2025~2026学年广东省深圳市罗湖区深圳第二外国语学校高一下册5月期中数学试题【含答案】

/数学考试时长：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则复数z表示复平面的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，若与平行，则（）A.13 B. C.11 D.3.在中，点D在边AB上，．记，则（）A. B. C. D.4.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（）A.π B.2π C.4π D.8π5.在中，角所对的边分别为，，则（）A. B. C. D.6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有（）A.对 B.对 C.对 D.对8.半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（）A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，以下选项正确的是（）A.若，则复数的充要条件是B.若复数满足，则C.D.若，则10.如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（）A. B.C.平面 D.11.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点，与向量共线的单位向量为B.非零向量和满足，则与的夹角为C.已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则D.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为第Ⅱ卷三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.13.半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______．14.如图，正三棱锥的底边长为2，.一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点.则爬行的路径最短为________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，（是虚数单位）.（1）若，求复数；（2）若，求.16.已知为坐标原点，.点满足（为实数），.（1）若，求向量；（2）记（1）中与的夹角为，求；（3）若，求的值.17.在中，角所对的边分别为，，，.（1）求和三角形的面积；（2）若为边上靠近的三等分点，求的长.18.如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明.19.已知为三边不等的锐角三角形，角所对的边分别为，为边上一点，平分，且.（1）证明：；（2）若，求长度的取值范围.

数学考试时长：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则复数z表示复平面的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：由可得：，所以复数z表示复平面的点为:，在第一象限.2.已知向量，若与平行，则（）A.13 B. C.11 D.答案：B解析：解答过程：已知向量，所以，若与平行，则，解得：.3.在中，点D在边AB上，．记，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．解答过程：因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．4.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（）A.π B.2π C.4π D.8π答案：B解析：思路：由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果.解答过程：如图：设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即，上底面半径，下底面半径，圆台上下底面面积之差的绝对值为.故选：B.5.在中，角所对的边分别为，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：在中，由余弦定理可得：，因为，所以，则.6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.解答过程：设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.7.学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有（）A.对 B.对 C.对 D.对答案：B解析：思路：作出正方体的图形，结合异面直线的定义判断可得出结论.解答过程：作出正方体的图形如下图所示：则与、与、与是异面直线，共对.故选：B.8.半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，可得：，圆柱的侧面积为：，当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以，所以，所以圆柱的高和球的半径之比为.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，以下选项正确的是（）A.若，则复数的充要条件是B.若复数满足，则C.D.若，则答案：AC解析：解答过程：对于A，因为，且，所以A正确，对于B，由可得，当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；对于C，因为对于，，则，于是，故C正确；对于D，设，则，不满足，故D错误.10.如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（）A. B.C.平面 D.答案：ACD解析：思路：由线面垂直的判定定理证得平面，可判断A；由异面直线的判定定理可判断B；现证，由线面平行的判定定理可判断C；连接，与交于点，可判断D.解答过程：对于A，连接，由正方体的性质知：平面，因为分别是，的中点，则,故平面，因平面，故，故A正确；对于B，因为平面，平面且,平面，所以为异面直线，故B错误；对于C，由A项得，平面，平面，所以平面，故C正确；对于D，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以与交于点，所以，故D正确.11.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点，与向量共线的单位向量为B.非零向量和满足，则与的夹角为C.已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则D.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为答案：BD解析：思路：对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即得；对于B，利用向量夹角公式结合条件即得；对于C，由题可得即可判断；对于D，根据投影向量的概念结合条件即得.解答过程：对于A，因为，且，所以与向量共线的单位向量为，故错误；对于B，因为，所以，即，化简得，所以，即，又，所以，因为，所以，故正确；对于C，由，，向量与的夹角为锐角，则，所以且，故错误；对于D，因为，，所以在上的投影向量的坐标为，故正确.故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.答案：解析：思路：在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度.解答过程：在中，，，，，在中，由正弦定理得，所以，所以树的高度为.故答案为：.13.半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______．答案：解析：思路：利用棱柱及棱锥的体积公式即可求解.解答过程：设棱长为2，则所以原正方体的体积为，所以二十四等边体为，所以二十四等边体与原正方体的体积之比为．故答案为：.14.如图，正三棱锥的底边长为2，.一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点.则爬行的路径最短为________.答案：解析：思路：根据正三棱锥的侧面展开图求得正确答案.解答过程：正三棱锥的侧面展开图如下图所示，因为为正三棱锥，所以，依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形，在中，由余弦定理可得：，所以，解得：，所以.所以最短路程为.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，（是虚数单位）.（1）若，求复数；（2）若，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由复数的乘、除法运算代入化简即可得出答案；（2）由复数的乘、除法运算先求出，再由共轭复数的定义求出，最后由复数的模长公式求出.（1）若，则，所以，所以.（2）由可得，则，所以，.16.已知为坐标原点，.点满足（为实数），.（1）若，求向量；（2）记（1）中与的夹角为，求；（3）若，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由向量的线性运算求解即得；（2）由向量的夹角公式求解即得；（3）由向量垂直的坐标公式求解即可.（1）若，，，整理得，所以.（2）,,,,,则.（3），所以，由解得，即，由可得，解得.17.在中，角所对的边分别为，，，.（1）求和三角形的面积；（2）若为边上靠近的三等分点，求的长.答案：（1）；.（2）解析：思路：（1）先求出，由正弦定理求出，再由三角形的面积公式求解即可；（2）由，两边同时平方代入求解即可得出答案.（1）因为，，所以，，由正弦定理可得：，则，解得：.三角形的面积.（2）为边上靠近的三等分点，则，所以，所以，，解得：.18.如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明.答案：（1）证明见解析（2）当时，直线平面.解析：思路：（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）过点作交于点，连接，证得，，由面面平行的判定定理证得平面平面，再由面面平行的性质定理证明即可.（1）由三棱柱的性质可得：，平面，平面，所以平面.（2）当时，直线平面，证明如下：过点作交于点，连接，所以，因为是的中点，所以为的中点，是的中点，所以在中，，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，又平面，所以直线平面.即当时，直线平面.19.已知为三边不等的锐角三角形，角所对的边分别为，为边上一点，平分，且.（1）证明：；（2）若，求长度的取值范围.答案