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初升高《完美衔接》数学学科第四篇数学思想与方法12衔接目标3知识梳理典例探究4第20讲数形结合思想自主训练衔接目标返回目录知识梳理返回目录1.数形结合思想数形结合思想是把数或数量关系与图形(包括几何图形、函数图象、数轴等)对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质的一种重要的数学思想方法.2.数形结合思想的应用(1)以数助形,主要有以下两个结合点:(ⅰ)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化).(ⅱ)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题,例如:利用勾股定理证明直角,利用三角函数研究角的大小,利用线段比例证明相似等.(2)以形助数,主要有以下两个方面:(ⅰ)利用几何图形帮助记忆代数公式.

(2)利用函数图象的特点把握函数的性质:一次函数图象的斜率(倾斜程度)、截距,二次函数图象的对称轴、开口方向,等等.(3)一元二次方程的根的几何意义是二次函数图象与x轴的交点的横坐标.(4)一次函数与二次函数解析式中常数项的几何意义是函数图象与y轴的交点的纵坐标(函数在x=0时有意义).(5)锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例.典例探究返回目录探究一以数助形例1已知△ABC的三边长分别为m2-n2,2mn和m2+n2(m,n为正整数,且m>n),求△ABC的面积(用含m,n的代数式表示).

探究二以形助数

探究三含参数方程解的情况的判断例3就实数k讨论方程|x2-4x+3|=k的解的情况.【解析】在同一个平面直角坐标系中分别画出函数y=|x2-4x+3|与y=k的图象,如图所示.因此由图象知,当k>1或k=0时,方程有两个解;当k=1时,方程有三个解;当0<k<1时,方程有四个解;当k<0时,方程无解.【总结】涉及含参数的方程问题,一般需要对参数的取值范围进行分类讨论.就实数m讨论方程x2-4|x|+5=m的解的情况.

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