2025~2026学年安徽蚌埠博雅培文实验学校等校高一下册5月月考（1卷）数学试题【含答案】

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.2.已知样本数据的方差为3，若，则的方差为（）A.31 B.27 C.13 D.93.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.已知，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知力，则力对该物体所做的功为（）A.14 B.12 C.8 D.66.如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（）A. B.C. D.7.在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（）A. B.C. D.8.已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据3，8，7，4，3，7，2，3，4，则（）A.该组数据的众数为3B.该组数据的60%分位数是3C.该组数据中大于3的数的占比大于50%D.去掉7和8后，该组数据的方差变大10.在长方体中，为棱上一点，则（）A.B.长方体的外接球的表面积为C.四棱锥的体积恒为24D.的最小值为11.在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（）A.B.若为等边三角形，则其布洛卡角C.若，则D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则__________.13.如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，则原图形的面积是___________．14.已知是的重心，若，则的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量．（1）求向量与的夹角的余弦值；（2）当为何值时，与垂直？16.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求．17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）求证：平面．（2）已知．（i）若，求证：平面平面；（ii）若，求异面直线与所成角的余弦值．18.为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示．（1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数；（2）估计样本中成绩的上四分位数；（3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差．19.如图，四棱锥的顶点在半球的表面上，四边形为圆的内接四边形，且．（1）求四棱锥体积的最大值．（2）当四棱锥的体积最大时：（i）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（ii）求直线与平面所成角的正弦值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以在复平面内对应点的坐标为．2.已知样本数据的方差为3，若，则的方差为（）A.31 B.27 C.13 D.9答案：B解析：思路：由样本数据的方差的性质求解．解答过程：因为，所以．3.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：D解析：解答过程：对于A，由，可得，故A正确；对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；对于C，本选项为面面垂直的性质定理，故C正确；对于D，若，则或与相交，故D错误．4.已知，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：当时，为纯虚数，故充分性成立；当为纯虚数时，，解得，故必要性成立．所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件．5.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知力，则力对该物体所做的功为（）A.14 B.12 C.8 D.6答案：A解析：思路：根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可.解答过程：由题意得，又，所以力对物体所做的功．6.如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为．设扇形的半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为．如图，设圆的圆心为，作于于，易知四边形为正方形，点在上，，所以，所以．7.在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得.解答过程：由题意可得．因为是的中点，所以．因为三点共线，所以．又因为，所以，所以，消去，可得．8.已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：把正四面体与棱相切的球和外接球转化为正方体的内切球和外接球，从而可得半径的范围．解答过程：由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示，可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同，设正四面体的外接球半径为，则，所以．由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球，设与正四面体的各棱相切的球半径为，则．因为球的球面与正四面体的棱有公共点，所以球的半径满足，即球的半径的取值范围是．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据3，8，7，4，3，7，2，3，4，则（）A.该组数据的众数为3B.该组数据的60%分位数是3C.该组数据中大于3的数的占比大于50%D.去掉7和8后，该组数据的方差变大答案：AC解析：解答过程：将这组数据从小到大重新排列为2，3，3，3，4，4，7，7，8．对于A，该组数据的众数为3，故A正确；对于B，因为，故分位数是第6个数，即4，故B错误；对于C，该组数据中共有9个数，大于3的数有4，4，7，7，8，所以该组数据中大于3的数的占比大于50%，故C正确；对于D，原来的平均数是，则，去掉7和8后，平均数是，则，该组数据的方差变小，故D错误．10.在长方体中，为棱上一点，则（）A.B.长方体的外接球的表面积为C.四棱锥的体积恒为24D.的最小值为答案：ABD解析：思路：由长方体的定义判断A；求出长方体外接球的表面积，判断B；求出四棱锥的体积，判断C；将平面展开至与平面共面，利用三角形三边关系判断D.解答过程：对于A，在长方体中，平面，因为平面，故，故A正确；对于B，长方体的外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故B正确；对于C，因为平面平面，故平面，所以，过作于，由等面积法得，因为平面平面，故，因为平面平面，所以平面，所以，即四棱锥的体积恒为12，故C错误；对于D，将平面展开至与平面共面，得到如图的矩形，所以，所以的最小值为，故D正确．11.在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（）A.B.若为等边三角形，则其布洛卡角C.若，则D.若，则的最小值为答案：ABC解析：思路：利用三角形性质及正余弦定理依次分析各选项即可得出结果.解答过程：对于A，因为，所以，而，所以，所以，所以，故A正确；对于B，因为为等边三角形，，所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，故B正确；对于C，在中，，即，在中，，即，所以，由正弦定理得，因为，所以，即，故C正确；对于D，由，可得，在中，由余弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则__________.答案：解析：思路：由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解.解答过程：，.故答案为：.13.如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，则原图形的面积是___________．答案：解析：思路：使用斜二测画法还原图形再使用梯形的面积公式求解.解答过程：由题可知，在原图形中，且，如图，所以原图形的面积为．14.已知是的重心，若，则的最大值为___________．答案：解析：思路：利用重心向量公式，结合数量积为零，可得边角关系，再结合余弦定理，可利用基本不等式来求最值．解答过程：设角的对边分别为．因为是的重心，所以，．因为，所以，所以，即，又，代入可得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量．（1）求向量与的夹角的余弦值；（2）当为何值时，与垂直？答案：（1）（2）．解析：思路：（1）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，进而利用夹角的坐标运算求得向量与的夹角的余弦值；（2）由向量线性运算的坐标运算可求得的坐标，利用数量积的坐标运算可求得的值.（1）因为，所以．所以．设与的夹角为，则．（2）因为，所以．因为与垂直，所以，即，解得．16.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边角互化，进而利用三角恒等变换求得，进而可求；（2）由题意可得为边上的高，由余弦定理可求得，利用面积法可得到.（1）因为，所以由正弦定理可得，则，又因为，所以，所以，即，所以．（2）因为，所以点在直线上．因为，所以，即为边上的高．由余弦定理可得，所以．由面积法可得，即，解得．17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）求证：平面．（2）已知．（i）若，求证：平面平面；（ii）若，求异面直线与所成角的余弦值．答案：（1）证明：设，如图，连接.因为是中点，是中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）（i）证明：当时，四边形为正方形，所以，因为平面平面，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（ii）.解析：思路：（1）连接，则为的中位线，通过，即可证；（2）（i）根据线面垂直的判定定理证明直线平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；（ii），所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，利用余弦定理可求异面直线与所成角的余弦值．（1）略（2）（i）略（ii）由（1）得，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．在中，，由余弦定理得，即异面直线与所成角的余弦值为．18.为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示．（1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数；（2）估计样本中成绩的上四分位数；（3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差．答案：（1），90（2）86（3）平均数为91，方差为22．解析：思路：（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可；（2）根据百分位数的求解方式求解即可；（3）根据分层抽样的方差公式求解．（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，则，解得，估计样本中成绩不低于60分的人数为．（2）前四个小矩形的面积之和为，前五个小矩形的面积之和为，所以成绩的上四分位数落在内，设其为，则，解得，即估计样本中成绩的上四分位数为86．（3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为，样本中成绩在内占成绩在内的比例为．设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为，由分层随机抽样的平均数公式可得，由分层随机抽样的方差公式可得，故样本中“良好”等级的