《机器人控制》课件 第1-8章 机器人数学基础-自适应控制

1

HomogeneousTransformation1Chapter

1齐次变换

位置和姿态的描述

坐标变换

齐次变换

物体的变换与逆变换

通用旋转变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例我们需要描述机器人组件的位置和姿态(相对于U)。位置?姿态?1.1位置和姿态的描述2机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

1.1位置和姿态的描述

位置描述视为一个点用一个三维的向量表示相对于一个已知坐标系，例如：0-xyz方位描述视为一个刚体用矩阵表示(旋转矩阵)怎么表示？答案：为了描述物体的姿态，我们在物体上面固定一个坐标系并且给出此坐标系相对于参考坐标系的表达。（1.1）3机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例我们用

xb、

yB

和zB

来表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量。当用坐标系{A}的坐标表达时，它们被写成axb、AyB和azb。旋转矩阵,是{B}相对于{A}的表达。由这三个单位矢量堆叠而成：角度的余弦值姿态描述1.1位置和姿态的描述

（1.2）4机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例—物体的初始点在A0—A0

相对于与原点O绕xA0旋转θ后，到达点A1

，A1是物体旋转后所在的位置。==旋转矩阵基础1.1位置和姿态的描述

5

同理,绕ya0

旋转θ:（1.5）

同理,绕za0旋转θ:（1.6）

X轴Y轴Z轴（1.4）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例6相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量

和旋转矩阵描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系{B}来描述，即1.1位置和姿态的描述

6（1.7）位姿描述机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例让P表示空间中的任一点.那么点P相对于参考坐标系{A}的坐标可以用AP表示。同理，P在坐标系{B}的坐标可以表示为BP。说明：只有当坐标系{A}和{B}的姿态相同时，上面的公式才可用。平移坐标变换1.2坐标变换

（1.8）7机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例如果{B}相对于{A}的姿态描述(ABR)是已知，那么位于坐标系{B}下的点P可以被转化为坐标系{A}下的坐标。提示：上面的方程假定了坐标系{A}和{B}的原点是一致的，那么当两坐标系的原点不一致应该怎么办呢？旋转坐标变换（1.9）1.2坐标变换

8

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例991.2坐标变换

一般坐标变换C是一个平行于A的坐标系(不同的原点)：

（1.10）提示:只有当两个矢量用同一坐标系表示时才可以相加.机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例10解：101.2坐标变换

表示绕

zA轴转30°

例1

已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，先将{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0RG和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[370]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例11111.2坐标变换

例1

已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，先将{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0RG和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3

7

0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。解：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例12121.2坐标变换

例1

已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，先将{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0RG和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3

7

0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。解：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例已知一直角坐标系中的某点坐标，则该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。一个向量的齐次表示是不唯一的，如齐次坐标[8,4,2][4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。13131.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例14齐次变换

矩阵形式：

141.3齐次坐标变换

（1.12）旋转变换平移变换（1.11）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例例

2

已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[370]T,用齐次变换方法求它在坐标系{A}中的描述Ap。15151.3齐次坐标变换

解：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例16161.3齐次坐标变换

例

2

已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[370]T,用齐次变换方法求它在坐标系{A}中的描述Ap。解：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例17平移齐次坐标变换（Trans-表示平移变换）空间中的某点用

描述，该点也可表示为：对已知矢量u=[x

y

z

1]T进行平移变换所得的矢量v

为：

171.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例18旋转齐次坐标变换181.3齐次坐标变换

其中：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例19例3

已知点u=[732]T，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标。解：191.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例20解：如果把上述两变换组合在一起201.3齐次坐标变换

例3

已知点u=[732]T，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例21若改变旋转次序，首先使u

绕y

轴旋转90°，再绕z

轴旋转90°，会使u变换至与w不同的位置w1。211.3齐次坐标变换

图

旋转次序对变换结果的影响机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例22例4

已知点

u=[732]T，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，最后进行平移变换[4,-3,7][x,y,z]T，求最终的坐标。221.3齐次坐标变换

图

平移变换和旋转变换的组合解：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例23解：则231.3齐次坐标变换

图

平移变换和旋转变换的组合例4

已知点

u=[732]T，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，最后进行平移变换[4,-3,7][x,y,z]T，求最终的坐标。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例24逆变换

从坐标系{B}相对{A}的描述，求得坐标系{A}相对{B}的描述，是齐次变换求逆问题。对于给定的，求解，等价于给定和计算

和。241.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例25逆变换对于给定的，求解，等价于给定和计算

和。251.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例26逆变换

给定坐标系{A}，{B}和{C}，若已知{B}相对{A}的描述为，{C}相对{B}的描述为，则定义复合变换：261.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例27给定变换矩阵:求。解:27其中：1.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例28变换方程

281.3齐次坐标变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例29291.3齐次坐标变换

解：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例平移算子定义：平移将空间中的一个点沿着一个已知的矢量方向移动一定距离。对空间中一点实际平移的描述仅与一个坐标系有关。这里：

QzAP1AP2{A}AA301.4运动算子

xAyA机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例旋转算子

结论：矢量经某一旋转R得到的旋转矩阵与一个坐标系相对于参考坐标系经某一旋转R得到的旋转矩阵是相同的。

311.4运动算子

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例旋转算子

321.4运动算子

解：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

331.4运动算子

变换算子

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例34物体位置描述

我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在空间的位置和方向。例如，下图所示物体可由坐标系内固定该物体的六个点来表示。341.5物体姿态的其他描述图

对楔形物体的变换机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例提示:这三个旋转都围绕固定坐标系中的一个轴进行{A}。用欧拉变换表示运动姿态刚体的方向：351.5物体姿态的其他描述机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例实例:Z-Y-X欧拉角欧拉旋转定理：任何两个独立的正交坐标系都可以通过一系列(不超过3次)相对于坐标轴的旋转联系起来，但其中连续的两次旋转不能绕同一轴线。首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合.先将{B}绕ZB

旋转α角,再绕YB

旋转

β角,最后绕XB

旋转

γ角.Y'BY''AZ'BX'BZ''BX''BZAXAYAY'BX'AZ'BX''BX'''BY'''BY''BZ''BZ'''BZA(ZB)YA(YB)XA(XB)提示:在这种表示法中，每次都是绕运动坐标系{B}的各轴旋转而不是绕固定坐标系{A}的各轴旋转。361.5物体姿态的其他描述用欧拉变换表示运动姿态机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例使用中间坐标系{B'}和{B''}表达右手定则：

右手坐标系是指可以由右手前三个手指的指向确定，它们分别指向x、y、和z轴的方向。绕一个向量的旋转：用右手抓握住该向量，并让拇指(即x轴手指)指向向量箭头的方向，其余手指卷曲的指向就是角度增加的方向。用欧拉变换表示运动姿态右手定则：371.5物体姿态的其他描述机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例欧拉变换由连乘三个旋转矩阵求得，即注意：坐标变换是右乘，即后面的变换乘在右边。用欧拉变换表示运动姿态381.5物体姿态的其他描述机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例欧拉角实例现在我们使用ZYZ的顺序，欧拉角是一个三维向量要计算Γ=(0.2,0.3,0.4)的等价旋转矩阵,我们可以这样写:

MATLABexample>>T1=rotz(0.2)*roty(0.3)*rotz(0.4)T1=0.7850-0.54760.28960.55650.82880.0587-0.27220.11510.9553或采用更简单的方式:>>T2=eul2r(0.2,0.3,0.4)T2=0.7850-0.54760.28960.55650.82880.0587-0.27220.11510.9553Note:alluseradians39机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例Z-Y-X欧拉角实例ZYX顺序(

横滚、俯仰和偏航)是另一种广泛使用的旋转角顺序.MATLABexample>>T3=rpy2r(0.3,0.4,0.5)T3=0.8083-0.44160.38940.55900.7832-0.2722-0.18480.43770.8799我们可以使用工具箱函数得到R，如下：并且其逆运算为:>>theta=tr2rpy(T3)theta=0.30000.40000.500040机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例41物体位置描述

如果首先让物体绕z轴旋转90°，接着绕y轴旋转90再沿x轴方向平移4个单位，则该变换可描述为：411.5物体姿态的其他描述机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例42物体位置描述

上述楔形物体的六个点变换如下：421.5物体姿态的其他描述机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例43设f为坐标系{C}的z轴上的单位矢量

绕矢量f

旋转等价于绕坐标系{C}的z轴旋转431.6通用旋转变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例44如果已知以参考坐标描述的坐标系{T}，那么能够求得以坐标系{C}描述的另一坐标系{S}，因为

其中S表示T相对于坐标系的位置。对S求解可得：

T绕f旋转等价于绕坐标系{C}的z

轴旋转：441.6通用旋转变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例45

451.6通用旋转变换

其中可得（1）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例46等效转角和转轴

给出任一旋转变换，能够由式(1)求得进行等效旋转θ角的转轴461.6通用旋转变换

若已知旋转变换：令机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例47等效转角和转轴471.6通用旋转变换

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例48欢迎提问！

HomogeneousTransformation48机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例4949Chapter

2

机器人运动学建模连杆描述和关节变量

D-H参数法建立关节坐标系

机械臂正运动学方程

正运动学方程举例

机械臂逆运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html例如：从几何学的观点来处理手指位置P与关节变量L1,L2,和的关系称为运动学(Kinematics)。图3.1机器人运动学表示机器人运动学概述机器人运动学：从几何的角度研究机器人的位置、速度、加速度以及位置变量的各种高阶导数特性，不考虑力的作用。50机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

机器人运动学中的两类基本问题：正向运动学：机器人运动方程的表示问题。已知连杆几何参数和关节变量，求机器人末端执行器的位置和姿态。逆向运动学：机器人运动方程的求解问题。给定机器人末端执行器的期望位置和姿态，求取机器人能够达到预期

位姿的关节变量。机器人运动学概述51机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5252正运动学：给定机器人各关节变量，计算机器人末端位置姿态，一般正向运动学的解是唯一和容易获得的。机器人运动学概述机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

将机械臂视作一系列刚体(连杆)，它们由关节连接。将机械臂视作诸多1自由度关节(旋转关节和移动关节)的组合体。连杆以0(固定基座)到n(机械臂自由末端)命名。①连杆与关节2.1连杆描述和关节变量53机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例机械臂的构成移动关节转动关节54②关节类型转动关节的转动方向遵循右手定则。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.1连杆描述和关节变量机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例55连杆描述4.末端执行器的位姿可由从基座坐标系到最后坐标系的连续变换得到。

运动学开链2.1连杆描述和关节变量

连杆描述56机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.1连杆描述和关节变量

连杆连接的描述57机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.1连杆描述和关节变量

5858

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.2D-H参数法建立关节坐标系5959

末端坐标机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

末端执行器2.2D-H参数法建立关节坐标系6060

基坐标机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.2D-H参数法建立关节坐标系基座关节1关节26161机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.3机械臂正运动学方程

过渡坐标系h

①②③④（2.1）

过渡坐标系h

①②③④6262

简写：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例（2.2）2.3机械臂正运动学方程6363

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例（2.3）2.3机械臂正运动学方程

64电风扇犯得上表2.1连杆参数64机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.4正运动学方程举例连杆190°0020°030°04-90°0590°0060°00例：下图为6个简化的转动关节组成的6自由度机械臂，其D-H参数如下表所示。求该6自由度机械臂的正运动学方程。65机械臂的末端装置即为连杆6的坐标系，它与连杆坐标系的关系可由表示为：可得连杆变换通式为：65机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.4正运动学方程举例

66

66机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.4正运动学方程举例

据连杆变换通式（2.2）和表2.1所示连杆参数，可求得各连杆变换矩阵如下：

67

各连杆变换矩阵相乘，得机械臂变换的T矩阵：即为关节变量的函数。该矩阵描述了末端连杆坐标{6}相对基坐标系{0}的位姿。67机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.4正运动学方程举例

68

68机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.4正运动学方程举例

69关节空间工作空间机器人的工作空间是指机器人末端执行器上参考点所能到达的所有空间区域。若位置是在空间相互正交的轴上测量，且姿态是按照空间描述章节中任意一种规定测量的时候，称该空间位笛卡儿空间，有时也称为任务空间或者操作空间。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.5机械臂逆运动学逆运动学问题描述给出末端执行器的位姿

已知:机械人末端点期望到达的位置和方向。求:每个机器人关节的值。逆运动学机器人的逆运动学问题，也称机器人运动学方程的逆解，或间接位置求解。

70机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例702.5机械臂逆运动学解是否存在与机器人的工作空间密切相关，工作空间又取决于机器人的结构、杆件参数，或手部（工具）的位姿。如果手部坐标系的的位置和姿态都超出工作区间，没有解。如果手部坐标系的的位置和姿态都在工作区间，至少有一解。也可能有多个解。关节冗余：不存在唯一解.无限多解1个解无解2个解逆运动学解的存在性71机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例712.5机械臂逆运动学多解性问题：解的数量不仅与机器人的关节数有关，还与它的杆件参数、关节活动范围等相关。一般地，连杆的非零参数越多，解的数量就越多，即到达某个位置的路经就越多。多个解的存在使我们面临选择。如何选择？如：关节运动空间限制、路径最短原则和避障原则等。多解的应用：躲避障碍物等。

三连杆机器人，虚线表示第二个解环境中有障碍物时的多解选择72机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例722.5机械臂逆运动学以上一节的6连杆机器人的正运动学方程为例讲解

六自由度机械臂的坐标系

已知：求各转角。73机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例732.5机械臂逆运动学

机械臂逆运动学方程机械臂的正运动学方程为：若末端连杆的位姿已经给定，则求关节变量

的值称为运动反解。用未知的连杆逆变换左乘方程两边，把关节变量分离出来，从而求得的解。74机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例742.5机械臂逆运动学

1.求用逆变换左乘上式两边：

75机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例752.5机械臂逆运动学

（2.6）

两边展开：76机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例762.5机械臂逆运动学

（2.7）77机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例772.5机械臂逆运动学

由展开结果的(3,4)项可得：

（2.7）（2.8）

2.求78机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例782.5机械臂逆运动学

（2.7）由式（2.7）左右两边矩阵的1、4项和2、4项可以得到：

（2.9）

79机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例792.5机械臂逆运动学整理（2.9）并对两边平方，平方值相加可得：

（2.10）

（2.12）（2.11）3.求80机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例802.5机械臂逆运动学

（2.13）

（2.14）各参数定义详见下页。

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例81

2.5机械臂逆运动学定义如下：82机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例822.5机械臂逆运动学

（2.15）（2.16）

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例832.5机械臂逆运动学

（2.17）

（2.18）

4.求84机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例842.5机械臂逆运动学

（2.14）

（2.20）（2.21）

5.求85机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例852.5机械臂逆运动学

（2.23）根据（2.23）左右两边矩阵的(2,1)项和(2,2)项可得：

（2.24）

86欢迎提问！86机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html8787Chapter3

机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html机器人微分运动

雅可比矩阵的计算

雅可比矩阵的计算举例回顾：基本概念机器人学数学基础刚体位姿描述和齐次变换刚体位姿描述和坐标变换齐次变换和齐次变换矩阵的运算欧拉角与等效轴角坐标系机械臂运动学建模D-H法建立关节坐标系正逆运动学方程机器人关节空间与操作空间2机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

3.1机器人微分运动学机器人微分运动学与雅可比矩阵3机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例90903.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(3.1)(3.2)

机器人的微分运动学方程(3.3)雅可比矩阵的定义91雅可比矩阵是机器人末端执行器的速度与关节速度的线性变换，用公式表达如下：913.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(3.4)(3.5)92923.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

旋转矩阵的导数(3.7)(3.8)

93933.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

将式(3.8)代入上式，整理可得

94943.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(3.9)(3.10)(3.11)95953.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

对式(3.12)求导，可得

(3.12)(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)96963.1机器人微分运动学连杆速度

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(3.17)

(3.18)

97973.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

对式(3.19)，运用式(3.11)的性质进行整理可得如下表达式：

(3.19)(3.20)98983.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1）移动关节

(3.22)

(3.21)

(3.23)(3.24)99993.1机器人微分运动学机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2）转动关节

式(3.18)和式(3.20)中对应的线速度和角速度可分别表示为：

对于转动关节，角速度为:(3.25)(3.26)

(3.27)(3.28)1001003.2雅可比矩阵的计算对线速度的作用

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例(3.29)

1011013.2雅可比矩阵的计算机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

可得：

可得：

1021023.2雅可比矩阵的计算对角速度的作用机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例根据式(3.20)可得

(3.30)

综上，可以将式(3.4)写成如下形式：

(3.31)(3.32)1031033.2雅可比矩阵的计算机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(3.33)

上式中，

(3.34)

(3.35)1041043.2雅可比矩阵的计算机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例(3.36)

将上式与式(3.3)整理，可得：

1051053.2雅可比矩阵的计算雅可比矩阵的逆机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(3.37)

同样地，根据矩阵的理论可得

1063.2雅可比矩阵的计算雅可比矩阵小结操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换。操作臂的运动学方程，描述机器人操作臂的位移关系，建立了操作空间与关节空间的映射关系。刚体的齐次变换矩阵，描述刚体之间的空间位姿关系。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例操作臂的雅可比矩阵，建立了从关节速度向操作速度的映射关系。进行机器人操作臂的速度分析。

3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例平面三连杆机械臂如下图所示为平面三连杆机械臂，已知其正运动学方程为

求其雅可比矩阵。3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例平面三连杆机械臂

解：由于平面连杆三个关节均为转动关节，由式(3.32)可得雅可比矩阵为：各连杆的位置向量分别计算如下：

3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

平面三连杆机械臂式(3.31)3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例如下图所示为三自由度的拟人机械臂，已知其正运动学方程为求其雅可比矩阵。

拟人机械臂3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

解：根据拟人机械臂的关节类型，由式(3.32)可得雅可比矩阵为：计算各连杆的位置向量得

拟人机械臂3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例计算各转动关节轴的单位向量得

拟人机械臂式(3.31)3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例如下图所示为三自由度的球形腕机械臂，它由3个相互垂直且相交的关节组成。已知其正运动学方程为：求其雅可比矩阵。

球形腕机械臂3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例解：根据球形腕机械臂的关节类型，由式(3.32)可得雅可比矩阵为：

球形腕机械臂计算各连杆的位置向量得：

3.3雅可比矩阵的计算举例13机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例计算各转动关节轴的单位向量得：

球形腕机械臂式(3.31)116欢迎提问！116机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html117117Chapter

4机器人动力学建模用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程

用拉格朗日法建立机器人动力学方程

机器人动力学建模举例机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html1181184.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程机器人动力学vs机器人运动学机器人动力学致力于寻求机器人的运动与驱动关节运动的①来自外界环境作用力、②关节驱动器施加的力矩之间的关系。机器人运动学致力于寻求机器人关节变量的配置与末端执行器在任务空间中的位姿之间关系。

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1191194.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程机器人动力学应用：机器人动力学进行仿真。设计机器人原型机，在不使用实际机器人的条件下，测试控制策略。控制器设计。设计基于模型的控制器用于控制机器人运动。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例4.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程机器人刚体的加速度机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例120

(4.2)注意，上式只适用在坐标系{A}和{B}相对方位保持一定的前提下。1214.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(4.3)

对其求导，最终得到：(4.4)

(4.5)机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例122机器人刚体的质量分布4.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程对于转动关节机械臂(定轴转动)，在一个刚体绕任意轴作旋转运动的时候，用惯性张量表示机器人刚体的质量分布。如下图所示，在刚体上建立一个坐标系{A}，则坐标系{A}中的惯性张量可表示为一个3×3的矩阵：

(4.6)各元素分别为：(4.7)(4.8)(4.9)(4.10)(4.11)(4.12)1234.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程

欧拉方程：描述了转动物体的力矩与角速度角加速度的关系。牛顿方程：描述了移动物体的力与加速度的关系。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

牛顿-欧拉递推动力学方程(4.13)(4.14)124由关节运动计算关节力矩的牛顿-欧拉迭代算法由两部分构成：第一部分是对每个连杆应用牛顿欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计算连杆的速度和加速度。也就外推部分。第二部分是从连杆n到连杆1向内迭代计算连杆之间的相互作用力和力矩以及关节力矩。也叫内推部分。4.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例125

4.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例(1)对于转动关节，递推求解的具体过程如下：

126

4.1用牛顿-欧拉法建立机器人动力学方程机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例(2)计算关节力矩：

综上(1)(2)即为运用牛顿-欧拉递推的方法通过机器人的运动轨迹（即位姿，速度和加速度）得到机器人的期望驱动力矩的具体过程。其中，角速度，角加速度和线加速度的初始值分别是：

(4.24)1271274.2用拉格朗日法建立机器人动力学方程机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例状态空间方程可以用状态空间方程表示动力学方程。不考虑一切摩擦因素，其具体形式如下：

(4.25)

1281284.2用拉格朗日法建立机器人动力学方程机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例拉格朗日法拉格朗日法是从基于能量的角度来分析机器人的动力学，对于同一个机器人，两者得到的动力学方程都是相同的。

(4.26)整个机械臂的动能是所有的连杆的动能之和，即：

(4.27)

(4.28)1291294.2用拉格朗日法建立机器人动力学方程机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(4.29)(4.30)

则整个机械臂的势能是所有的连杆的势能之和，即：

（3）进一步推导计算得到拉格朗日函数，即：

(4.31)通过拉格朗日函数得到机器人的驱动力矩：

(4.32)

(4.33)1301304.3机器人动力学建模举例TouchX为6自由度的关节机器人，为触摸式人机交互的力反馈设备，是对人的手臂进行模仿相应设计的，如下图所示。机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例TouchX机器人外观图Y矩阵法是建立在状态空间方程的基础上得到的方法，接下来我们将使用Y矩阵法来构建TouchX的动力学模型。(1)将关节空间方程转化为以下方程：

(4.34)

这种方法的思路是现将Y矩阵求解出来，然后分离同类项分别和上面方程左部的三项相对应，最终得到机器人的动力学关节空间方程。1311314.3机器人动力学建模举例

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(4.35)

(4.36)

（3）通过一定的数学公式变换以及推导，动力学关节空间方程可以进一步转换为：

(4.37)1321324.3机器人动力学建模举例（4）下面定义一些矢量：机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

对于转动关节，力矩的第i个元素可以表示为：

(4.42)(4.41)(4.40)(4.39)(4.38)在推导过程中，定义以下两个变量：

(4.43)(4.44)1331334.3机器人动力学建模举例机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(4.45)(4.47)(4.46)

其中，1341344.3机器人动力学建模举例（6）分析Y矩阵，对于Y矩阵可以如下表示：

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

(4.51)

(4.52)

(4.53)

135欢迎提问！135机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html136136Chapter

5

机器人轨迹规划机器人轨迹规划概述

关节空间的轨迹规划

直角坐标空间的轨迹规划机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html5.1机器人轨迹规划概述137机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例运动、路径和轨迹规划运动规划的概念运动规划由路径规划（空间）和轨迹规划（时间）组成。

运动规划（运动插补）：在给定的路径端点之间插入用于控制的中间点序列，从而实现沿给定路线的平稳运动。运动控制主要解决如何控制目标系统准确跟踪指令轨迹的问题，即对于给定的指令轨迹，选择合适的控制算法和参数，产生输出，控制目标以实时、准确地跟踪给定地指令轨迹。5.1机器人轨迹规划概述138机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例路径规划的概念路径：连接起点位置和终点位置的序列点或曲线称为路径。路径规划：构成路径的策略称为路径规划。路径是机器人位姿的序列，不考虑位姿参数随时间变化的因素；路径点是空间中的位置或关节角度。路径规划：一般指位置规划，是指找到一系列要经过的路径点；轨迹规划是赋予路径时间信息，路径规划是轨迹规划的基础。路径规划的目标：是使路径与障碍物的距离尽量远，同时路径的长度尽量短。5.1机器人轨迹规划概述139机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例轨迹规划的概念轨迹：机械臂（操作臂）在运动过程中的位移、速度和加速度。轨迹规划：根据作业任务要求，计算出预期的运动轨迹。轨迹的生成一般是先给定轨迹上的若干个点，将其经运动学反解映射到关节空间,对关节空间中的相应点建立运动方程，然后按这些运动方程对关节进行插值，从而实现作业空间的运动要求，这一过程通常称为轨迹规划。轨迹规划的目的：在机器人关节空间移动时使得机器人的运行时间

尽可能短，或者所消耗的能量尽可能小。5.1机器人轨迹规划概述140机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例轨迹规划的一般性问题通常将机械臂的运动看作是工具坐标系{T}相对于工件坐标系{S}的一系列运动。对于点位作业的机器人（如用于上、下料），需要描述它的起始状态和目标状态，这类运动称为点到点运动。对于曲面加工类作业，不仅要规定操作臂的起始点和终止点，而且要指明两点之间的若干中间点（称路径点）、必须沿特定的路径运动（路径约束），我们称这类运动为连续路径运动或轮廓运动。5.1机器人轨迹规划概述141机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例路径约束和障碍约束的组合将机器人的规划与控制方式划分为如下几类：障碍约束有无路径约束有离线无碰撞路径规则+在线路径跟踪离线路径规划+在线路径跟踪无位置控制+在线障碍探测和避障位置控制表5.1机器人的规划与控制方式在各种约束条件下，期望机械臂的轨迹在整个路径的运动过程都是平稳而光滑的。5.1机器人轨迹规划概述142机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例轨迹规划的两种方法：方法一：关节空间规划方法。对于机器人的轨迹规划，需要运用中间点（即路径点）来描述期望的路径。其中，对每个中间点求出每个关节坐标系的位姿，然后将每个关节作为单独的函数设置期望路径的方法称为关节空间规划法。方法二：笛卡儿空间规划方法。根据每个中间点的位姿直接设置期望路径的方法称为笛卡儿空间规划方法5.1机器人轨迹规划概述143机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例轨迹规划既可以在关节空间也可在直角空间中进行。在关节空间中进行轨迹规划是指将所有关节变量表示为时间的函数，用这些关节函数及其一阶、二阶导数描述机器人预期的运动；在直角空间进行规划是指将末端执行器位姿、速度和加速度表示为时间的函数。而相应的关节位移、速度和加速度由末端执行器的信息导出。通常通过运动学反解得出关节位移，用逆雅克比求出关节速度，用逆雅克比及其导数求解关节加速度。5.1机器人轨迹规划概述144机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例轨迹的生成方式示教-再现运动由人手把手示教机器人，定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生序列动作。关节空间运动直接在关节空间里进行。由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所以用这种方式求最短时间运动很方便。直角空间运动在直角空间里运动。便于描述空间操作，计算量小，适宜简单的作业。

空间曲线运动在描述空间中用明确的函数表达的运动，如圆周运动、螺旋运动等。5.2关节空间的轨迹规划145机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例三次多项式插值

图5.1某一关节不同的轨迹曲线146机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例轨迹函数

(t)需要满足四个约束条件5.2关节空间的轨迹规划两端点位置约束两端点速度约束（保证关节运动速度函数的连续性）由上面两式可确定如下三次多项式：（5.3）（5.2）（5.1）147机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划

（5.5）（5.4）148机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划解得四个系数的表达式：（5.6）注意：应用式（5.6）可以求出从任意初始关节角位置到目标（终止）位置的三次多项式，但该组解只适用于起始关节速度和终止关节速度为零的情况。149机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划

（5.7）150机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划根据式（5.7）画出它们随时间的变化曲线如图5.2所示。由图看出，速度曲线为一抛物线，加速度则为一直线。图5.2机械臂的某个关节的运动轨迹曲线5.2关节空间的轨迹规划151机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例过路径点的三次多项式插值一般而言，希望规划过路径点的轨迹。图5.3机器人作业路径点方法：把所有路径点也看作是“起始点”或“终止点”，通过逆运动学求解每个路径点对应的期望关节角。然后，对每个关节求出能平滑地每个路径点的三次多项式插值函数。不同：这些“起始点”和“终止点”处的关节运动速度不再是零。152机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划如果已知各关节在路径点的期望速度，则可用前面所述方法确定三次多项式，不同的是，每个终止点处的速度约束条件不再为零式（5.2）的约束条件变为

描述该三次多项式的四个方程为

（5.8）（5.9）（5.10）求解153机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划确定路径点上期望关节速度的三种方法

1）根据工具坐标在直角坐标空间中的瞬时线速度、和角速度来确定每个路径点的关节速度，该方法工作量大。

2）在直角坐标空间或关节空间使用适当的启发式方法，由控制系统自动选取路径点的速度。图5.4路径点上速度的自动生成3）采用使路径点处的加速度连续的方法，由控制系统按要求自动选取路径点的速度。5.2关节空间的轨迹规划154机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例高阶多项式插值五次多项式：需要在前述基础上增加2个对加速度的约束条件，多项式需要满足以下6个约束条件（5.11）（5.12）155机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划解为：（5.13）5.2关节空间的轨迹规划156机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例用抛物线过渡的线性插值在关节空间轨迹规划中，对于给定起始点和终止点的情况选择线性函数插值较为简单，如图5.5所示。注意：该方法中虽然各关节的运动是线性的，但末端执行器的运动轨迹一般不是线性的图5.5线性函数插值单纯线性插值将导致在起始点和终止点处关节运动速度不连续，加速度无限大，显然，在两端点会造成刚性冲击。157机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划解决方法：对线性函数插值方案进行修正，在线性插值两端点的邻域内设置一段抛物线形缓冲区段，从而使整个轨迹上的位移和速度都连续。线性函数与两段抛物线函数平滑地衔接在一起形成的轨迹称为带有抛物线过渡域的线性轨迹。5.6带有抛物线过渡域的线性轨迹图5.7轨迹的多解性与对称性158机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划

由式（5.14）至（5.16）得

（5.15）（5.14）（5.16）（5.17）

159机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划

（5.18）（5.19）160机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划

161机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划根据上面计算得出的数值可以绘出如图5.8(a)所示的轨迹曲线。（a）加速度较大时的位移、速度、加速度曲线（b）加速度较小时的位移、速度、加速度曲线图5.8带有抛物线过渡的线性插值162机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划

相应的轨迹曲线如图5.8（b）所示。163机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例5.2关节空间的轨迹规划若某个关节的运动要经过一个路径点，则可采用带抛物线过渡域的线性路径方案。应该注意到：各路径段采用抛物线过渡域线性函数所进行的规划，机器人的运动关节并不能真正到达那些路径点。即使选取的加速度充分大，实际路径也只是十分接近理想路径点。图5.9多段带有抛物线过渡域的线性轨迹5.3直角坐标空间的轨迹规划164机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例关节空间轨迹规划：可以保证运动轨迹经过给定的路径点。存在的问题：在直角坐标空间，路径点之间的轨迹形状通常十分复杂的，它取决于机械臂末端执行器的运动学机构特性；特殊情况下，对机械臂末端的轨迹形状有要求，如要求它在两点之间走一条直线，或者沿着一个圆弧运动以绕过障碍物等。解决方法：在直角坐标空间内规划机械臂的运动轨迹。直角坐标空间的路径点，指的是机械臂末端的工具坐标相对于基坐标的位置和姿态。每一个点由6个量组成，其中3个量描述位置，另外3个量描述姿态。在直角坐标空间内规划的方法主要有：直线插补（线性函数插补）法和圆弧插值(补)法。5.3直角坐标空间的轨迹规划165机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例直线插值空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。已知直线始末两点的坐标值P0(X0，Y0，Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及姿态，其中P0、Pe是相对于基坐标系的位置。这些已知的位置和姿态通常是通过示教方式得到的。设v为要求的沿直线运动的速度；ts为插补时间间隔。图5.10空间直线插补（5.20）直线长度为：5.3直角坐标空间的轨迹规划166机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例

各插补点坐标值为

（5.21）（5.22）5.3直角坐标空间的轨迹规划167机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例圆弧插值1.平面圆弧插补平面圆弧是指圆弧平面与基坐标系的三大平面之一重合，以XOY平面圆弧为例。已知不在一条直线上的三点P1、P2、P3及这三点对应的机器人手端的姿态，如图5.11及图5.12所示。图5.11由已知的三点P1、P2、P3决定的圆弧图5.12圆弧插补5.3直角坐标空间的轨迹规划168机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例设v为沿圆弧运动速度；ts为插补时时间隔。(1)由P1、P2、P3决定的圆弧半径R。(2)总的圆心角

=

1+

2，即（5.23）(3)ts时间内角位移量

θ=tsv/R

5.3直角坐标空间的轨迹规划169机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例(4)总插补步数(取整数)N=

/

θ+1对Pi+1点的坐标，有

（5.24）5.3直角坐标空间的轨迹规划170机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例2.空间圆弧插补空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧。空间圆弧插补可分三步来处理：(1)把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。(2)利用二维平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1,Yi+1)。(3)把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值，如图5.13所示。图5.13基础坐标与空间圆弧平面的关系5.3直角坐标空间的轨迹规划171机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例通过不在同一直线上的三点P1、P2、P3可确定一个圆及三点间的圆弧，其圆心为OR,半径为R，圆弧所在平面与基础坐标系平面的交线分别为AB、BC、CA。建立圆弧平面插补坐标系，即把ORXRYRZR坐标系原点与圆心OR重合，设ORXRYR平面为圆弧所在平面，且保持ZR为外法线方向。求解两坐标系的转换矩阵。令TR表示由圆弧坐标ORXRYRZR

至基础坐标系OX0Y0Z0的转换矩阵。5.3直角坐标空间的轨迹规划172机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为

，XR轴与基础坐标系的夹角为θ，则可完成下述步骤：①将XRYRZR的原点OR放到基础原点O上；②绕ZR轴转θ，使X0与XR平行；③再绕XR轴转

角，使ZO与ZR平行。这三步完成了XRYRZR向X0Y0Z0的转换，故总转换矩阵应为：（5.25）5.3直角坐标空间的轨迹规划173机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例要将基础坐标系的坐标值表示在ORXRYRZR坐标系，则要用到TR的逆矩阵（5.26）174欢迎提问！174机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html175175Chapter

6机器人力和位置控制

机器人控制系统概述

机器人的位置控制

机器人的力控制

机器人的力、位混合控制

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例/12965836.html（1）机器人控制系统是一个多变量控制系统。（2）运动描述复杂，机器人的控制与机构运动学及动力学密切相关。（3）具有较高的重复定位精度，系统刚性好。（4）信息运算量大。（5）需采用加（减）速控制。（6）示教再现控制方式。6.1

机器人控制系统概述176机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例机器人控制系统的特点：6.1

机器人控制系统概述177机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例机器人控制系统的功能：6.1

机器人控制系统概述178机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例机器人的控制方式：179179机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例6.2机器人的位置控制对于机器人的位置控制，可将关节位置给定值与当前值相比较得到的误差作为位置控制器的输入量，经过位置控制器的运算后，将输出作为关节速度控制的给定值。机器人位置控制如图(a)所示。速度控制通常用于对目标跟踪的任务中，机器人的关节速度控制框图如下图(b)所示。(a)(b)180180单关节位置控制①基于直流伺服电动机单关节位置控制机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例6.2机器人的位置控制单关节控制器中，机器人的机械惯性影响常常被作为扰动项考虑，把机器人看作刚体结构，不考虑关节之间的相互影响。由电机、齿轮和负载组成的单关节电动机负载模型如下图所示：

机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1816.2机器人的位置控制

（6.1）（6.2）（6.3）（6.4）（6.5）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1826.2机器人的位置控制

拉氏变换

（6.3）（6.4）（6.5）（6.6）（6.7）（6.8）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例183

6.2机器人的位置控制

（6.9）（6.8）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1846.2机器人的位置控制误差电压：

拉氏变换

（6.10）（6.11）（6.12）（6.13）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1856.2机器人的位置控制(a)单关节位置控制器

（6.16）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1866.2机器人的位置控制(b)具有速度反馈的位置控制器

（6.14）（6.15）机器人控制—运动学.控制器设计.人机交互与应用实例1876.2机器人的