小学五年级数学《构建模型 感悟关系-实际问题与方程（二）例8》教学设计

小学五年级数学《构建模型感悟关系——实际问题与方程（二）例8》教学设计一、教学内容分析【基础】本节课是人教版小学数学五年级上册第五单元“简易方程”中“实际问题与方程”的第二课时，核心内容是教学例8。在此之前，学生已经学习了用字母表示数、方程的意义、等式的基本性质以及解简易方程，并初步掌握了列方程解决形如“ax±b=c”的简单实际问题。例8在此基础上，将数量关系提升为“两积之和”或“两积之和的变式”，即已知购买两种单价不同的物品且数量相同，根据总价求其中一种物品的单价。这类问题在生活中有广泛的原型，如购物、混合物品计算等，其数学本质是乘法分配律在实际情境中的应用。通过本节课的学习，学生将进一步体验方程在解决复杂数量关系问题时的顺向思维优势，深化对数学模型思想的理解，为后续学习更复杂的方程以及初中代数知识奠定坚实的基础。【重要】例8的设计意图在于呈现同一问题的不同等量关系视角。“苹果的总价+梨的总价=总价钱”是学生基于已有经验最容易想到的等量关系，由此可以列出形如“2x+3.8×2=16.4”的方程。而“两种水果的单价总和×2=总价钱”则需要学生对数量关系进行更抽象的概括，由此可以列出形如“（3.8+x）×2=16.4”的方程。这两种方程形式虽然不同，但本质相通，前者是后者的展开形式，体现了乘法分配律。教学的核心不在于单纯地求解未知数，而在于引导学生经历“阅读理解—分析数量关系—找出等量关系—设未知数列方程—解方程—检验反思”的完整建模过程，特别是要突出如何从不同角度寻找等量关系，培养学生的发散性思维和优化意识。【难点与高频考点】本节课的教学难点在于：第一，引导学生从具体情境中抽象出核心的等量关系，特别是理解和构建“单价和×数量=总价”这一具有高度概括性的模型；第二，理解并掌握解形如“（a+x）×b=c”的方程时，把小括号内的式子看作一个整体的“整体思想”。在各类评测中，本课知识点属于高频考点，不仅考查学生列方程解决实际问题的能力，还常常与乘法分配律的运用、小数混合运算等知识结合，考查学生综合运用知识的能力。二、学情分析五年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经具备了一定的阅读理解能力和生活经验，能够理解“单价、数量、总价”的基本关系。在知识储备上，学生已经能够熟练解形如“ax±b=c”的方程，并能用方程解决一些简单的实际问题，这为本节课的学习提供了必要的知识基础和方法支撑。【重要】然而，学生在解决本节课的问题时，可能存在以下思维障碍：一是思维定势的影响，部分学生可能更倾向于沿用算术解法（如先求梨的总价，再从总价里减去，最后除以苹果的数量），而对方程解法尤其是对寻找等量关系感到陌生和困难；二是对复杂数量关系的抽象能力不足，难以从“各2kg”这一关键信息中提炼出“单价和×数量=总价”这一等量关系；三是在解方程时，对于含有小括号的方程，部分学生不理解为什么要将括号内的式子看作一个整体，或者容易在去括号的过程中出现计算错误。因此，教学中需要搭建有效的“脚手架”，引导学生逐步抽象，并在对比辨析中理解不同解法的内在联系，从而内化数学模型。三、核心素养目标1.【基础】会用方程解决诸如“两积之和”等具有稍复杂数量关系的实际问题，进一步掌握列方程解决问题的基本步骤，能熟练解形如“ax+ab=c”和“a（x+b）=c”的方程。2.【核心：模型意识与应用意识】经历从现实生活情境中抽象出数学问题、分析数量关系、建立方程模型并求解的全过程。能够从不同角度（如“部分和”与“倍数关系”）寻找等量关系，并据此列出不同的方程，初步体会数学模型在描述和解决现实问题中的价值，增强应用意识。3.【核心：推理意识与化归思想】在解方程的过程中，通过将“2x”或“（3.8+x）”看作一个整体，将新知识转化为已学的旧知识，感悟化归思想。通过对两种不同列方程方法的对比分析，沟通其内在联系（乘法分配律），发展逻辑推理能力。4.【重要：反思与检验意识】养成自觉检验的好习惯，能够根据实际问题的意义或方程的代入法检验结果的合理性，培养严谨求实的科学态度。四、教学重难点1.【教学重点】分析并理解题意，找出实际问题中的等量关系，能根据等量关系列出形如“ax+ab=c”或“a（x±b）=c”的方程，并正确求解。2.【教学难点】从不同角度分析数量关系，特别是构建“单价和×数量=总价”的等量关系，并理解两种方程解法之间的内在联系。五、教学准备多媒体课件（包含例8情境图、解题步骤展示、对比分析表格等）、学习任务单。六、教学过程设计（一）创设情境，激活经验（约5分钟）1.生活引入：同学们，水果是我们生活中必不可少的营养来源。周末，小明和妈妈一起去超市采购水果（课件出示主题图：妈妈在苹果和梨的货架前）。从图中，你能获得哪些数学信息？引导学生说出：妈妈买了苹果和梨各2千克，共花了16.4元，已知梨每千克3.8元。2.问题驱动：根据这些信息，你能提出什么数学问题？学生自然提出：“苹果每千克多少钱？”师：这个问题怎样解决呢？今天我们就继续学习用方程解决这类实际问题。板书课题，但优化板书为：《构建模型感悟关系——实际问题与方程（二）例8》。（二）自主探究，构建模型（约20分钟）1.【基础】用算术解法尝试，唤醒旧知。教师提问：如果不用方程，你能用我们学过的算术方法解决吗？请同学们在练习本上独立列式计算。预设学生可能出现的两种算术解法：方法A：先算出梨的总价，再从总价中减去，最后除以苹果的数量。（16.4－3.8×2）÷2=（16.4－7.6）÷2=8.8÷2=4.4（元）方法B：先假设两种水果价格相同，算出总价差，再调整。此种方法学生想到的较少，若有则给予鼓励，若没有则不必深究。教师引导：大家用算术方法解决得很棒！算术方法是从已知条件出发，一步一步推出未知问题。今天，我们要学习另一种非常重要的数学方法——列方程解决问题。它的特点是，将未知数也当作已知数，参与到列式中，直接建立已知与未知之间的等量关系。2.【核心】寻找等量关系，尝试列方程。教师启发：方程的灵魂在于“等量关系”。请大家再次默读题目，想一想，题目中隐藏着怎样的相等关系？你能用自己的话说一说吗？请在学习任务单上写一写你找到的等量关系式。学生独立思考后，在小组内交流。教师巡视，收集典型的等量关系。全班汇报交流，教师根据学生回答，将核心等量关系板书在黑板上：（1）苹果的总价+梨的总价=总价钱（2）（苹果的单价+梨的单价）×2=总价钱（3）总价钱－苹果的总价=梨的总价（逆向思考）（4）总价钱－梨的总价=苹果的总价（逆向思考）【重要】教师引导学生对比：请大家仔细观察这些等量关系，你觉得哪些关系更直接、更容易想到？为什么？引导学生认识到：等量关系（1）和（2）是将总价分解为两个部分，思维方向与问题叙述一致，是“顺向思考”，比较容易理解；而（3）和（4）虽然是正确的，但需要更多的逆向思考，列出的方程在解的过程中可能稍显繁琐。在列方程时，我们通常优先选择更简洁、更顺向的等量关系。3.【难点突破】根据等量关系列方程并求解。教师：好，那我们就选择（1）和（2）这两个最核心的等量关系来尝试列方程。任务驱动：请根据等量关系（1）“苹果的总价+梨的总价=总价钱”，列出方程。设谁为未知数？为什么？学生回答：设苹果每千克x元。苹果的总价就是2x元，梨的总价是3.8×2元。板书方程①：2x+3.8×2=16.4教师追问：这个方程我们会解吗？它与我们之前学习的方程有什么不同？引导学生发现，方程里有两步计算，但我们可以“能先算的部分先算”。请一名学生板演解方程过程，其余学生在练习本上完成。解：2x+7.6=16.42x+7.6－7.6=16.4－7.62x=8.82x÷2=8.8÷2x=4.4教师强调：在解这类方程时，我们要先把“2x”看作一个整体，先求出2x的值，再求x。教师：接下来，我们看看根据等量关系（2）“（苹果单价+梨单价）×2=总价钱”列出的方程会是什么样？学生尝试列出方程②：（3.8+x）×2=16.4教师提问：这个方程的形式看起来很特别，有一个小括号。我们应该怎样解这个方程呢？请同学们在小组内讨论一下，并尝试解一解。小组讨论并尝试解方程。教师巡视，收集不同的解法。展示交流学生的解法：解法A（整体思想）：把（3.8+x）看作一个整体。（3.8+x）×2÷2=16.4÷23.8+x=8.23.8+x－3.8=8.2－3.8x=4.4解法B（乘法分配律展开）：利用乘法分配律，去掉括号。（3.8+x）×2=16.43.8×2+2x=16.47.6+2x=16.42x=8.8x=4.4【高频考点】教师引导学生对比这两种解法：观察一下，解法B展开后得到的“7.6+2x=16.4”，其实就是我们刚才列出的哪个方程？（学生发现就是方程①的变形）。它们之间有什么联系？引导学生深刻理解：这是乘法分配律在解方程中的应用，两种解法殊途同归，方程①是方程②的展开形式，方程②是方程①的概括形式。而解法A则体现了“整体思想”，把括号里的式子当作一个未知的整体先求出来，这在后续学习更复杂的方程时会经常用到。4.【基础】检验反思，规范作答。教师：我们求出的x=4.4是否正确呢？如何检验？引导学生根据题目实际意义或方程意义进行检验。方法一（代入原方程检验）：将x=4.4代入方程①或方程②，看左右两边是否相等。方法二（逻辑意义检验）：苹果每千克4.4元，2千克就是8.8元；梨每千克3.8元，2千克就是7.6元；总价8.8+7.6=16.4元，符合题意。师生共同完成答语：答：苹果每千克4.4元。（三）对比优化，提炼方法（约5分钟）1.回顾梳理：引导学生回顾刚才解决问题的全过程。我们经历了哪几个步骤？师生共同小结列方程解决实际问题的一般步骤：（1）【基础】审题：认真读题，理解题意，找出已知信息和所求问题。（2）【核心】找等量关系：分析数量之间的关系，这是最关键的一步。（3）设未知数：通常设问题中所求的量为x。（4）列方程：根据找出的等量关系，列出方程。（5）解方程：根据等式的性质，正确求出方程的解。（6）检验并作答：检验解的合理性，然后写出答语。2.【重要】对比辨析：对比我们列出的两个方程，它们各有什么特点？你更喜欢哪一种？为什么？学生讨论后明确：方程①（2x+3.8×2=16.4）思路直接，计算时遵循“先乘后加”的运算顺序，容易理解。方程②（（3.8+x）×2=16.4）形式更简洁，高度概括了“单价和×数量=总价”这一模型，解方程时体现了“整体思想”。两种方法都是正确的，我们可以根据自己对数量关系的理解程度和解题习惯灵活选择。（四）分层练习，内化模型（约10分钟）1.【基础】模仿练习（P76“做一做”）题目：爸爸买来桌子和椅子各4把，共花了960元。每把桌子120元，每把椅子多少元？要求：先找出等量关系，再列方程解答。学生独立完成，指名板演，集体订正。重点交流找到的等量关系和列出的方程。（预设等量关系：桌子的总价+椅子的总价=总价钱；或（桌子的单价+椅子的单价）×4=总价钱）2.【重要】变式练习（练习十七第2题改编）题目：小明买了3千克苹果和5千克梨，共花了32.5元。已知苹果每千克5元，梨每千克多少钱？教师引导：这道题与例8有什么不同？（数量不同）虽然数量不同，但数量关系的本质是一样的吗？你能找到等量关系并列方程吗？学生独立思考并解答。预设等量关系：苹果的总价+梨的总价=总价钱。即3×5+5x=32.5。此题目的目的是让学生明白，“两积之和”模型中的两个“积”可以是不同的数量，从而加深对模型的理解，避免思维定势。3.【拓展】开放练习（练习十七第3题）课件出示题目情境：四张门票共花了172元（两个成人和两个儿童）。成人票每张46元，儿童票每张多少钱？鼓励学生从不同角度寻找等量关系，列出不同的方程，并选择自己喜欢的一个解出来。预设方程：（1）46×2+2x=172（成人总价+儿童总价=总价）（2）（46+x）×2=172（单价和×数量=总价）此环节鼓励学生展示多种解法，再次印证和巩固本节课的核心模型。（五）课堂总结，拓展延伸（约5分钟）1.课堂小结：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。（1）知识上：学会了用方程解决“两积之和”类型的实际问题。（2）方法上：进一步巩固了列方程解决问题的步骤，特别是找等量关系的方法；学会了从不同角度找等量关系，并据此列出不同形式的方程。（3）思想上：体会了“整体思想”和“化归思想”在解方程中的应用，以及“建模思想”在解决问题中的价值。2.板书回顾：教师结合板书，再次梳理本节课的知识脉络，强化“等量关系”的核心地位。3.课后思考：生活中还有哪些问题可以用今天学习的“两积之和”的方程模型来解决？请你尝试编一道应用题，并列出方程。七、板书设计构建模型感悟关系——实际问题与方程（二）例8：妈妈买苹果和梨各2kg，共花16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱？等量关系：（1）苹果总价+梨总价=总价（2）（苹果单价+梨单价）×2=总价列方程解答：方法一方法二解：设苹果每千克x元。解：设苹果每千克x元。2x+3.8×2=16.4（3.8+x）×2=16.42x+7.6=16.4（3.8+x）×2÷2=16.4÷22x+7.67.6=16.47.63.8+x=8.22x=8.83.8+x3.8=8.23.8x=4.4x=4.4检验：4.4×2+3.8×2=8.8+7.6=16.4，正确。答：苹果每千克4.4元。核心步骤：审题→找等量关系→设未知数