2025-2026学年四川省绵阳市东辰学校高一下册第三次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（）A. B. C. D.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（）A. B. C. D.4.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.中，角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.或6.已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（）A.1 B.2 C.4 D.7.正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（

）米．A. B. C. D.二、多选题9.设，为复数，下列说法正确的是（）．A. B.C.若，则 D.若是实数，则为纯虚数10.在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（）A.是的充要条件B.若，则C.若，则D.若，则为等腰三角形11.如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（）A.存在点P，M，使得平面与平面PBD平行B.当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为C.正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动D.当M为中点时，四棱锥M-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为三、填空题12.向量，若，则实数的值为_____.13.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为______.14.在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为________．四、解答题15.已知向量，其中．（1）若，求实数的值；（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．16.如图，四边形为圆内接四边形，，，．（1）求；（2）若，求的面积．17.在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，．（1）求证：平面MBC；（2）已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离18.如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设．（1）用表示，（2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离；（3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值．19.如图，是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线垂直于圆O所在的平面．（1）证明：；（2）已知，设点C关于直线的对称点为D．（i）求二面角的余弦值；（ii）若及其内部存在点Q使得四面体与五面体的体积相等，求的最小值．

数学一、单选题1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限.解答过程：由题意得复数，复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限.2.（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：应用平面向量加法及减法运算.解答过程：.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先根据已知条件求出直角梯形的面积，然后根据原平面图形的面积与直观图的面积之间的关系求出结果.解答过程：根据题意，该图形的直观图是直角梯形，则其面积，那么该平面图形的面积为.故选：D.4.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：思路：根据直线与平面的平行关系判断AB两个选项，根据直线与平面的垂直和平行关系判断CD两个选项.解答过程：对于A：若，则可能有，A错误；对于B：若，则也可能异面或相交，B错误；对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误；对于D：若，则，又，则，D正确.故选：D.5.中，角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.或答案：A解析：思路：由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.解答过程：由题意，在中，则，所以，因为，所以或，又，所以．故选：A6.已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（）A.1 B.2 C.4 D.答案：A解析：解答过程：，即，即，解得或（舍去），则，所以向量在向量上的投影向量的模为．7.正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设点为正方形的中心，由线面角的定义得直线与平面所成角即为，解直角三角形即可得解.解答过程：如图所示，设点为正方形的中心，所以，因为平面，且平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以直线与平面所成角即为，不妨设正方体棱长为1，则，所以.故选：D.8.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（

）米．A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，利用直角三角形边角关系、余弦定理建立方程，再解方程组求解作答.解答过程：设，在中，，，在中，，，在中，，，在中，，即，在中，，即，由，得，于是，解得，所以滕王阁的高度.二、多选题9.设，为复数，下列说法正确的是（）．A. B.C.若，则 D.若是实数，则为纯虚数答案：BC解析：思路：对于AD：举反例说明即可；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于C：根据共轭复数的定义结合模长公式分析判断.解答过程：设，，对于选项A：例如，则，两者不相等，故A错误；对于选项B：因为，且，则，即，故B正确；对于选项C：若，则，所以，故C正确；对于选项D：例如是实数，则也为实数，故D错误；故选：BC.10.在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（）A.是的充要条件B.若，则C.若，则D.若，则为等腰三角形答案：ACD解析：思路：对于A选项，结合三角形边角的性质和正弦定理边角互化，分别证明充分性与必要性即可判断；对于B选项，根据角度比例算出三个内角的具体值，再利用正弦定理得到三边的比例关系进行判断；对于C选项，通过正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求出的值，进而得到角；对于D选项，利用正弦定理将边的平方比转化为正弦平方的比，再结合余弦定理化简，分析角、的关系判断三角形形状.解答过程：选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：，因此是的充要条件.选项B，若，结合内角和，得.由正弦定理，B错误.选项C，由正弦定理，将化边为角：左边，因此原式得，中，故，又，得.选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：，因此，即，为等腰三角形.11.如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（）A.存在点P，M，使得平面与平面PBD平行B.当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为C.正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动D.当M为中点时，四棱锥M-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为答案：ACD解析：思路：对于A，取中点为M，中点为可得相应平行平面；对于B，由题可得，后由平面几何知识可得轨迹长；对于C，求出棱长为9的正四面体的内切球的内接正方体的棱长，对比正方体的棱长即可作出结论；对于D，由题可确定外接球半径，进而可得外接球内接正方体边长，最后结合外接球的内接正四面体可由其内接正方体切割得到，可确定正四面体棱长.解答过程：对于A，如图取中点为M，中点为P，下证平面与平面平行.因中点为M，中点为P，可得，又平面，平面，则平面；又注意到，又平面，平面，则平面，又平面，则平面与平面平行，故A正确.对于B，如图取中点为E，连接PE，由题可得，平面，又平面，则.因，则，则点的轨迹为以E为圆心，半径为2的圆在平面内的部分，如图所示，因，则，同理可得，则，则点的轨迹长度为，故B错误；对于C，棱长为9的正四面体的高为，底面外接圆半径为，内切球半径为，则，解得，所以，所以由等体积法有，，解得，设棱长为的正方体内接于半径为的球内部，则，解得，又因为正方体的棱长为2，满足，所以正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动，故C正确；对于D，如图取AC，BD交点为O，AD中点为G，连接MG，GO，MO，由题可得，，又由题可得，则，则O到四棱锥所有顶点距离均相等，则O为外接球球心，外接球半径为，又正方体外接球半径为其体对角线长度一半，设外接球内接正方体边长为a，则.又由图可得外接球的内接正四面体可由其内接正方体切割得到，且内接正四面体棱长为内接正方体面对角线长度，即.则内接正四面体表面积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.向量，若，则实数的值为_____.答案：解析：思路：根据向量平行的坐标运算求解.解答过程：因为向量

，且

，所以.故答案为：6.13.如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为______.答案：解析：思路：作出辅助线，求出各边长度，求出以为半径的圆的面积，以为母线和为半径的圆锥的侧面积，以为母线的圆台的面积，相加后得到答案.解答过程：作，，E，F为垂足，因为，所以，因为，所以，，故，又，，故，，由勾股定理得，四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以为半径的圆的面积，以为母线和为半径的圆锥的侧面积，以为母线的圆台的侧面积所以该几何体的表面积为.故答案为：14.在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为________．答案：解析：思路：设，在中，利用正弦定理求出，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解.解答过程：设，则，在中，由正弦定理得，所以，在中，，，则，所以，因为，所以，所以，所以的最小值为.四、解答题15.已知向量，其中．（1）若，求实数的值；（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出；（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围.（1），，解得．（2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反，所以且，解得且.所以实数的取值范围为．16.如图，四边形为圆内接四边形，，，．（1）求；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：（1）是的内角，，，.在中，由余弦定理得，代入，，，得，整理得，解得（不符合边长要求，舍去）.由正弦定理得，.（2）四边形为圆内接四边形，，，.在中，由余弦定理得，代入，，，得，整理得，解得（不符合边长要求，舍去）.的面积.17.在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，．（1）求证：平面MBC；（2）已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：取CD的中点E，连接BE、NE，根据题意可得平面，平面，利用面面平行的判定定理和性质即可证明；(2)根据题意知四边形为菱形，可得直线AN与BC所成角为，利用余弦定理求出AM，进而求出，结合三棱锥等体积法即可求出点C到平面MBD的距离.（1）由题意得，取CD的中点E，连接BE、NE，则且，故四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面，又且，且，则且，故四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面，由得，平面平面，因为平面，所以平面；（2）因为矩形平面，所以平面，又，所以四边形为菱形，则，直线AN与AE所成角为，设AM的长为x，则，在中，由余弦定理，得，即，由解得，所以，得，在中，，所以的高为，故，设点C到平面MBD的距离为h，则，由，得，解得.即点C到平面MBD的距离为.方法提示：18.如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设．（1）用表示，（2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离；（3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值．答案：（1）；（2）岛屿到补给站的距离（3）岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里．解析：思路：（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解；（2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解.（3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案.（1）依题意，得，因为点为中点，所以，又在靠近岛屿的的三等分点上所以，又，所以，；（2）依题意，得，，所以，即，所以，则，又，所以，所以，所以岛屿到补给站的距离；（3）由，可得，即，可得，即，设，由正弦定理知，而，所以，因为，所以，得，所以当，即时，取得最小值，即的最小值为，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里．19.如图，是圆O的直径，点C是圆O上的动点