工程控制基础 课件 第三章 控制系统的时域分析

第三章控制系统的时域分析Lecture6稳定性概念劳斯稳定判据相对稳定性2026/8/5Whatwewilllearn?2of50一个控制系统能够正常工作的首要条件是它必须是稳定的。绝对稳定性：指系统是否稳定。相对稳定性：指系统稳定的程度。2026/8/5稳定性概念3of50系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某一状态，并且维持在此状态不再发生变化时，称这种状态为系统的平衡状态。A点为此单摆系统的平衡位置。稳定性概念2026/8/54of50由于扰动作用，使系统的工作状态发生变化，当扰动消失后，如果系统的状态能回复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。2026/8/5稳定性概念5of50线性系统在初始条件作用下，如果其输出量最终返回到原平衡状态，那么系统是稳定的；如果输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定；如果输出量无限制地偏离原平衡状态，则称系统是不稳定的。稳定临界稳定不稳定稳定性概念2026/8/56of50在初始条件为零时，如果线性系统的单位脉冲响应随时间收敛于原平衡工作点，则系统稳定；若发散，则系统不稳定；若趋于某常数（非原平衡工作点）或者出现等幅振荡，则系统临界稳定。稳定临界稳定不稳定稳定性概念2026/8/57of50在初始条件为零时，如果一个系统对任意的有界输入，其输出是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定，即BIBO稳定。稳定性概念2026/8/58of502026/8/5塔科马海峡大桥在风暴中剧烈扭曲，塔科马，华盛顿，1940年稳定性概念9of502026/8/5稳定性概念塔科马海峡大桥在风暴中剧烈扭曲，塔科马，华盛顿，1940年10of50系统的闭环传递函数为：2026/8/5q(s)=0的根称为系统的极点

p(s)=0的根称为系统的零点稳定性概念11of50系统的单位脉冲响应为(whenN=0)：2026/8/5为了得到有界响应，闭环系统的极点必须在s左半平面稳定性概念12of50闭环极点的位置与稳定性的关系2026/8/5Theconceptofstability稳定临界稳定不稳定13of502026/8/5UnstableStable稳定性概念14of50线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：系统特征方程所有根（系统的特征根）都具有负实部，或系统的所有极点都位于左半s开平面（即不包含虚轴的左半平面）上。2026/8/5稳定性概念15of50目的：

避免对特征方程直接求解，根据系统特征方程的系数来判别系统稳定性。系统稳定的必要条件：系统特征多项式的全部系数同号，且无一系数为零。2026/8/5劳斯稳定判据16of50Example12026/8/5系统的特征方程为：判断该系统是否稳定？解:特征方程中s3的系数为负，不满足系统稳定的必要条件，故系统不稳定。劳斯稳定判据17of50Example22026/8/5系统的特征方程为：判断该系统是否稳定？解:特征方程的所有系数同号，且不为零。满足系统稳定的必要条件。到目前为止，我们尚无法确定该系统是否稳定。劳斯稳定判据18of50系统的特征方程为：:首先，构造劳斯表的前两行2026/8/5劳斯稳定判据19of50完成劳斯表的构造2026/8/5?!劳斯稳定判据20of50计算第三行元素2026/8/5劳斯稳定判据21of50计算第四行元素2026/8/5劳斯稳定判据22of50劳斯稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳斯表首列非零且不改变符号。如果劳斯表首列中无零，则首列元素符号变化的次数等于系统特征方程的正实部根的数目。2026/8/5劳斯稳定判据23of50劳斯判据以闭环特征方程判定闭环系统稳定性劳斯表一行中所有各数都乘以或除以一个正数，不影响系统稳定性的判断劳斯表的行数等于方程阶次加1，最后两行每行只有一个元素。当系统的特征方程为代数方程，并且所有系数都是实数时，劳斯判据才可适用。2026/8/5劳斯稳定判据24of50四种情况劳斯表首列的系数没有出现零;劳斯表某行第一列的系数等于零，此行其余项不全为零;劳斯表中某行的所有系数都为零;劳斯表中某行的所有系数都为零，且虚轴上有重根。2026/8/5劳斯稳定判据25of50Example2(cont’d)2026/8/5Case1:劳斯表首列的系数没有出现零26of502026/8/5Example2(cont’d)27of502026/8/5Example2(cont’d)28of502026/8/5Example2(cont’d)变号两次，有两个根在右半s平面。29of50解法：以一无穷小的正数ε

代替0，然后继续排劳斯表。2026/8/5Case2:劳斯表某行第一列的系数等于零，此行其余项不全为零30of50Example3系统的特征方程为：试判断该系统的稳定性。解：该特征方程的所有系数同号且非零，满足系统稳定的必要条件。为判断系统的稳定性，需要列写系统的劳斯表。2026/8/531of50Example3(cont’d)2026/8/5首列元素为零，以无穷小的正数ε替换零，然后继续排劳斯表ε趋于零时，此项小于零ε

趋于零时，此项大于零首列元素符号变化两次，有两个根位于右半平面32of50在劳斯表中有一行系数全为零，说明存在因子(s+σ)(s-σ)

或(s+jω)(s-jω)

解法：利用全零行上面一行的元素组成辅助方程，对辅助方程求导，将所得的方程的系数代替零行的系数，然后继续排劳斯表。2026/8/5Case3:劳斯表中某行的所有系数都为零33of50如果劳斯表中某行第一列元素为零或出现全零行，那么系统必定不稳定（特殊情况临界稳定）解辅助方程可以得到对称的根。正根数可以根据劳斯表首列元素变号次数来定。2026/8/5Case3:劳斯表中某行的所有系数都为零34of50Example4系统的特征多项式为：

判断系统是否有位于虚轴或右半平面内的根？2026/8/535of50Example4(cont’d)2026/8/5劳斯表首列元素不变号，因此没有根位于开右半平面内。解辅助方程，可得位于虚轴上的根36of50Case4:劳斯表中某行的所有元素都为零，且虚轴上有重根2026/8/5auxiliarypolynomial37of502026/8/5auxiliarypolynomialCase4:劳斯表中某行的所有元素都为零，且虚轴上有重根38of502026/8/5劳斯表首列元素不变号，因此没有根位于开右半平面内。解辅助方程，得到位于虚轴的重根。Case4:劳斯表中某行的所有元素都为零，且虚轴上有重根39of502026/8/5Example5:Robotcontrol40of50Example5:Robotcontrol2026/8/5解辅助方程，得位于虚轴上的根41of50Example5:Robotcontrol2026/8/5劳斯表首列元素变号两次，说明有两个根位于开右半平面内。42of50Example6:Weldingcontrol2026/8/5Goal:

确定使系统稳定的K和a

的取值范围Answer:

系统的特征方程为：43of502026/8/5Example6:Weldingcontrol44of50相对稳定性闭环负极点离开虚轴越远，系统的相对稳定性就越好。2026/8/5图中极点r3的稳定性相对而言要比极点r2和r1好。45of50利用劳斯判据判断系统相对稳定性Step1：将虚轴移至s=-σ1处，即令s=z-σ1Step2：在新的坐标系中利用劳斯判据进行判断。如果所有特征根均在新虚轴的左边，则系统就有稳定裕量σ12026/8/5相对稳定性46of50系统的特征方程为：

试确定系统有多少个根位于s=-1的右边？2026/8/5相对稳定性47of50令

s=z-1,代入原特征方程，可得：2026/8/5劳斯表首列元素变号1次，说明有一个根位于新虚轴的右边，即有一个根位于s=-1的右边。相对稳定性48of50稳定性概念劳斯稳定判据相对稳定性2026/8/5Whatwehavelearnttoday49of50THANKS2026/8/550of50第三章控制系统的时域分析Lecture7标准测试信号稳态误差的定义系统类型稳态误差与稳态误差系数扰动引起的稳态误差05August202652of36Whatwewilllearn?标准测试信号TestSignalr(t)R(s)阶跃信号r(t)=R,t>0=0,t<0R(s)=R/s速度信号r(t)=Rt,t>0=0,t<0R(s)=R/s2加速度信号r(t)=Rt2/2,t>0=0,t<0R(s)=R/s305August202653of36StepRampParabolic单位脉冲函数05August202654of3605August202655of36(ConvolutionIntegral)(impulseresponse)单位脉冲函数05August202656of36稳态误差对于一个稳定的控制系统而言，稳态误差是反映其控制精度的一种度量，通常又称为稳态性能研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很大关系。控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，尽量地减小乃至消除稳态误差05August202657of36误差的三种定义：Definition1:E(s)=R(s)-B(s)(adoptedinthislecture)Definition2:E(s)=R(s)/H(s)-C(s)Definition3:E(s)=R(s)-C(s)稳态误差05August202658of36Error:

UsingtheFVT,thesteady-stateerrorisgivenby:稳态误差不稳定的系统无稳态，所以也就无所谓稳态误差，也不能应用终值定理。05August202659of36稳态误差系统类型典型开环传递函数为

v为积分器的个数，称为系统的类型。05August202660of36稳态误差与稳态误差系数

稳态位置误差（阶跃输入）05August202661of3605August202662of36

定义稳态位置误差系数

则在阶跃输入信号作用下，系统的稳态误差为稳态误差与稳态误差系数

稳态位置误差（阶跃输入）05August202663of36ForaType0System稳态误差与稳态误差系数

稳态位置误差（阶跃输入）05August202664of36Whenthetypenumberv≥1稳态误差与稳态误差系数

稳态位置误差（阶跃输入）05August202665of36稳态误差与稳态误差系数

稳态速度误差（斜坡输入）05August202666of36

定义稳态速度误差系数

则在斜坡输入信号作用下，系统的稳态误差为稳态误差与稳态误差系数

稳态速度误差（斜坡输入）05August202667of36ForaType0System稳态误差与稳态误差系数

稳态速度误差（斜坡输入）05August202668of36ForaType1System稳态误差与稳态误差系数

稳态速度误差（斜坡输入）05August202669of36Whenthetypenumberv≥2稳态误差与稳态误差系数

稳态速度误差（斜坡输入）05August202670of36稳态误差与稳态误差系数

稳态加速度误差（加速度输入）05August202671of36

定义稳态加速度误差系数

则在加速度输入信号作用下，系统的稳态误差为稳态误差与稳态误差系数

稳态加速度误差（加速度输入）05August202672of36Whenv=0orv=1稳态误差与稳态误差系数

稳态加速度误差（加速度输入）05August202673of36ForaType2System稳态误差与稳态误差系数

稳态加速度误差（加速度输入）05August202674of36Whenthetypenumberv≥3稳态误差与稳态误差系数

稳态加速度误差（加速度输入）05August202675of36Summaryofsteady-stateerrorsSystemtypeStepinputR(s)=R/sRampinputR(s)=R/s2ParabolainputR(s)=R/s3Type0Type1Type2稳态误差系数和稳态误差只有对稳定系统才有意义。任何系统的有限稳态误差项与其开环增益K有关，K越大，稳态误差就越小。系统的稳态误差取决于系统的结构参数、输入信号的性质和作用点。减小或消除稳态误差的方法有：增加开环放大系数K，提高系统的型号数。05August202676of36Payattentionto……计算线性系统对多类信号输入的稳态误差，可利用叠加原理。只有当输入信号是阶跃、斜坡、加速度函数，或是这些函数的线性组合时,稳态误差系数才有意义。对任意其他输入函数的稳态误差的求取，只要系统稳定，就可以利用终值定理直接求取。05August202677of36Payattentionto……05August202678of36扰动引起的稳态误差扰动N(s)引起的误差为：05August202679of36当扰动为单位阶跃信号时，扰动引起的稳态误差为：当时扰动引起的稳态误差为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益05August202680of36ObservationsExample1

移动机器人转向控制05August202681of36其中

假设：系统是稳定的。当输入为阶跃信号时若K2=0,则系统为0型系统，系统的稳态误差为：若K2>0,则系统为1型系统，系统的稳态误差为005August202682of36Example1

移动机器人转向控制当输入为速度信号时若K2=0,则系统为0型系统，稳态误差为无穷大若K2>0,则系统为1型系统，稳态误差为：05August202683of36Example1

移动机器人转向控制某温度控制系统，当输入为阶跃信号时，稳态误差为0；当输入为以40oC/sec的速率上升的斜坡输入信号时，稳态误差为0.5oC系统的类型数是多少？系统的稳态速度误差系数？05August202684of36Example2温度控制系统Thesystemistype1标准测试信号稳态误差的定义系统类型稳态误差与稳态误差系数扰动引起的稳态误差05August202685of36WhatwehavelearnttodayTHANKS05August202686of36第三章控制系统的时域分析Lecture8控制系统的动态响应指标一阶系统的动态响应二阶系统的动态响应高阶系统的动态响应Examples05August2026Whatwewilllearn？88of4305August2026控制系统的动态响应指标系统的动态特性是以零初始条件下系统对单位阶跃响应的暂态特性来衡量峰值时间tp—响应曲线达到超调的第一个峰值的时间。延迟时间td—阶跃响应达到终值的50％所需要的时间。89of4305August2026控制系统的动态响应指标系统的动态特性是以零初始条件下系统对单位阶跃响应的暂态特性来衡量上升时间tr对于有振荡的系统定义为从0上升到终值的100％所需要的时间。90of4305August2026控制系统的动态响应指标系统的动态特性是以零初始条件下系统对单位阶跃响应的暂态特性来衡量上升时间tr对于无振荡的系统定义为从终值的10％上升到90％所经历的时间。91of4305August2026控制系统的动态响应指标系统的动态特性是以零初始条件下系统对单位阶跃响应的暂态特性来衡量调整时间ts—响应曲线到达并永远保持与终值之差在预定的误差限δ内所需要的时间。92of4305August2026控制系统的动态响应指标系统的动态特性是以零初始条件下系统对单位阶跃响应的暂态特性来衡量最大超调量Mp—暂态期间输出超出终值c(∞)的最大差值的百分数。93of43一阶系统的动态响应一阶系统的传递函数为：其中T为时间常数，K为稳态增益。系统的单位阶跃响应为：05August202694of43一阶系统的动态响应05August202695of4305August2026调整时间ts一阶系统的动态响应96of4305August2026延迟时间和上升时间一阶系统的动态响应97of43二阶系统的动态响应典型二阶系统的闭环传递函数为：05August2026系统的特征根为：98of4305August2026Representationof,d,and

nins-domainInrectangularcoordinates,thepolesareat

(-σ,±ωd)

n

dσ

=cos-1

99of43二阶系统的动态响应单位阶跃响应（）其中05August2026100of43不同阻尼比下的单位阶跃响应05August2026ζ=0:

无阻尼，等幅振荡ζ=1:

临界阻尼，无振荡ζ>1:

过阻尼，无振荡0<ζ<1:

欠阻尼，衰减振荡101of43单位脉冲响应05August2026二阶系统的动态响应102of4305August2026二阶系统的动态响应103of43二阶系统的动态响应指标(0<ζ<1)05August2026104of43最大超调量05August2026PeaktimeOvershoot105of4305August2026最大超调量、峰值时间与阻尼比的关系106of4305August2026最大超调量与阻尼比的关系Table:PercentagePeakOvershootVersusDampingRatioforaSecondOrderSystem

DampingRatio0.90.80.70.60.50.40.3

Percentovershoot0.21.54.69.516.325.437.2

107of43上升时间、调整时间05August2026RisetimeSettlingtime108of4305August2026上升时间与阻尼比109of43Swiftnessvsfrequency05August2026结论:阻尼比不变时，

n越大，响应速度越快。110of4305August2026Swiftnessvsdampingratio结论:

n不变时，阻尼比

越小，响应速度越快。111of43主导极点——高阶系统如果距离虚轴最近的极点比其他极点距离虚轴的距离小五倍以上且附近无零点，则称此极点为主导极点。系统的动态响应主要由主导极点决定，高阶系统的主导极点通常为一对共轭复极点。05August2026高阶系统的动态响应112of43主导极点考虑一个三阶闭环系统：

05August2026113of43主导极点若阻尼比ζ=0.45，

取不同值时的仿真结果如下表所示：γ1/γPercentovershootSettlingtime

(δ=2%)2.250.44409.631.50.6663.96.30.91.11112.38.810.42.5018.68.670.0520.020.58.370∞20.58.2405August2026114of43主导极点05August2026可见，当共轭复极点距离虚轴的距离小于第三个实极点距离虚轴距离的1/5时，三阶系统可以用二阶系统来近似。115of43一个闭环极点和一个闭环零点在同一位置或靠得很近（它们之间的距离是它们到主导极点的距离的1/10或更小），则称为偶极子。偶极子对系统动态响应的影响极小，因为极点与零点的作用近似抵消。05August2026偶极子116of4305August2026Example3.1Parameterselection目标:试确定参数K和p，使得系统满足如下要求：(1)最大超调量<5%(2)误差带为2%时的调整时间<4s117of4305August2026解:取则满足上述要求的闭环极点的区域如图所示。Example3.1Parameterselection118of43选取闭环极点为：则相应的ts=4s,最大超调量为4.3%。

此时闭环传递函数为：

比较系数可得：K=2

、

p=205August2026Example3.1Parameterselection119of4305August2026Example3.2哈勃望远镜指向控制它的指向系统可以对准400英里外的一角硬币。120of43望远镜指向系统模型05August2026目标:

确定K1

和

K

的值，使得：阶跃响应的最大超调量

10%斜坡信号作用下的稳态误差极小化阶跃干扰作用下的稳态误差极小化Example3.2哈勃望远镜指向控制121of43方块图可以简化为：

则有05August2026Example3.2哈勃望远镜指向控制122of43确定K和K1

，使得阶跃响应的最大超调量

10%05August2026选取

ζ=0.6Example3.2哈勃望远镜指向控制123of43极小化斜坡信号r(t)=Bt作用下的稳态误差05August2026Example3.2哈勃望远镜指向控制124of43极小化阶跃干扰作用下的稳态误差05August2026Example3.2哈勃望远镜指向控制125of43Insummary05August2026minimizeincreasereduceincreaseNote:

实际上，我们必须限制K，使系统的操作保持线性。Example3.2哈勃望远镜指向控制126of43取K=100,则K1=12、

K/K1=8.33.05August2026Example3.2哈勃望远镜指向控制127of43控制系统的动态响应指标一阶系统的动态响应二阶系统的动态响应高阶系统的动态响应Examples05August2026Whatwehavelearnttoday128of43THANKS05August2026129of43第三章控制系统的时域分析Lecture905August2026Whatwewilllearn?基于Matlab和Simulink的系统性能分析设计实例131of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析132of3005August2026目标:阶跃响应脉冲响应基于Matlab和Simulink的系统性能分析133of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析134of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析135of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析136of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析137of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析138of3005August2026给定:

K=1,

=0.1,目标:

利用lsim函数求取闭环系统对斜坡输入的响应基于Matlab和Simulink的系统性能分析139of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析140of3005August2026基于Matlab和Simulink的系统性能分析141of3005August2026基于Simulink的飞机侧倾控制控制系统应使飞机倾斜角保持在零度附近，并在存在不可预测的外部干扰时保持机翼水平方向。142of