挠度wC和B截面的转角qB。已知梁的EI为常量例题5-6x591.根据边界条件确定初参数

另一初参数q0需利用x=l处挠度等于零的边界条件求出。将以上三个初参数代入挠曲线的初参数方程，并注意该公式中的q(x)=-q，有由x=0处的边界条件得：解得例题5-6解:x602.列出挠曲线方程和转角方程，并求挠度wC和转角qB将已得到的四个初参数代入初参数方程得：挠曲线方程即转角方程即例题5-661将x=l/2代入(1)式，得将x=l代入(2)式，得例题5-6x62II.一般情况的处理

这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况。此时，外力(荷载和约束力)将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续。现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。63初参数：q0≠0(其值未知)，w0=0情况一64转角方程：挠曲线方程：AC段梁（0≤x≤a）CB段梁（a≤x≤l）65

CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自x=a处开始有向下的均布荷载而在AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中增加的项。

未知初参数q0可由x=l处wB=w|x=l=0的边界条件求得。66情况二初参数：

0≠0(其值未知)，w0=067AC段梁（0≤x≤b）CB段梁（b≤x≤l）转角方程：挠曲线方程：68

CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于考虑C截面(x=b)以右没有向下的均布荷载，而从由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中减去了的那部分在C截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。未知初参数q0可由wB=w|x=l=0的边界条件求得。69情况三初参数：q0≠0(其值未知)w0≠0(其值未知)70CA段梁(0≤x≤c)AB段梁(c≤x≤c+l)转角方程：挠曲线方程：71

AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑在由CA段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将向上的约束力在A截面(x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。

未知初参数q0和w0

可由边界条件wA=w|x=c=0和wB=w|x=l+c=0求得。72情况四初参数：73AC段梁(0≤x≤d)CB段梁(d≤x≤l)转角方程：挠曲线方程：74

CB段梁的转角和挠曲线方程中第二项，是由于考虑在由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将外力偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生的影响包含进去而增加的项。在此例中，四个初参数都是已知的。75

思考:对于情况四中的等直梁，试检验由初参数方程所求得的wB，wC，qC是否符合如下关系：76§5-5梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施I.梁的刚度校核

对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffnesscondition)：式中，l为跨长，为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。77

土建工程中通常只限制梁的挠跨比，。在机械工程中，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，。78

图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[

]=170MPa，[

]=100MPa，E=210GPa，。例题5-779

一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。例题5-7解:801.

按正应力强度条件选择槽钢型号

梁的剪力图和弯矩图分别如图c和图e所示。最大弯矩为Mmax=62.4kN·m。梁所需的弯曲截面系数为例题5-781

而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6m3/2=183.5×10-6m3=183.5cm3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178cm3，虽略小于所需的Wz=183.5cm3，但所以可取20a号槽钢。例题5-7822.

按切应力强度条件校核

图c最大剪力FS,max=138kN。每根槽钢承受的最大剪力为例题5-783

Sz,max

为20a号槽钢的中性轴z以下半个横截面的面积对中性轴z的静矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：z例题5-784当然，的值也可按下式得出：

每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为

Iz

=1780.4

cm4

1780cm4例题5-785

故20a号槽钢满足切应力强度条件。于是例题5-7863.校核梁的刚度条件如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得例题5-787梁的许可挠度为由于因此，所选用的槽钢满足刚度条件。例题5-788II.提高梁的刚度的措施(1)增大梁的弯曲刚度EI

由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E≈210GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。89

跨长为l的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为(2)

调整跨长和改变结构的体系90

如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为91而此时外伸端D和E的挠度也仅为92

所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。93§5-6梁内的弯曲应变能

在本教材的§3-6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压(拉)时弹簧高度变化量的计算公式。

本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。94

等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为95

图b示出了Me与q的上列线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值Me过程中，外力偶所作的功：它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：将代入上式可得96

梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在§5-2开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为97从而全梁内的弯曲应变能为式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。此式在求梁系(例如两根交叉在一起的梁)的位移等问题时是有用的。顺便指出，由于直梁横力弯曲时，

，因此上式也可写作98

试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度

wC和两端截面的转角qA及

qB。已知EI为常量。例题5-899

为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图a所示荷载视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。例题5-8100

在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得CqA1qB1wC例题5-8101注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁

AC和右半跨梁

CB分别视为受集度为

q/2的均布荷载作用而跨长为

l/2的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得

在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有CqA2qB2例题5-8102按叠加原理得例题5-8103第五章结束104第6章简单的超静定问题§6-1超静定问题及其解法§6-2拉压超静定问题§6-3扭转超静定问题§6-4简单超静定梁105§6-1超静定问题及其解法Ⅰ.关于超静定问题的概述(b)106

图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程──一次超静定问题。(b)107

图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC，但只有三个独立的静力平衡方程──一次超静定问题。

超静定问题(staticallyindeterminateproblem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。FAFBl(a)FAxABqq(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA108Ⅱ.解超静定问题的基本思路基本静定系(primarystaticallydeterminatesystem)解除“多余”约束(例如杆3与接点A的连接)例1109在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统(equivalentsystem)12BCAFFN3FN3AD110于是可求出多余未知力FN3。

由位移相容条件

，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：12BCAFFN3FN3AD111基本静定系统ABl补充方程为于是可求出多余未知力FC。FC位移相容条件ΔCq+ΔCFc=0相当系统ABl/2ql例2超静定梁yxl/2l/2CABq112Ⅲ.注意事项(1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。(2)求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。

(3)

无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。113(4)“多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。

如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq114§6-2拉压超静定问题Ⅰ.拉压超静定基本问题举例说明拉压超静定问题的解法。115

求图a所示等直杆AB的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。例题6-11161.

有两个未知约束力FA

,FB（图a），但只有一个独立的平衡方程

FA＋FB－F=0故为一次静不定问题。例题6-11172.取固定端B为“多余”约束，FB为多余未知力。相当系统如图b所示，它应满足相容条件为DB＝0，利用叠加法得DBF+DBB=0，参见图c，d

。例题6-11183.利用胡克定律后可得补充方程为由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。例题6-1119得

FA=F-Fa/l=Fb/l。4.

由平衡方程

FA+FB-F=0例题6-15.利用相当系统（图b）求得DC。120拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为DlAC+DlBC＝0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件DB＝0代替相容条件。2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以DBB＝FBl/EA，而不用DBB＝FB(l+DBF)/EA'

，A'为在F力作用下变形后横截面的面积。例题6-1121

求图a所示结构中1,2,3杆的内力FN1,FN2,FN3。AB杆为刚性杆，1,2,3杆的拉压刚度均为EA。aaaACDB132EFF(a)a例题6-21221.

共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题6-2解：1232.取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2为多余未知力。得基本静定系如图c。CF3(c)AB例题6-21243.

由变形图（图d）可得变形相容条件为FN2DDl2F(d)FN1CDl1EFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13C'D'45oC1(2)(1)例题6-21254.

利用胡克定律，由(1)(2)式可得补充方程：解得

FN1=2FN3,(3)

FN2=2FN1=4FN3(4)例题6-2FN2DDl2F(d)FN1CDl1EFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13C'D'45oC11265.AB杆受力如图b所示，ΣMA=0得联立求解得FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题6-2127II.装配应力和温度应力(1)装配应力

超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力──装配内力，以及相应的装配应力。128

图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点A'

处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A'

处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。(a)129求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为(拉力）(a)130

至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。

由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为131

两根相同的钢杆1、

2，其长度l=200mm，直径d=10mm。两端用刚性块连接在一起如图a所示。将长度为200.11mm，亦即De=0.11mm的铜杆3（图b）装配在与杆1和杆2对称的位置(图c)，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20mm×30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。例题6-31321.

装配后有三个未知的装配内力FN1,FN2,FN3，如图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：(d)所以这仍然是一次静不定问题。例题6-3解：1332.变形相容条件(图c)为这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。例题6-31343.利用胡克定律由(2)式得补充方程例题6-31354.联立求解(1)和(3)式得

所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。例题6-31365.各杆横截面上的装配应力如下：（拉应力）（压应力）例题6-3137求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。例题6-3138(2)温度应力

也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。139

两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。试求当温度升高Dt时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为

l。例题6-41401.

若AB杆仅A端固定，B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长Dlt，而不会产生内力。当A、B均为固定端时，Dlt受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力FA和FB。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。(b)例题6-4解：1412.以刚性支撑B为“多余”约束，FB为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt，由“多余”未知力FB产生的缩短变形DlF分别如图c、d所示。(c)(d)例题6-41423.

变形相容条件是杆的总长度保持不变，即(c)(d)例题6-41434.将(2)式代入(1)，得(2)补充方程为(3)(c)(d)例题6-41445.由(3)式解得(c)(d)例题6-41456.

杆的横截面上的温度应力为(c)(d)例题6-4146

若该杆为钢杆。

l

=1.2×10-5/(˚C)，E=210×109Pa，则当温度升高Dt=40˚时有（压应力）例题6-4147

两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。例题6-5§6-3扭转超静定问题1481.有二个未知的反力偶矩MA，MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。(b)MAMB例题6-5解：1492.以固定端B为“多余”约束，反力偶矩MB为“多余”未知力。在基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB(如图c)；它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角jB=0，利用叠加法可得(c)例题6-5150可由平衡方程求得为3.

根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程求得例题6-51514.杆的AC段横截面上的扭矩为(c)例题6-5从而有152

图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。例题6-6153实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程

Ta+Tb=Me(1)

故为一次超静定问题。例题6-6解：TbTaMe1542.位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面的扭转角相等。在图b中都用j表示（设A端固定）。例题6-6TbTaMe1553.利用物理关系由(2)式得补充方程为例题6-6TbTaMe1564.联立求解(1)式和(3)式得：例题6-6TbTaMe1575.实心铜杆横截面上任意点的切应力为空心钢杆横截面上任意点的切应力为切应力沿半径的变化情况如图c所示。rarb(c)例题6-6158

由图c可见，在r

=ra处，ta<tb，这是因为Ga<Gb

。在r

=ra处，两杆的切应变是相等的，即说明r

=ra处变形是连续的。rarb(c)例题6-6159§6-4简单超静定梁Ⅰ.超静定梁的解法

解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。基本静定系160基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c、d)

时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的补充方程为161从而解得“多余”未知力所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为162该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？

2.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？163

试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN。梁AC和杆AD的材料相同，弹性模量为E；AD杆的横截面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为I。例题6-71641.梁AC共有三个未知力(图b)FN，FB，FC，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。例题6-7解：1652.把AD杆视为梁AC的“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件为梁的A截面的挠度wA等于杆的伸长量DlDA(图b)，即wA=DlDA。例题6-71663.求wA和DlDAwA是由荷载产生的wAq(图c)和FN产生的wAF(图d)两部分组成，例题6-7167把图d所示外伸梁，视为由悬臂梁AB(图e)和简支梁BC(图f)两部分组成。例题6-71684.把wA和DlDA代入位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得例题6-7169

试求图a所示等截面连续梁的约束反力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5×106N·m2。例题6-81701.

该梁有三个未知力FA、FB

、FC

，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。例题6-8解：1712.若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为“多余”约束，则B截面上的一对弯矩MB为“多余”未知力，相当系统如图b。例题6-8172

相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零，即例题6-83.查关于梁位移公式的附录Ⅳ可得1734.将qB'qB''代入位移相容条件补充方程，从而解得

这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反，即为MB负弯矩。例题6-81745.

利用图b可得约束力分别为例题6-8175绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。(c)(d)FS例题6-8176

超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座B为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为wB=0，相当系统如图(e)所示。有如以支座C为多余约束，FC为多余未知，位移条件为wC=0，相当系统如图(f)所示。位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。(f)FC(e)FB例题6-8177*II.支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响

超静定梁由于有“多余”约束存在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上,下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。178(1)支座不均匀沉陷的影响

图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷

A、

B、

C，而沉陷后的支点A1、B1、C1不在同一直线上时(即沉陷不均匀时)，支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。而支座均匀沉陷时梁的约束力和内力，由于支座沉陷量与梁的跨度相比是微小的，故可认为与支座无沉陷时相同。179

现按如图a中所示各支点沉陷

B>

C

>

A的情况进行分析。此时，支座B相对于支座A、C沉陷后的点A1、C1的连线有位移180于是，如以支座B1作为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在荷载q和“多余”未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是181于是得补充方程由此解得其中的wB按叠加原理有(参见图c、d):182再由静力平衡方程可得183(2)梁的上,下表面温度差异的影响

图a所示两端固定的梁AB在温度为t0时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至t1，底面温度升高至t2，且t2>t1，从而产生约束力如图中所示。

由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。l184

现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移

Bt。185

如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：186式中一些符号的意义见图c、d、e。187

现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。

从上面所示的图a中取出的微段dx,当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq由图b可知为

上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角dq为负。188将此式积分，并利用边界条件得根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为189从而有至于温差引起轴向位移DBt则为190

位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为191位移相容条件已得出的物理关系192

将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得193第六章结束194第7章应力状态和强度理论§7-1概述§7-2平面应力状态的应力分析·主应力§7-3空间应力状态的概念§7-4应力与应变间的关系§7-5空间应力状态下的应变能密度§7-6强度理论及其相当应力§7-8各种强度理论的应用*§7-7莫尔强度理论及其相当应力195§7-1概述

在第2章和第3章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体──单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(stateofstress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。196单向应力状态197纯剪切应力状态198研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theoryofstrength,failurecriterion)的基础。199

本章将研究Ⅰ.

平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；Ⅱ.平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律(generalizedHooke’slaw)，以及这类应力状态下的应变能密度(strainenergydensity)；Ⅲ.强度理论。200§7-2平面应力状态的应力分析·主应力

平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面上的应力”)。201

对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。202

平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。203I.斜截面上的应力

图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角a定义，且a角以自x轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力sa和切应力ta均为正值，即sa以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。sata204

由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf的面积为dA·sina。图d示出了作用于体元ebf诸面上的力。体元的平衡方程为sata205

需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力ty按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的ty仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是tx=ty。

由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a斜截面上应力sa，ta的公式：206II.应力圆

为便于求得sa、ta，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohr’scircleforstresses)来表示。

先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：207

而这就是如图a所示的一个圆——应力圆，它表明代表a斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。OC(a)208OC(b)

图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty(取ty=-tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s轴的交点C为圆心，并且以或为半径作圆得出。209值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述sa、ta计算公式中以2a为参变量这个前提。OC(b)210

利用应力圆求a斜截面(图a)上的应力sa、ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径按方位角a的转向转动2a角，得到半径，那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：(a)211E点横座标212E点纵座标213讨论:

1.表达图示各单元体a斜截面上应力随a角变化的应力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态吗？214

2.

对于图示各单元体，表示与纸面垂直的斜截面上应力随a角变化的应力圆有什么特点？a=±45˚两个斜截面上的sa、ta分别是多少？二向等值拉伸纯剪切二向等值压缩215思考:已知一点处两个不相垂直截面上的应力(图a)，如图b所示为表达其与纸面垂直的一组斜截面上应力而作的应力圆是否正确？理由是什么？(a)C(b)216III.主应力与主平面

由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角为180˚可知)，且这两个截面上均无切应力。(b)217一点处切应力等于零的截面称为主平面(principalplane)，主平面上的正应力称为主应力(principalstress)。据此可知，应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之外，图a所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。(b)218

在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1、s2、s3。图b所示应力圆中标出了s1和s2，而s3=0。(b)219当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。220

现利用前面的图b所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式，由于

其中，为应力圆圆心的横座标，为应力圆的半径。故得221或即图c示出了主应力和主平面的方位。222

由于主应力是按其代数值排序记作s1、s2、s3的，故在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是s1、s2，所以应该把式中的s1、s2看作只是表示主应力而已。223

两端简支的焊接工字钢梁如图所示。试利用应力圆求危险横截面上a、b(图c)两点处的主应力。例题7-12241.梁的剪力图和弯矩图如图d和e所示。危险截面为C偏左的横截面。例题7-1解:2252.计算截面的几何性质例题7-12263.求C偏左横截面上a、b两点处的应力例题7-1227例题7-1228

分别围绕a、b两点用相邻的两个横截面和两个水平纵截面在梁中截取两个单元体，如图f、g所示。yx(f)ab(g)例题7-1229(h)s1求a点处的主应力值和主平面方位。

在s～t坐标系中，按选定的比例尺，由图f所示单元体上x和y向的应力确定D1和D2点，以为直径画出应力圆如图h所示。用比例尺在应力圆上量得量得2a0＝46.4o，a0＝23.2o主平面的方位如图i所示。yx(i)例题7-1230b(g)由b点的单元体(图g)可见，单元体的x和y面上的切应力均等于零，即x和y面均为主平面，sx为主应即求b点处的主应力值和主平面方位。例题7-1231(1)a点处的主应力值和主平面方位也可按应力圆上的几何关系来计算：(h)s1例题7-1232亦即

a0＝-23.2°。例题7-1233s1

s1方向(2)a点处的主应力s1的方向，也可用图解法求得。将应力圆上代表x截面上应力的点D1(sx，tx)反向投射到应力圆上的点

，然后将代表s3的点A2与点

连以直线A2

即为s1的方向。这里利用了圆周角恒等于圆弧所对应的圆心角之半的几何关系。yx(i)例题7-1234§7-3空间应力状态的概念

当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。235

空间应力状态最一般的表现形式如图b所示；正应力sx、sy、sz

的下角标表示其作用面，切应力txy、txz、tyx、tyz、tzx、tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个下角标表示切应力的方向。

图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一座标轴的正向而该面上的切应力指向另一座标轴的正向时为正。236

最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy

，txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、tyx、tzy、tzx。

当空间应力状态的三个主应力s1、s2、s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。237

例如图a中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。238

进一步的研究证明*，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。

同理，显示与s2(或s1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。239

据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1，而最大切应力为240它的作用面根据应力圆点B的位置可知，系与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45˚，即下面图a中的截面abcd。abcd(a)acdb241

根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与tmax相等的切应力，如下面图b中所示。(b)efghabcd(a)acdb242

试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。例题7-22431.

图a所示单元体的前后两面(z截面)上无切应力，因而该面上的正应力sz=20MPa为已知的主应力。例题7-2解:244

2.垂直于z的各截面上的应力与主应力sz无关，故可根据x截面和y截面上的应力画出应力圆。如图b所示。(-20,20)(40,-20)(b)510(MPa)0比例尺例题7-2245

从圆上得出两个主应力分别为46MPa和-26MPa。这样就得到了包括sz=20MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为s1＝46MPa，s2＝20MPa，s3＝-26MPa。

由应力圆得2a0=34˚

，a0=17˚

，由此确定s1的方向，其主单元体如图c所示。例题7-2246其作用面与s2垂直与s1方向成45˚角(图c)。

图b所示的应力圆的主应力为s1和s3，其半径为最大切应力，由应力圆量得(-20,20)(40,