2025-2026学年山东淄博第十一中学高一下册5月期中考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题1.已知复数，其中i为虚数单位，则A. B. C. D.2.已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：①若，，则或；②若，，则；③若，，，，则；④若，，，则或与异面以上命题正确的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.②④3.已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.6.如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（）A.1小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.0.2小时7.在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（）A. B. C. D.8.在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形二、多选题9.（多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B. C. D.10.在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（）A.是的充要条件B.若，则为等腰三角形C.若为锐角三角形，则D.已知，，若有两解，则的取值范围是11.如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（）A.直线与直线是异面直线B.延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线C.当平面时，点的位置不唯一D.四棱锥的体积恒为定值三、填空题12.向量，则实数的值为__________.13.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______.14.如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________.四、解答题15.已知复数，（，为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．16.的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若的面积为，求的周长.17.如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积．18.在中，角所对的边分别是a,b,c,（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值.19.如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的正切值为，求的长度.

数学一、单选题1.已知复数，其中i为虚数单位，则A. B. C. D.答案：C解析：思路：直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模．解答过程：解：∴即故选C．方法提示：本题考查复数模的求法，是基础的计算题．2.已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：①若，，则或；②若，，则；③若，，，，则；④若，，，则或与异面以上命题正确的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.②④答案：C解析：解答过程：对于①，若，，则或，所以①正确；对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误；对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误；对于④，若，，，则或与异面，所以④正确.3.已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，即，又因为，为单位向量，所以，即，所以向量在向量上的投影向量为.4.已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：应用模长公式及夹角范围得出数量积范围计算求解.解答过程：因为，所以，所以，即得，，解得，又因为为锐角，且，所以且，即得且，所以的取值范围是.5.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6.如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（）A.1小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.0.2小时答案：B解析：思路：在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果.解答过程：由题意，在中，，，，所以，由正弦定理可得，，则；又在中，，，由余弦定理可得，，所以，因此救援船到达点需要的时间为小时.故选：B.7.在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：在中，，所以，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，因为，所以，因为，所以，所以在中，，可得，因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以.8.在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案：C解析：思路：根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法推出截面的形状．解答过程：如图所示，在正方体中，由于平面平面，且平面与平面的交线为，故平面与平面的交线必过点，且与平行，不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，；在矩形中，，；，又，，故，平面与平面的交线就是，平面平面，且平面与平面的交线为，平面与平面的交线必过点，且平行于，设，平面，平面平面，平面，平面，，则与的交点位于的延长线上，位于上，连接，则平面与平面的交线为，，，，，五点共面，截面为五边形，故C正确．方法提示：二、多选题9.（多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据复数的四则运算及复数的模计算判断即可.解答过程：设，，，对于A，，，，所以，故A正确；对于B，，，所以不恒成立，故B错误；对于C，，，，所以，故C正确；对于D，，，，又，所以，即，也即，所以，即，故D正确.10.在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（）A.是的充要条件B.若，则为等腰三角形C.若为锐角三角形，则D.已知，，若有两解，则的取值范围是答案：ACD解析：思路：利用大角对大边、正弦定理可判断A选项；利用正弦函数的单调性与对称性可判断B选项；正弦函数性质结合锐角三角形定义可判断C；利用正弦定理判断D.解答过程：对于A选项，由和大角对大边，得，A对；对于B选项，因为、，则、，因为，所以或或，若，则；若，则；若，则，这与的内角和定理矛盾.综上所述，为等腰或直角三角形，B错；对于C，若为锐角三角形，则，则，因函数在上单调递增，所以，同理可得，则成立，故C正确；对于D，，根据正弦定理，因为有两解，则，解得，则的取值范围是，故D正确．11.如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（）A.直线与直线是异面直线B.延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线C.当平面时，点的位置不唯一D.四棱锥的体积恒为定值答案：ABD解析：思路：使用点、线、面的位置关系判断选项，等体积法，线面平行的性质定理判断选项.解答过程：因为平面平面，平面，但点不在直线上，故平面，所以直线与直线是异面直线，选项正确；延长与直线交于点，则点在平面内，也在平面内，同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面内，故点、、在平面和平面的交线上，故、、三点共线，选项正确；若平面，又平面，平面平面，则，又因为，则四边形是平行四边形，所以，由正方体的对称性，此时平面与棱、交于点、，，，故点是的中点，选项C错误；，因为三棱锥和三棱锥的底面积是定值（的面积），高等于点或点C到平面的距离为定值，所以是定值，所以四棱锥的体积恒为定值，选项正确.三、填空题12.向量，则实数的值为__________.答案：解析：解答过程：由题意得，，由可得，得.13.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______.答案：解析：思路：根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解.解答过程：如图，过A1作下底面的投影，垂足为M，上底面对角线长，下底面对角线长，则，可得正四棱台的高，所以正四棱台的体积.故答案为：.14.如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________.答案：4解析：思路：建立直角坐标系，将几何点转化为坐标，从而利用向量的数量积公式求解.解答过程：以为原点，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，，，因为为的中点，所以，因为为边上靠近的三等分点，，所以，的横坐标与相同，即，又因为，所以，所以，设，所以，设，所以，所以，，则，则，所以，，，.四、解答题15.已知复数，（，为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解；（2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解.（1）解：由复数，，可得，因为复数为纯虚数，所以，解得．（2）解：由，可得，因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得所以实数的取值范围为．16.的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若的面积为，求的周长.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）根据题给条件及余弦定理、同角三角函数的基本关系即可求解.（2）根据三角形的面积公式可求，再根据余弦定理即可求，即可得的周长.（1）由余弦定理可知，.因为，所以，即.由，且，解得，则.（2）的面积，则.因为，所以由，可得，则，故的周长为.17.如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积．答案：（1）证明见解析（2）8解析：思路：（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行；（2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积．（1）证明：如图，连接，设，连接，四边形是矩形，则为的中点，又是的中点，，又平面，平面，平面．（2），是的中点，，在三棱柱中，底面，且，平面，平面，，，，平面，平面，则是三棱锥的高，在等腰中，，，则，又，．18.在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得；（2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可；（3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解.（1），则由和正弦定理可得，，因为，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由正弦定理，，所以.由三角形为锐角三角形可知，，解得，所以，所以的取值范围为.（3）由余弦定理，，即，当且仅当时，等号成立.又，化简可得，.所以，当且仅当时等号成立.故长度的最大值为.19.如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的正切值为，求的长度.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直得线面垂直；（2）连接，由平面，得到，由∥平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解.（3）分别取的中点，连接，利用平面∥平面，将问题转化为平面与平面夹角的正切值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解.（1）∵为上底面圆的直径，点在上底面圆周上，∴，∵∥，∴，又∵平面，且平面，∴，∵，且平面，∴平面.（2）连接，由（1）平面，∴就是直线与平面所成的角，即，∴且，∴，，∴为直角三角形，∴为弧的中点，∴又，