2025~2026学年广东中山第一中学中学高一下册二段考试数学试题【含答案】

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A. B. C. D.2.设向量，的夹角的余弦值为，，，则（）A.-23 B.23 C.-27 D.273.在△中，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴，轴，，那么（）A. B.2 C. D.45.已知，则（）A.B.C.D.或6.在中，，则的形状为（）A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（）A. B. C. D.8.某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.10.已知中，，，M是的中点，动点P在以为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（）A.B.最大值为C.在上的投影向量为D.若，且B，M，P三点共线时，11.已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（

）A.时，平面B.不存在，使得平面C.任意，三棱锥的体积为定值D.过点的平面分别交于，则的范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，，若，则________．13.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米.14.若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在中，，设，.（1）试用，表示；（2）若，，与的夹角为，求.16.已知函数.（1）求的最小正周期：（2）若且，求的值；（3）若在区间上单调递增，求实数的最大值.17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，，．（1）求；（2）从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S．条件①；条件②；条件③BC边上的中线长为．18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈.如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）在如图所示直角坐标系上，将点到水面的距离（单位：m，且点在水面下时为负数）表示为时间（单位：s）的函数，请求出的解析式.（2）当，求函数的最值.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）试作出二面角，并求二面角的正切值；（3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用复数的除法求出复数，即可得出其虚部.解答过程：复数,虚部是，故选：A.2.设向量，的夹角的余弦值为，，，则（）A.-23 B.23 C.-27 D.27答案：B解析：思路：由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解.解答过程：设与的夹角为，则，又，，所以，所以．故选：B.3.在△中，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.4.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴，轴，，那么（）A. B.2 C. D.4答案：D解析：思路：根据斜二测画法确定原图形，求解即可.解答过程：根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，其中，，，原平面图形的面积为.故选：D．5.已知，则（）A.B.C.D.或答案：A解析：解答过程：，化简得，即，.6.在中，，则的形状为（）A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形答案：B解析：思路：利用二倍角的余弦公式，结合余弦定理化简即可得解.解答过程：在中，，则，由余弦定理得，整理得，则，所以是直角三角形.故选：B7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用向量数量积的运算量，结合即可求解.解答过程：取中点为，连接，显然，所以.故选：A8.某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合圆台和球的结构特征根据圆台的轴截面图，利用勾股定理用表示圆台的高，再利用圆台体积建立的方程，解出再求出球的半径即可得球的体积.解答过程：如图，设圆台上、下底面圆心分别为，因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切，则圆台内切球的球心O在的中点处，设球O与母线切于M点，所以，且，，则，同理，所以，过A作，垂足为G，则，所以，，即圆台的高为，该圆台的体积为，解得，则球的直径，半径为，则球的体积为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解.解答过程：设，由，所以，z1+所以，故A正确；由，，所以不一定成立，故B错误；由，z1z1=由z1+z所以z110.已知中，，，M是的中点，动点P在以为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（）A.B.最大值为C.在上的投影向量为D.若，且B，M，P三点共线时，答案：ABD解析：思路：由已知易得，可判断A；可得平分，所以，设与的夹角为，利用BP⋅BC=BM+MP⋅BC，可求最大值判断B；计算投影向量判断C；可得平分，从而可得，进而得BP2=x2BA解答过程：对于A：因为是的中点，所以，故A正确；对于B：在中，，，可得平分，所以，，所以MP=3，设与的夹角为，又，所以BP⋅当时，的最大值为，故B正确；对于C：在上的投影向量为BM⋅BCBC对于D：若，且三点共线时，可得平分，从而可得，所以，两边平方可得BP2=所以1+32=所以，故D正确.11.已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（

）A.时，平面B.不存在，使得平面C.任意，三棱锥的体积为定值D.过点的平面分别交于，则的范围是答案：ACD解析：思路：利用线面平行的判定判断A；举例说明判断B；利用等体积法计算判断C；作图直接计算得到并判断D.解答过程：对于A，当时，是的中点，而是的中点，则，而平面，平面，于是平面，A正确；对于B，当，即点与重合时，由平面，平面，则，又平面，则平面，而平面，于是，又，则，同理，又平面，因此平面，B错误；对于C，显然，而平面，平面，则平面，因此点到平面的距离为定值，在中，，其面积为定值，因此三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，直线与直线和分别交于点，则，，而有，，当时，有，，则，，从而，，当时，分别与重合；当时，点为中点，与重合，，亦成立，则，，所以的取值范围是，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，，若，则________．答案：解析：思路：由题设中数量积的坐标运算求出x的值，再直接根据向量模的计算公式计算即可．解答过程：，则，解得，所以，则．13.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米.答案：90解析：思路：中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出.解答过程：中，，，则，由图可知，，则，中，由正弦定理，得，中，（米），故答案为：90.14.若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____．答案：解析：思路：先根据图象里的最值求出A，根据周期求出，根据最大值点或最小值点求出，从而确定的解析式，根据函数图象变换求出的解析式，最后结合图象及在上恰有3个零点即可求出m的范围．解答过程：记的最小正周期为，由题图可得，∴，∴，又，∴，∴．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故．当时，．∵在上恰有3个零点，如图：则，解得，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在中，，设，.（1）试用，表示；（2）若，，与的夹角为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的线性运算即可结合图形关系求解，（2）根据模长公式即可求解.（1）在中，，则，（2）已知，，与的夹角为，则，则16.已知函数.（1）求的最小正周期：（2）若且，求的值；（3）若在区间上单调递增，求实数的最大值.答案：（1）;（2）;（3）.解析：思路：（1）利用三角恒等变换即可化简求解周期；（2）利用特殊三角函数值结合取值范围来求解即可；（3）利用已知正弦函数的单调递增区间，即可求解的最大值.（1）由函数，所以的最小正周期为；（2）由，因为，所以，即，所以；（3）由，则，因为正弦函数在区间上单调递增，所以，即实数的最大值为.17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，，．（1）求；（2）从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S．条件①；条件②；条件③BC边上的中线长为．答案：（1）（2）答案见详解解析：思路：（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解即可；（2）若选①：分析可得，可知存在且唯一，利用正弦定理和面积公式运算求解；若选②：利用余弦定理分析可知不唯一；若选③：利用向量结合余弦定理可得，可知不唯一.（1）因为，由正弦定理可得，且，即，可得，且，则，所以.（2）若选①：由（1）可知，，则，因为，则，可得，且，则，即角A，B，C确定且唯一，且，可知存在且唯一，因为，由正弦定理可得，所以的面积；若选②：由余弦定理可得，即，整理可得，则，可知方程有2个实根，所以不唯一，故②不合题意；若选③：设BC边上的中线为，则，且，可得，即，此时无法解出，所以不唯一，故③不合题意.18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈.如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）在如图所示直角坐标系上，将点到水面的距离（单位：m，且点在水面下时为负数）表示为时间（单位：s）的函数，请求出的解析式.（2）当，求函数的最值.答案：（1）（2）的最小值为，最大值为解析：思路：（1）根据题意可确定，，结合最小正周期公式得到，根据最值得到，再代入，可求即可得到的解析式；（2）先利用三角恒等变形化简，再根据整体法求最值即可．（1）解：根据题意，，，解，解得，，，当时，，，解得，，，；（2），，，，故，当，的最小值为，最大值为．19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，