降次-解一元二次方程第4课时用因式分解法解一元二次方程课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章一元二次方程

25.2降次——解一元二次方程

第4课时用因式分解法解一元二次方程学习目标：1.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法.2.理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.（重点）3.学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程.（难点）

愿你保持对知识的渴望，在探索中不断前行知识回顾01因式为0的判定法则若a×b=0，则a=0或b=002关键点睛：降次的核心逻辑这是解一元二次方程“因式分解法”的核心依据。它是将复杂的二次方程转化为两个简单的一元一次方程的关键桥梁，实现了“降次求解”的目的。看到乘积为0的形式，请立刻建立条件反射：分别令每个因式为0，从而快速得到方程的解。思考一个问题请尝试用配方法解下列一元二次方程：x²-5x+6=0请拿出练习本，给自己1到2分钟的时间动手尝试解题...💡引导思考：在解题过程中，是否觉得“配方”繁琐？若能跳过复杂步骤直接求解，想不想掌握？今天就解锁这个“秒杀”技巧！配方法解方程x2-5x+6=0.公式法解方程x2-5x+6=0

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你能找到更简便的方法解这个方程吗？探究新知

x2-5x+6=0

因式分解(x-2)(x-3)=0.降次，化为两个一次方程x-2=0或x-3=0.解方程x1=2，x2=3.探索新知通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.因式分解法的“四步走”因式分解法的核心在于“降次”。通过将一元二次方程转化为两个一元一次方程，把复杂的高次方程拆解为简单的低次方程，从而化繁为简，快速求解。掌握这四个步骤是解题的关键。01移项变形将方程右边化为0，含未知数项移至左边整理成标准形式。例：x²=4x→x²-4x=002因式分解对等式左边多项式因式分解，常用提公因式、公式法、十字相乘法。03降次转化根据“若ab=0，则a=0或b=0”，将原方程转化为两个一元一次方程。04解出方程分别解两个一元一次方程，求出的未知数的值即为原方程的根。例题分析例1.用因式分解法解下列方程：（1）x2+x=0；解：左边分解因式，得x(x+1)=0.于是x=0，或

x+1=0，即

x1=0，x2=–1.例题分析例2.用因式分解法解下列方程：（1）x(x–2)+x–2

=0；解：左边分解因式，得(x–2)(x+1)=0.于是x–2=0，或

x+1=0，即

x1=2，x2=–1.解：移项、合并同类项，得4x2–1=0.左边分解因式，得(2x+1)(2x–1)=0.于是2x+1=0，或2x–1=0，例3.解一元二次方程2x²-5x-3=0图示：十字相乘法核心原理

（系数与常数项的因数组合）01核心分解：十字交叉验证将二次项系数2拆分为1×2，常数项-3拆分为-3×1。

交叉和匹配一次项系数，原方程分解为：(x-3)(2x+1)=002转化求解：降次思想转化为一元一次方程：x-3=0或2x+1=0

解得：x₁=3，x₂=-1/2方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的意义x2=n

(n≥0)或(ax+b)2=n

(a≠0，n≥0)型方程.开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程.配方法完全平方公式所有一元二次方程.配方解法烦琐，当二次项系数为1或常数项较大时，用此法较简单.公式法配方所有一元二次方程.代入求根公式对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误.因式分解法若ab=0，则

a=0或b=0能化为一边为0，另一边为两个一次式积的形式的方程.分解因式求解迅速、准确，但适用范围较小.一元二次方程的四种方法的类比类比知识怎样根据方程的特点用简便方法解一元二次方程？解法适用的方程类型直接开平方法x2=p或

(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)配方法二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程公式法所有的一元二次方程因式分解法一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程探究新知2

首先直接开平方，一般少用配方法，

因式分解灵活用，求根公式掌握牢。新知小结2同步练习1.解方程：课堂练习1.解下列方程：（3）3x2–6x=–3；（4）4x2–81=0；解：方程变形，得3(x2–2x+1)=0.左边分解因式，得3(x–1)2=0.于是x–1=0，即

x1=x2=1.分层练习（5）3x(2x+1)

=4x+2；

课堂练习1.解下列方程：分层练习两种方法相比较，哪种方法更简单？同学们要有一双慧眼！（6）(x–4)2=(5–2x)2.解：左边分解因式，得[(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0，(1–x)(3x–9)=0.于是1–x=0，或3x–9=0，即

x1=1，x2=3.课堂练习1.解下列方程：分层练习解这个方程还有更简便的方法吗？请同学们先思考，再讨论，相信你们是最棒的！2.如图，把圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9∶4.求小圆形场地的半径.分层练习课堂小结01核心方法·因式分解法将一元二次方程化为两个一次因式乘积等于零的形式，通过降维思想转化为解一次方程。02基本原理·转化思想若两数乘积为0，则至少一数为0：ab=0⇔a=0或b=003解题四步·标准流程①移项(右为0)→②分解(左因式)→③转化(一次方程)→④求解。🤔思考：因式分解法是“万能钥匙”吗？并非