2025-2026学年陕西省榆林市榆阳区高一下册5月期中质量检测数学试卷（含解析）

/数学考试时间：120分钟全卷满分：150分第I卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.已知复数，则复数的虚部为（）A.1 B. C. D.2.正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（）A.12 B. C.16 D.3.已知向量，，若，则（）A. B.1 C.5 D.04.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若m//，m//n，则n// B.若m//，n//，则m//nC.若m//，n，则m//n D.若m//，m，＝n，则m//n5.如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（）A. B. C. D.6.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）A. B.C. D.7.在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（）A.P一定在直线上B.P一定在直线上C.P在直线或上D.P既不在直线上，也不在直线上8.在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则（）A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（）A.若，则B.若是锐角三角形，则．C.若，则为钝角D.若，则为直角三角形11.如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（）A.B.四面体的体积为C.过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为D.过三点的平面截四面体所得的截面面积为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，则与的夹角为______.13.一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________．14.如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______．四、解答题：本大题共6小题，共77分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中．（1）若为实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围．16.的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求．17.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）设平面平面，求证：.18.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的3倍．（1）若求该几何体的体积与表面积．（2）若正四棱锥的侧棱长为6，且Q，N分别是线段上的动点，求的最小值．19.如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.（1）设，，试用，表示；（2）求；（3）设，，求的最小值.

数学考试时间：120分钟全卷满分：150分第I卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.已知复数，则复数的虚部为（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：求得，即可得答案.解答过程：因为，所以复数z的虚部为1.2.正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（）A.12 B. C.16 D.答案：C解析：思路：根据斜二测画法的原理作出原图形，求出边长即可得原图形的周长.解答过程：从直观图可得，原图形为：则四边形OABC为平行四边形，，，所以其周长为.故选：C.3.已知向量，，若，则（）A. B.1 C.5 D.0答案：D解析：解答过程：，，由，可得，解得.4.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若m//，m//n，则n// B.若m//，n//，则m//nC.若m//，n，则m//n D.若m//，m，＝n，则m//n答案：D解析：思路：举例说明判断A，B，C；利用线面平行的性质判断D作答.解答过程：如图，长方体中，平面视为平面，对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，而m与n相交，B不正确；对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，n，显然m与n是异面直线，C不正确；对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D5.如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：在中，，由正弦定理得，即，所以，在中，.6.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：设圆台的高为，则，故圆台的体积为.7.在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（）A.P一定在直线上B.P一定在直线上C.P在直线或上D.P既不在直线上，也不在直线上答案：B解析：思路：由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置.解答过程：由题意知：面，又交于一点P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：点P一定在直线上.故选：B.8.在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解.解答过程：如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，依题意，有，，，，设，则，且，，，因，当时，，当时，，故．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则（）A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：AC解析：思路：根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D.解答过程：因为是纯虚数，所以A正确；因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；因为的共轭复数为，所以C正确；因为，所以D不正确．故选：AC10.在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（）A.若，则B.若是锐角三角形，则．C.若，则为钝角D.若，则为直角三角形答案：BCD解析：思路：对于A，利用余弦三角函数的性质即可求解；对于B，利用锐角三角形的定义及正弦函数的性质，结合诱导公式即可求解；对于C，根据余弦定理可判断C；对于D，利用射影定理计算判断选项.解答过程：对于A，在中，因为，所以，又在上单调递减，所以，故A错误；对于B，因为为锐角三角形，可得,则,因为，所以，又在上单调递增，所以，故B正确；对于C，若，则，而，所以角C为钝角，故C正确；对于D，在中，由射影定理及得：，则，而，解得，即为直角三角形，D正确.11.如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（）A.B.四面体的体积为C.过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为D.过三点的平面截四面体所得的截面面积为答案：ACD解析：思路：利用球的表面积公式求出球半径，再结合正四面体的结构特征逐项求解判断.解答过程：由球的表面积为，得球的半径，连接并延长交平面于，连接，则点是正的中心，，，对于A，由，解得，A正确；对于B，四面体的体积，B错误；对于C，过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面三角形与相似，其面积为，C正确；对于D，延长交于，连接，则是的中点，，过三点的平面截四面体所得的截面为，其面积为，D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，则与的夹角为______.答案：解析：思路：由平面向量夹角的坐标表示求解，解答过程：由题意得，，，故答案为：13.一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________．答案：解析：解答过程：设内切球半径为，由球的体积公式V球=43πR3，代入V球圆柱的内切球与圆柱的上下底面、侧面都相切，因此圆柱底面半径，圆柱的高，圆柱表面积为，代入得S=2π×14.如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______．答案：解析：思路：设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长.解答过程：设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形.由平行线分线段比例可知：，故，故为等腰直角三角形，所以，故，则，.所以五边形的边长为：.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共77分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中．（1）若为实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围．答案：（1）或（2）（3）解析：思路：（1）由虚部为0列式求值.（2）由实部为0，虚部不为0列式求值.（3）由实部大于0，虚部小于0列式求的取值范围.（1）由为实数，所以虚部为0，即或.（2）由是纯虚数，所以，所以.（3）由对应的点位于第四象限，所以，所以.所以的取值范围为.16.的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即可.（2）由（1）的结论结合已知，利用正弦定理求解即得.（1）在中，由及余弦定理，得，而，所以.（2）由，且，则，由正弦定理得：，即，所以.17.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.（1）求证：平面；（2）设平面平面，求证：.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1），通过证明，得证平面；（2）证明平面，由线面平行的性质定理证明.（1）连接，交于点，连接，因为是平行四边形，故为中点，又为侧棱的中点，故.又平面，平面，故平面.（2）因为，平面，平面，所以平面.又因为平面平面，平面，所以.18.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的3倍．（1）若求该几何体的体积与表面积．（2）若正四棱锥的侧棱长为6，且Q，N分别是线段上的动点，求的最小值．答案：（1）该几何体的体积为，表面积为.（2）解析：思路：（1）分别求题中的正四棱锥和正四棱柱的体积和表面积，再对应相加可得该几何体的体积与表面积；（2）将侧面和侧面展开，易知的最小值为点到线段上点的最小值，即展开图中的最小值.由已知条件，求出，从而求得，结合余弦定理，判断的最小值为点到的距离，并求得该距离.（1）由题可知，正四棱锥

中，过点作，垂足为，则.正四棱锥

的体积为，侧面积为.因为，所以正四棱柱

的体积为，去掉上底面的表面积为.所以该几何体的体积为，表面积为.（2）如图，将侧面和侧面展开，易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值，即展开图中点到线段上点的最小值.由题可知，.过点作，垂足为，则，因为正方形中，，所以.所以，所以，所以.因为，.因为，所以为锐角；，所以为锐角，所