2025~2026学年广西壮族自治区南宁市东盟中学高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学（考试时间：120分钟试卷满分150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，且，则（）A. B. C.3 D.122.若复数，则z的虚部是（）A. B.1 C. D.23.已知是角终边上一点，则（）A. B. C. D.34.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.如果两条直线a与b没有公共点，则C.有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.若直线l与平面相交，则内不存在与l平行的直线5.如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（）．A. B. C.5 D.6.在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（）A. B. C. D.7.已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.当时，B.若z是纯虚数，则或C.若z在复平面内对应的点在第四象限，则D.若z是关于x的方程的一个根，则10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于点中心对称C.函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为D.将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称11.在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（）A.与异面B.C、M、N、Q四点共面C.过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形D.三棱锥的体积是定值第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，已知，，，则______________．13.已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________．14.如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于_______________．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在空间几何体中，四边形与四边形是全等的直角梯形，满足，，且．（1）若G，H分别为，的中点，求证：四边形是平行四边形．（2）若，，，求该几何体的表面积．16.已知．（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值；（3）求在区间上的最值及相应的值．17.如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．（1）若，求该圆锥的体积；（2）若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面．18.如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）（1）求；（2）收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？19.我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对，视为一个向量，记作．已知对于任意两个复向量，定义：线性运算：；积运算：（其中，分别是，的共轭复数）；模运算：．若两个复向量满足，则称复向量与平行．（1）设，，求，；（2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若与平行，①若，求的值②求的最大值

数学（考试时间：120分钟试卷满分150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，且，则（）A. B. C.3 D.12答案：D解析：思路：由可得即可.解答过程：，，解得．2.若复数，则z的虚部是（）A. B.1 C. D.2答案：B解析：解答过程：，所以z的虚部是1．3.已知是角终边上一点，则（）A. B. C. D.3答案：D解析：解答过程：由已知得：．4.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.如果两条直线a与b没有公共点，则C.有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.若直线l与平面相交，则内不存在与l平行的直线答案：D解析：解答过程：对于A选项，缺少“不共线”条件，A错误；对于B选项，结论缺少“异面”的情况，B错误；对于C选项，结论缺少“侧棱互相平行”的情况，C错误；对于D选项，直线l与平面相交，l与内的直线相交或异面，D正确．5.如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（）．A. B. C.5 D.答案：C解析：解答过程：四边形为直角梯形，且，，，，6.在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由向量的基本定理求解即可.解答过程：∵点M是边的中点，，又，，即，．7.已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由，得到是的中点，再由得到是等边三角形，作即可求解.解答过程：，，是的外接圆圆心，是中点，又，所以是等边三角形，，设，则，作于H，则，所以，即为向量在向量上的投影向量，，8.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围.解答过程：由已知得：，即，所以，又，所以，由正弦定理得：，所以，所以又所以由是锐角三角形得：，，即的取值范围是．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.当时，B.若z是纯虚数，则或C.若z在复平面内对应的点在第四象限，则D.若z是关于x的方程的一个根，则答案：ACD解析：思路：利用共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的定义列式求解判断B；利用复数对应点的位置求出范围判断C；求出方程的根，再利用复数相等求解判断D.解答过程：对于A，当时，，则，A正确；对于B，由z是纯虚数，得，解得，B错误；对于C，由z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，C正确；对于D，，解得因此或，而方程组无解，解方程组，得，所以，D正确．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于点中心对称C.函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为D.将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称答案：AC解析：解答过程：对于A选项，函数的最小正周期为，A正确；对于B选项，因为，所以函数的图象不关于点中心对称，B错误；对于C选项，由可得，当时，，所以或，解得或，所以函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为5π12+对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，因为，故函数的图象不关于直线对称，D错误．11.在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（）A.与异面B.C、M、N、Q四点共面C.过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形D.三棱锥的体积是定值答案：ABD解析：解答过程：对于A选项，QM∩平面，平面，而M∉BC与异面，A正确；对于B选项，M为底面的中心，∵AC∩AQ=A与确定平面，∴N、M、N、Q四点共面于平面，B正确；对于C选项，当Q与重合时，该截面为，C错误；对于D选项，（定值），D正确．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，已知，，，则______________．答案：解析：解答过程：由正弦定理得：，因为，，所以，所以13.已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________．答案：解析：解答过程：由题意，直三棱柱，，所以直三棱柱可以补成以、、为棱的长方体，则球O为该长方体的外接球，设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为．14.如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于_______________．答案：解析：思路：利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果.解答过程：设，则，是的中点，，当时，取得最小值.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在空间几何体中，四边形与四边形是全等的直角梯形，满足，，且．（1）若G，H分别为，的中点，求证：四边形是平行四边形．（2）若，，，求该几何体的表面积．答案：（1）证明见解析（2）13解析：思路：(1)利用三角形中位线定理，证得与平行且相等，从而证明四边形是平行四边形；(2)先确定各面形状，分别计算面积后求和（1）证明：因为G，H分别为，的中点，所以．又，所以所以四边形是平行四边形．（2）梯形：；因为四边形与四边形是全等的直角梯形，所以梯形：;因为，，所以为直角三角形，则：，：;面，，，四边形为等腰梯形，高，则等腰梯形：，几何体表面积：16.已知．（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值；（3）求在区间上的最值及相应的值．答案：（1）（2）（3）最小值为1，，最大值为2，解析：思路：（1）根据三角恒等变换化简整理即可.（2）代入解析式求得，结合同角的三角函数关系求解即可.（3）结合正弦型三角函数的性质求解即可.（1），故.（2）由可知，，化简得，因为，所以.（3）因为，所以，所以当时，取到最小值为，此时，当时，取到最大值为，此时.所以当时，取到最小值1；当时，取到最大值2.17.如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．（1）若，求该圆锥的体积；（2）若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）连接，由题可得，又，所以是等边三角形，因为，所以，在中，，所以圆锥的体积为V=（2）因为Q，O分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，所以由得：，又，所以为等边三角形，又所以，所以,，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，平面，所以平面平面,即平面平面.18.如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）（1）求；（2）收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？答案：（1）60°（2）收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地．解析：思路：(1)在中使用余弦定理得出及(2)在中使用余弦定理得出及，再在中使用余弦定理得出及．（1）连接，在中由余弦定理得AC，又，，，即，．（2）连接，则由及得：，，，在中，由余弦定理，得：AB2则，又，则是等腰三角形，且，由已知有AE=600×在中，由余弦定理得：CE=又，则．由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东．答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地．19.我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对，视为一个向量，记作．已知对于任意两个复向量，定义：线性运算：；积运算：（其中，分别是，的共轭复数）；模运算：．若两个复向量满足，则称复向量与平行．（1）设，，求，；（2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若与平行，①若，求的值②求的