初中七年级数学“立体图形的展开与折叠”跨学科探究导学案

初中七年级数学“立体图形的展开与折叠”跨学科探究导学案

  一、课标要求与核心素养解析

  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域。课标明确要求：通过实物模型，了解直棱柱、圆锥的侧面展开图；能根据展开图判断和制作立体模型；在观察、操作、想象、交流等活动中，发展空间观念。本课是学生从二维平面图形认知迈向三维立体图形理解的关键桥梁，其核心素养落点在于：空间观念（对图形的位置、运动、变换的直观感知与想象）、几何直观（利用图形描述与分析问题）、创新意识（在制作、设计等活动中进行思考与尝试）以及跨学科应用能力（与科学、技术、艺术等领域的关联）。

  二、学习目标

  依据课标与核心素养要求，设定以下层级化学习目标：

  1.知识与技能目标：

  （1）能识别常见的棱柱（如正方体、长方体、三棱柱、六棱柱）、圆柱、圆锥等几何体的实物与模型。

  （2）理解“展开图”与“立体图形”之间的互逆关系。能通过动手操作，将一个立体图形剪开，得到其表面展开图；反之，能根据给出的平面图形，判断其能否折叠成指定的立体图形，并完成折叠。

  （3）掌握正方体表面展开图的至少十一种基本类型，并能归纳其特征（如“一四一”型、“二三一”型、“三三”型、“二二二”型等）。

  （4）能判断一个给定的平面图形是否为某个立体图形的正确展开图。

  2.过程与方法目标：

  （1）经历从立体到平面、再从平面到立体的实践操作与观察猜想过程，积累数学活动经验。

  （2）学会运用观察、实验、比较、分类、归纳等逻辑方法探索图形变换的规律。

  （3）初步尝试运用动态几何软件（如GeoGebra）或编程思维（如Scratch图形化编程）模拟展开与折叠过程，培养数字化探究能力。

  3.情感、态度与价值观目标：

  （1）在动手实践与合作交流中，激发对几何图形研究的兴趣，感受数学的对称美、简洁美与统一美。

  （2）体会数学与生活（如产品包装、建筑结构）、科技（如三维建模、机器人折纸）、艺术（如立体书、折纸艺术）的紧密联系，认识数学的应用价值。

  （3）培养严谨求实、勇于探索的科学态度和互助合作的团队精神。

  三、学习重点与难点

  学习重点：正方体表面展开图的探索与归纳；展开图与立体图形之间的相互转化。

  学习难点：空间想象能力的建立与运用，即不依赖实物，仅凭平面图形想象其折叠后的立体形状，以及判断复杂平面图形折叠后的可能性；理解展开图的不唯一性及其中蕴含的规律。

  四、学习资源与环境准备

  1.实物与工具：每小组配备多种立体模型（正方体、长方体、三棱柱、圆柱、圆锥等纸质或塑料模型）、可展开的纸质立方体（棱长不小于5cm，各边做好标记）、剪刀、胶带、直尺、彩笔。准备一些商品包装盒（如牙膏盒、巧克力盒、茶叶罐）作为生活实例引入。

  2.数字资源：

  （1）交互式课件：使用PPT或Keynote制作，嵌入可拖拽、旋转的3D立体图形及展开动画。

  （2）动态几何软件：预先制作或引导学生使用GeoGebra文件，动态演示正方体、圆柱、圆锥的展开与折叠过程，并可参数化调整。

  （3）微视频：录制2-3分钟短视频，展示从古至今建筑（如金字塔、现代体育馆）、艺术品（如埃舍尔的版画）、工业设计（如展开图在钣金加工中的应用）中蕴含的展开与折叠思想。

  （4）在线协作平台：如班级学习社区或共享文档，用于发布任务、上传作品、进行互评。

  3.学习环境：配备多媒体投影的智慧教室，桌椅便于小组合作排列。

  五、学习过程设计（总计两课时，90分钟）

  第一课时：从立体到平面——探索展开图的奥秘（45分钟）

  （一）情境驱动，问题引入（预计用时：5分钟）

  学生活动一：观察与联想

    教师出示一个精美的六角形茶叶铁罐、一个长方体牛奶盒和一个圆柱形薯片筒。提出问题链：

    1.这些熟悉的包装盒，如果我们要回收利用纸板，如何将它们“拆开”成一个平坦的纸板？

    2.这个“拆开”的过程在数学上叫什么？（引出“展开”概念）

    3.展开后得到的平面图形叫什么？（引出“展开图”概念）

    4.反过来，工厂生产时，是如何将一张平面的纸板做成这些立体盒子的？（引出“折叠”概念，建立互逆关系）

    学生联系生活经验，直观感知“展开”与“折叠”。教师揭示本课主题，并明确本课时任务：化身“包装设计师”和“考古复原家”，探究立体图形如何展开为平面。

  （二）操作探究，归纳发现（预计用时：25分钟）

  学生活动二：动手“拆解”立体图形

    1.任务一（基础探究）：以小组为单位，利用可剪开的纸质正方体模型，尝试沿着其棱剪开（保证每个面至少有一条边与其他面相连），将其表面展开成一个平面图形。要求：尽可能多地探索不同的展开方式，并将最终得到的展开图轮廓用彩笔描画在报告单上。小组内比较，看看一共找到了多少种不同的展开图。

    2.教师指导与巡视：提醒学生安全使用剪刀，鼓励不同剪法的尝试。关注学生是随机尝试还是有策略地剪开（例如，固定一个面作为基准，思考其他面的展开路径）。收集典型展开图（包括正确的和有争议的）。

    3.任务二（交流归纳）：各小组派代表上台，利用实物投影展示本组找到的展开图，并简述剪开路径。教师引导全班进行观察、比较、分类。

    关键追问：

    （1）这些展开图在结构上有什么共同点？（都由六个正方形组成，且正方形之间通过边相连）

    （2）它们可以分成几大类？分类的标准是什么？（引导学生按中间一行正方形的个数分类，引出经典的“一四一”型（中间一行4个，上下各1个）、“二三一”型（中间一行3个，上方2个，下方1个，或其旋转、镜像变体）、“三三”型（中间一行3个，上方3个）、“二二二”型（阶梯状）等分类方法。）

    （3）是否存在不能折叠回正方体的“展开图”？为什么？（展示“田字形”、“凹字形”等反例，引导学生理解“对面不相邻”等原则）

    4.任务三（数字化验证与拓展）：教师利用GeoGebra动态演示正方体的各种展开过程，以及将平面图形折叠成立方体的过程，验证学生的发现。并提问：正方体的展开图一共有多少种？（11种，但不要求学生死记，重在理解分类思想）。鼓励学有余力的学生课后尝试用编程（如Scratch画笔功能）绘制所有11种展开图。

  学生活动三：探究其他几何体的展开图

    1.迁移探究：分发三棱柱、圆柱、圆锥的纸质模型。小组合作，尝试画出或描述它们表面展开图的大致形状。

    2.猜想与验证：

    （1）对于三棱柱：其展开图由哪些平面图形组成？（两个全等的三角形和三个长方形）

    （2）对于圆柱：其侧面展开后是什么图形？（长方形或正方形，其一边长等于底面圆周长，另一边长等于圆柱的高）教师可用一条贴在圆柱侧面的纸条演示撕开过程。

    （3）对于圆锥：其侧面展开后是什么图形？（扇形，其弧长等于底面圆周长，半径等于圆锥的母线长）此处可借助GeoGebra动画进行直观演示，避免学生将侧面展开误解为三角形。

    3.总结归纳：引导学生填写对比表格（在学案上），归纳棱柱、圆柱、圆锥展开图的特征：棱柱展开图由两个底面多边形和若干侧面长方形组成；圆柱展开图由两个圆形底面和一个侧面长方形组成；圆锥展开图由一个圆形底面和一个侧面扇形组成。

  （三）初步应用，巩固理解（预计用时：10分钟）

  学生活动四：火眼金睛——判断与设计

    1.判断题：出示一组平面图形，判断哪些是正方体的展开图，哪些不是，并说明理由。强调判断方法：想象折叠过程，关注面的相对位置（相对的面在展开图中必相隔一行或一列，且不会相邻）。

    2.设计挑战：给定一个“十”字形平面图形（由六个正方形组成），它是否是正方体的展开图？（是，属于“一四一”型的一种）如果要在其中一个正方形上做标记，折叠后标记会在什么位置？此活动旨在训练学生的空间想象力，从“二维标记”推断“三维位置”。

    3.生活链接：展示一个长方体药盒的展开图图纸（标注尺寸），请学生指出图纸中哪个部分对应药盒的正面、背面、侧面、顶面和底面。理解工业设计中展开图的应用。

  （四）课堂小结与布置任务（预计用时：5分钟）

    1.学生自主总结：本节课我学会了什么？（立体图形可以展开为平面图形，正方体展开图有多种类型，不同几何体展开图特征不同）我是通过什么方法学会的？（动手操作、观察比较、分类归纳）

    2.教师升华：强调“转化”思想——将复杂的立体问题转化为熟悉的平面问题来研究，是数学中非常重要的思想方法。

    3.课后任务（预习与准备）：

    （1）【必做】用硬卡纸制作一个棱长为5cm的正方体，并尝试用不同的颜色标注出它的三组相对面。

    （2）【选做】利用网络或图书馆资源，了解“折纸数学”或“包装工程学”中关于展开图的有趣知识，准备下节课分享。

    （3）【思考】一个无盖的正方体盒子，它的展开图又是怎样的？与有盖的有什么不同？

  第二课时：从平面到立体——应用折叠解决实际问题（45分钟）

  （一）复习导入，温故知新（预计用时：5分钟）

    通过快速问答或迷你游戏（如“展开图连连看”）复习上节课核心知识：正方体展开图的四大类、圆柱侧面展开图是长方形、圆锥侧面展开图是扇形等。聚焦遗留思考题：无盖正方体盒子的展开图。

  （二）进阶探究，深化想象（预计用时：20分钟）

  学生活动五：从“图”到“体”的精准折叠

    1.任务一：还原立体图形。每个小组分发三张不同的平面图纸，分别标注为A、B、C。A图纸是某个正方体展开图，其中两个面标有图案（如三角形、圆形）；B图纸是一个三棱柱的展开图，标有尺寸；C图纸是一个复杂组合图形（疑似多个立方体的展开图，或含有干扰项的图形）。任务要求：

    （1）对于A图：先判断它是否能折成正方体。若能，通过折叠（可先用模型辅助），回答：折叠后，三角形和圆形图案所在的面是相对面还是相邻面？

    （2）对于B图：根据尺寸，用剪刀剪下，折叠并粘合成一个三棱柱模型。

    （3）对于C图：小组讨论，判断其是否能折叠成一个封闭的立体图形（不一定是已学常规图形），阐述理由。

    2.教师引导与思维显性化：在学生操作过程中，教师引导他们总结从平面图推断立体形状的策略：

    （1）找基准面：假设其中一个面为立体图形的底面或正面。

    （2）邻面推理：根据展开图中面的相邻关系，逐步构建其他面的空间位置。

    （3）对面判断：利用“相对面在展开图中必不相邻”的原则进行验证。

    （4）边长相符：折叠时，相接的边长度必须相等。

    3.任务二：“最短路径”问题探究（跨学科联系：物理学/计算机科学）。提出问题：在刚才制作的正方体模型上，有一只蚂蚁从A点（前面左下顶点）爬到B点（后面右上顶点）。请问，在正方体表面上，最短的爬行路径是什么？路径长度如何计算？

    （1）学生先在自己的模型上画线猜测。

    （2）关键引导：将立体表面问题转化为平面问题。将正方体展开，连接展开图上对应的A、B两点，线段长度即为可能的最短路径。但注意，由于展开方式不同，A、B两点的相对位置会变化，因此需要比较多种展开图中的连线长度。

    （3）小组合作，尝试至少两种不同的展开方式，计算并比较路径长度。最终发现，将包含A、B两点所在的两个面展开到同一平面，且使两点距离最近时，线段最短。此活动深刻体现了“展开”作为解决问题工具的价值。

  学生活动六：创意设计与跨学科融合

    1.我是包装设计师：情境：为四个相同的球形巧克力设计一个长方体包装盒（球体可近似考虑其直径）。要求盒内紧密排列，节省材料。请小组设计包装盒的展开图草案，标注大致尺寸，并说明设计思路（如何确定长、宽、高）。此任务融合了空间几何与优化思想。

    2.艺术中的数学：欣赏埃舍尔的版画《立方体空间分割》或现代立体书作品图片。讨论：艺术家如何利用展开与折叠的原理创造视觉奇迹？能否设计一个简单的、可弹出的立体贺卡结构（如一个弹出的小立方体）？画出其平面制作图。

    3.科技前沿窥探（微视频或教师简述）：简要介绍展开图在航天（太阳能帆板折叠与展开）、医学（可折叠支架）、机器人（折纸机器人）等领域的尖端应用，拓宽学生视野，感受数学作为基础学科的强大力量。

  （三）综合应用，评价反馈（预计用时：15分钟）

  学生活动七：层级挑战与成果展示

    设置三个层次的挑战任务，学生根据自身情况选择完成或小组合作攻关：

    层次一（基础巩固）：完成学案上的习题，包括判断展开图、指出相对面、根据展开图计算立体图形的棱长和等。

    层次二（能力提升）：解决一个实际问题：小明想用一张矩形铁皮制作一个无盖长方体水箱，他在铁皮四个角各剪去一个正方形后折叠焊接而成。设矩形铁皮长、宽已知，剪去小正方形边长为变量，如何设计能使水箱容积最大？此问题涉及函数与极值思想的初步渗透，引导学生建立数学模型。

    层次三（创新拓展）：设计一个“神秘的立体图形”。给出一个由正方形和等边三角形组成的平面展开图（例如，类似正四面体与正方体组合的部分），让其他小组猜测它能折叠成什么，并验证。或尝试用GeoGebra3D绘图区，绘制一个自己设计的简单多面体，并“虚拟展开”它。

    成果展示与互评：各小组将挑战任务的成果（设计方案、模型、解答过程）上传至班级学习平台或进行简短展示。采用“双评价”机制：教师评价（关注思维的严谨性、创新性）与同伴互评（关注合作有效性、表达清晰度）。评价标准提前公布，注重过程性评价。

  （四）总结反思，布置长周期作业（预计用时：5分钟）

    1.学生总结反思：填写“学习反思卡”，内容可包括：本节课我遇到的最大挑战是什么？我是如何克服的？“展开与折叠”的思想对我理解其他数学知识或生活问题有什么启发？我对自己在小组活动中的表现满意吗？

    2.教师总结：系统梳理两课时知识网络，强调核心——“立体”与“平面”之间的转化思想。肯定学生在操作、想象、合作、创造中的表现。

    3.长周期作业（项目式学习萌芽）：

    【项目提案】“为班级文化节设计并制作一个创意几何灯罩”。

    要求：（1）以小组为单位。（2）灯罩主体必须是基于柱体、锥体或它们的简单组合的立体造型。（3）需要提交：设计草图（含展开图）、材料预算清单、制作过程简要记录、成品照片及数学原理说明。（4）时间：一周。此作业将数学知识、美术设计、动手实践、成本意识融为一体，是综合性评价的载体。

  六、学习评价设计

    本课评价贯穿始终，采用多元、多维方式。

  1.过程性评价（占比60%）：

    （1）课堂观察：教师记录学生在操作探究、小组讨论、问答互动中的参与度、思维活跃度、合作态度。

    （2）活动报告单/学案：检查学生绘图、记录、归纳、解答的过程性痕迹。

    （3）实践作品：评价制作的几何体模型、包装设计方案、创意展开图的