矩形的性质和判定练习题

矩形的性质和判定练习题矩形作为一种特殊的平行四边形，在几何学习中占据着重要地位。深入理解其性质与判定方法，不仅是学好平面几何的基础，也能为后续更复杂的几何问题解决提供有力工具。本文将通过一系列练习题，帮助读者巩固矩形的相关知识，提升应用能力。一、矩形的性质回顾在开始练习之前，我们先来简要回顾矩形的核心性质，这是解决所有相关问题的基础：1.定义属性：矩形是有一个角为直角的平行四边形。2.角的性质：矩形的四个内角均为直角。3.边的性质：矩形的对边平行且相等。4.对角线性质：矩形的两条对角线不仅相等，而且它们互相平分。这意味着对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形。5.对称性：矩形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点；同时，矩形也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是对边中点的连线。二、矩形的判定方法梳理要判定一个四边形是否为矩形，我们可以依据以下几种方法，在不同的已知条件下灵活选用：1.定义判定法：若一个平行四边形有一个内角是直角，则该平行四边形是矩形。2.角的判定法：若一个四边形的四个内角都是直角，则这个四边形是矩形。3.对角线判定法：若一个平行四边形的两条对角线相等，则该平行四边形是矩形。4.（引申）对角线与内角结合判定：对于一个四边形，若其对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形。（这实际上是“对角线相等的平行四边形是矩形”的一种延伸，因为对角线互相平分可判定其为平行四边形。）三、练习题（一）基础巩固1.判断题（对的打“√”，错的打“×”）：*(1)矩形的四个角都是直角。（）*(2)矩形的对角线互相垂直。（）*(3)有一组对边平行且相等，并且有一个角是直角的四边形是矩形。（）*(4)对角线相等的四边形是矩形。（）2.填空题：*(1)矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4，则AC的长为______。*(2)已知矩形的一条对角线长为10cm，则其另一条对角线长为______cm。*(3)矩形的邻边之比为3:4，周长为28，则矩形的面积为______。（二）能力提升3.选择题：*(1)下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A.AB=CD，AD=BC，∠A=90°B.AO=BO=CO=DO（O为对角线交点）C.AB//CD，AB=CD，AC=BDD.AB//CD，AD=BC，AC=BD*(2)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对边平行且相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.内角和为360°4.解答题：*(1)已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且AF=DE。求证：平行四边形ABCD是矩形。*(2)已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。求证：四边形EFGH是矩形。*(3)在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。求证：四边形ABCD是矩形。（三）综合应用5.探究题：*已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。*(1)求证：四边形ADCE是矩形。*(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。四、练习题解答与思路提示（一）基础巩固1.判断题：*(1)√（矩形定义及性质）*(2)×（矩形对角线相等且互相平分，但不一定垂直，除非是特殊矩形——正方形）*(3)√（一组对边平行且相等可判定为平行四边形，再加一个直角即可判定为矩形）*(4)×（对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形可能是等腰梯形等）2.填空题：*(1)8（思路：矩形对角线相等且互相平分，故AO=BO。∠AOB=60°，则△AOB为等边三角形，所以AO=AB=4，AC=2AO=8。）*(2)10（矩形对角线相等）*(3)48（思路：设邻边分别为3x和4x，周长2*(3x+4x)=28，解得x=2，故邻边为6和8，面积6*8=48。）（二）能力提升3.选择题：*(1)D（提示：选项D中，AB//CD，AD=BC，可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，更不一定是矩形。A可由平行四边形定义+直角判定；B中对角线互相平分且相等，可判定为矩形；C可先由AB//CD且AB=CD判定为平行四边形，再由对角线相等判定为矩形。）*(2)C（矩形特有的性质是对角线相等，其他选项平行四边形也具备。）4.解答题：*(1)证明思路：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD且AB=CD。E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=1/2AB，DF=1/2CD，故AE=DF且AE//DF。所以四边形AEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。又因为AF=DE，所以平行四边形AEDF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。因此，∠A=90°。所以平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。*(2)证明思路：因为点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，所以EF是△OAB的中位线，GH是△OCD的中位线，FG是△OBC的中位线，EH是△OAD的中位线。所以EF//AB且EF=1/2AB，GH//CD且GH=1/2CD，FG//BC且FG=1/2BC，EH//AD且EH=1/2AD。因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC，且∠ABC=90°。所以EF//GH且EF=GH，FG//EH且FG=EH，因此四边形EFGH是平行四边形。又因为EF//AB，FG//BC，所以∠EFG=∠ABC=90°。所以平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。*(3)证明思路：因为∠A=∠B=∠C=90°，所以∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。所以AD//BC，AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。所以四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。又因为∠A=90°，所以平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。（三）综合应用5.探究题：*(1)证明思路：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”性质，AD⊥BC，即∠ADC=90°。AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠MAN=∠CAN。又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB。而∠CAM是△ABC的外角，所以∠CAM=∠B+∠ACB=2∠ACB。因此，∠CAN=∠ACB，所以AN//BC（内错角相等，两直线平行）。因为CE⊥AN，所以∠AEC=90°。又因为AD⊥BC，AN//BC，所以AD⊥AN，即∠DAE=90°。在四边形ADCE中，∠DAE=∠AEC=∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。*(2)解答：当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC且∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形。证明思路：若∠BAC=90°，AB=AC，则△ABC是等腰直角三角形。AD是BC边上的中线，所以AD=1/2BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。又因为AD⊥BC，所以BD=DC=AD。由(1)知四边形ADCE是矩形。若要使其为正方形，只需邻边相等。在矩形ADCE中，AD=DC（已证），所以矩形ADCE是正方形（一组邻边相