2025-2026学年四川广安加德学校高二下册3月月考数学试卷（含解析）

/数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.等差数列2，4，6，…的第9项为（）A.20 B.22 C.18 D.262.已知，则的值为（）A.1 B. C. D.23.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.4.已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则（）A.27 B.9 C.3 D.5.已知椭圆和双曲线焦点相同，则（）A.2 B.1 C. D.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.7.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.8.已知正实数a，b满足，则为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知数列的前项和为，，，，，则（）A. B.C. D.10.双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，则下列不正确的是（）A.若，则或B.过的直线与交于两点，则的最小值为C.能使为直角三角形的点有个D.若为钝角三角形，点到坐标原点的距离的取值范围为11.已知函数，则（）A.是函数的极小值点B.对，方程恒有两个不同的实数解C.D.存在，使得直线与曲线相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为______.13.已知数列的前n项和为，满足，则________．14.函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间.16.如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，．（1）求证：；（2）若，且，，①求平面与平面所成锐二面角的大小；②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．17.已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和.18.已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点．（1）求的方程；（2）若，求直线的方程；（3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值．19.已知函数（1）已知在点处的切线方程为，求实数的值；（2）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围．（3）已知有两个零点，求实数的取值范围并证明．（4）比较，，三者的大小，并证明．

数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.等差数列2，4，6，…的第9项为（）A.20 B.22 C.18 D.26答案：C解析：解答过程：等差数列2，4，6，…的首项为2，公差为2，则其通项公式为，故数列的第9项为.2.已知，则的值为（）A.1 B. C. D.2答案：D解析：思路：根据题目条件，利用导数的定义即可求解.解答过程：.故选：D3.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.4.已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则（）A.27 B.9 C.3 D.答案：A解析：思路：利用等比数列的性质即可求解.解答过程：由题意得：，又由等比数列性质可得：，所以，故选：A5.已知椭圆和双曲线焦点相同，则（）A.2 B.1 C. D.答案：A解析：解答过程：因为椭圆和双曲线焦点相同，所以，解得.6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：首先对函数求导，然后判断函数的单调性，进而可得出对应的图象.解答过程：，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，排除B，C，D.故选：A．7.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可求.解答过程：因为，所以，则，所以函数在处的切线方程为，即.故选：B.8.已知正实数a，b满足，则为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设，，分别求出这两个函数值域，可知有且仅有一种情况使得，求出的值计算求和即可解答过程：等式左边：设，求导得，时，在单调递减，时，在单调递增，因此的最小值为，所以，等式右边：设，求导得，时，，在单调递增，时，，在单调递减，因此的最大值为，所以，又，因此仅当时等式成立，即

，，故.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知数列的前项和为，，，，，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用递推公式可列方程组求解，即可判断AB，再利用递推关系构造成等比数列，从而可求得通项，再利用等比数列求和，即可判断CD.解答过程：对于A，B，由，可得，因为，，，所以，解得，故A正确，B错误；对于C，由A，B选项的分析可得：，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，所以，则，故C正确；对于D，，故D正确．故选：ACD．10.双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，则下列不正确的是（）A.若，则或B.过的直线与交于两点，则的最小值为C.能使为直角三角形的点有个D.若为钝角三角形，点到坐标原点的距离的取值范围为答案：ABD解析：思路：利用双曲线的定义，即可判断选项A，利用特殊位置关系即可判断选项B，利用双曲线图像的对称性即可判断选项C，根据两点之间距离公式以及图像即可判断选项D.解答过程：由题意知双曲线的两个焦点分别为，，对于A，由双曲线定义知，所以或，但双曲线右支上的点到右焦点最短距离为，所以不合题意，故A错误.对于B，过的直线为轴时，与交于两点分别为，，此时，故B错误.对于C，若为直角三角形，则，，均可以为直角，根据对称性可得这样的直角三角形有个，故C正确.对于D，设，则点到坐标原点的距离，又，整理得，很明显，时，，根据图形，明显为钝角三角形，所以点到坐标原点的距离的取值范围不限为，故D错误.故选：ABD11.已知函数，则（）A.是函数的极小值点B.对，方程恒有两个不同的实数解C.D.存在，使得直线与曲线相切答案：AB解析：思路：对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项.解答过程：函数​的定义域为，且，令，解得当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增；则是函数的极小值点，故A正确；对于B，的极小值为，当时，，，当时，，结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确；对于C，由于当时，单调递增，所以，则，即,所以，故C不正确；对于D，设切点为，切线斜率为，切线方程为：，因为切线过，代入得：化简得：，整理得：，即，令，，则，所以在和上单调递增，所以当时，，当时，，则当时，无解，即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为______.答案：##解析：思路：利用空间向量求点到平面的距离.解答过程：因为，所以点到平面的距离为：.故答案为：13.已知数列的前n项和为，满足，则________．答案：243解析：解答过程：令，得，得，由，当时，，两式相减得，，即，即，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以.14.函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：解答过程：函数，，由于函数两个极值点为，即是方程的两个不等实数根，即方程，且，；设，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有个不同的交点，应满足，解得，所以的取值范围为，故选.【方法方法提示：本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间.答案：（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为.解析：思路：（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值；（2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解.（1）函数，则，则，而直线的斜率为，因为曲线在点处的切线与直线平行，则，解得，（2）由（1）可知，所以，定义域为，，令，即，化简可得，解得，当时，函数单调递增。由，即，解得或，所以的单调递增区间为和，当时，函数单调递减，由，即，解得，所以的单调递减区间为；综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为.16.如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，．（1）求证：；（2）若，且，，①求平面与平面所成锐二面角的大小；②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）①；（2）不存在，理由见解析解析：思路：（1）依题意可证出平面，即可证得；（2）①建立空间直角坐标系确定各点坐标，求出两个平面的法向量，由平面夹角公式即可求出；②设得出点的坐标，再根据线面角的向量公式列出方程，求解即可判断满足条件的点是否存在.（1）证明：，.底面，底面，.平面平面，平面.平面，；（2）①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，由题，则设平面的法向量为，平面的法向量，则有，取.，取，则，故.设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，，即；②设，则，设，则，解得，即，则，，化简得：，平方得，解得，又因，故舍去，故不存在点，使得与面所成的角为．17.已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）利用递推关系证明等差数列即可；（2）利用等差数列通项公式求解即可；（3）利用错位相减法来求和即可.（1）由，两边同时除以：得，所以又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知：，故；（3），，两式相减，得，，故.18.已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点．（1）求的方程；（2）若，求直线的方程；（3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值．答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.解析：思路：（1）由焦半径公式求出p即可求解；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解；（3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解.（1）根据题意可得，解得．所以的方程为．（2）设，，直线的方程为．由消去得，所以即，，，所以，解得，所以直线的方程为；（3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以，由（2）得，，所以．因为，，所以，即为定值．19.已知函数（1）已知在点处的切线方程为，求实数的值；（2）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围．（3）已知有两个零点，求实数的取值范围并证明．（4）比较，，三者的大小，并证明．答案：（1）（2）（3），不妨设两个零点由，所以，所以，所以，要证，只需证，只需证，由，只需证，只需证，只需证，令，只需证，令，，所以在上单调递增，故，即成立，所以成立.（4），证明：由（3）可得：，即，又，所以综上可知：解析：思路：（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值；（2）依题意在上恒成立，分参求解即可；（3）求出函数的单调性，结合零点存