小学四年级数学下册（北师大版）数与代数领域知识清单

小学四年级数学下册（北师大版）数与代数领域知识清单一、小数的意义与性质【核心基础】【高频考点】（一）小数的产生与意义【重要】1、当测量或计算无法得到整数结果时，通常可以用小数来表示。小数的产生是基于实际生活和精确化的需求。2、小数的意义：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000……的分数来表示，这些分数也可以写成不带分母的形式，即小数。【难点理解】3、十进分数与小数的关系：（1）分母是10的分数，可以用一位小数表示，如3/10=0.3，表示3个十分之一。（2）分母是100的分数，可以用两位小数表示，如25/100=0.25，表示25个百分之一。（3）分母是1000的分数，可以用三位小数表示，如137/1000=0.137，表示137个千分之一。4、计数单位与进率：（1）小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……【基础】（2）相邻两个计数单位之间的进率是10。例如，10个0.01是0.1，10个0.1是1。这与整数的十进制计数法是一脉相承的。【重要】（二）小数的数位顺序表【必须掌握】1、小数由整数部分、小数点和小数部分组成。2、数位顺序表是理解小数组成的关键。整数部分最低位是个位，小数部分最高位是十分位。它们之间的进率也是10。3、例如，数字315.624：（1）整数部分“315”：3在百位，表示3个百；1在十位，表示1个十；5在个位，表示5个一。（2）小数点“.”：用于分隔整数部分和小数部分。（3）小数部分“624”：6在十分位，表示6个十分之一（0.1）；2在百分位，表示2个百分之一（0.01）；4在千分位，表示4个千分之一（0.001）。【难点辨析】（4）该数的组成：315.624=3个百+1个十+5个一+6个0.1+2个0.01+4个0.001。（三）小数的读写规则【基础技能】1、小数的读法：读小数时，整数部分按整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分依次读出每一位上的数字，无论有几个0，都要一一读出。（1）例如：0.8读作“零点八”；3.14读作“三点一四”；10.05读作“十点零五”；120.708读作“一百二十点七零八”。2、小数的写法：写小数时，整数部分按整数的写法来写，整数部分是零的写作“0”，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出每一个数位上的数字。（1）例如：零点四二写作“0.42”；五十六点三零七写作“56.307”。（四）小数的性质及应用【核心考点】【★】1、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。例如，0.5=0.50=0.500；3=3.0=3.00。【易错点：是“末尾”而不是“中间”】（1）常见错误辨析：小数中间的0不能随意去掉，如去掉3.05中间的0变成3.5，数值发生了改变。2、化简小数：依据小数的性质，去掉小数末尾的0，使小数书写更简洁。如，2.80化简为2.8；0.500化简为0.5。3、改写小数：依据小数的性质，在不改变小数大小的前提下，在小数末尾添上0或去掉0，或者将整数改写成指定小数位数的小数。如，将4改写成两位小数是4.00；将3.6改写成三位小数是3.600。（五）小数的大小比较【高频考点】【▲】1、比较方法：先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位也相同，就比较百分位，以此类推，直到比出大小为止。【解题步骤规范】2、实战技巧：比较时，可以先将各个小数的数位对齐，然后从高位到低位逐位比较。例如，比较3.25和3.248：整数部分相同，十分位2相同，百分位5大于4，因此3.25>3.248。（六）小数点移动引起小数大小的变化【难点】【规律运用】1、移动规律：（1）小数点向右移动一位、两位、三位……相当于把原数乘10、100、1000……小数就扩大到原数的10倍、100倍、1000倍……【重要】（2）小数点向左移动一位、两位、三位……相当于把原数除以10、100、1000……小数就缩小到原数的1/10、1/100、1/1000……【重要】2、实际应用：（1）单位换算：利用小数点移动规律进行名数改写。如，3.5米=()厘米，因为1米=100厘米，所以3.5乘100，小数点向右移动两位，得到350厘米。（2）解决倍数问题：已知一个小数，求它的10倍、100倍是多少，直接用乘法，即移动小数点。（七）名数的改写【综合应用】1、单名数与复名数：（1）单名数：只带有一个单位名称的数，如1.3米、5千克。（2）复名数：带有两个或两个以上同类单位名称的数，如1米30厘米、5千克300克。2、改写方法：（1）高级单位→低级单位：乘进率，小数点右移。例如，2.5吨=()千克，因为1吨=1000千克，2.5×1000=2500，小数点右移三位。（2）低级单位→高级单位：除以进率，小数点左移。例如，450米=()千米，因为1000米=1千米，450÷1000=0.45，小数点左移三位。【易错点：进率记混、移动位数出错】二、小数的加减法【核心技能】【必考】（一）小数加减法的笔算原理1、核心法则：小数点对齐。小数点对齐的实质是相同数位对齐，即保证计数单位相同的数才能相加减。【关键理解】2、计算步骤：（1）对齐小数点（相同数位对齐）。（2）按照整数加减法的法则进行计算，从末位算起。（3）得数的小数点要与横线上方的小数点对齐。【解答要点】（4）得数末尾有0的，一般要根据小数的性质进行化简。（二）小数加减法的特殊情况【难点突破】1、数位不同的情况：当两个小数的小数位数不同时，可以利用小数的性质，在位数的数末尾添“0”补足，使计算更加清晰。例如，计算5.6+3.47，可以看作5.60+3.47。2、整数与小数的加减：把整数看成小数点后在末尾连续补0的形式。例如，计算82.45，可以将8写成8.00，然后对齐小数点进行计算。【常见题型】（三）小数加减混合运算【运算顺序】1、运算顺序：在没有括号的算式里，如果只有加减法，按照从左到右的顺序依次计算。如果有括号，要先算括号里面的。2、简算应用：整数加法的交换律、结合律以及减法的运算性质，对于小数加减法同样适用。这可以使一些计算更简便。【高阶技能】（1）加法交换律：a+b=b+a（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（3）减法性质：abc=a(b+c)或ab+c=a+cb三、小数的乘法【重点】【难点】（一）小数乘法的意义【拓展理解】1、小数乘整数：表示几个相同小数的简便运算，或表示这个小数的整数倍是多少。如，0.8×3，表示3个0.8相加的和，或者0.8的3倍。2、小数乘小数：表示一个数的十分之几、百分之几……是多少。如，1.5×0.8，表示1.5的十分之八是多少。这是乘法意义的扩展。（二）小数乘法的计算方法【高频考点】【▲▲】1、基本法则：（1）先按整数乘法算出积。（2）再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。【关键步骤】（3）积的小数位数不够时，要在前面用0补足，再点小数点。例如，0.25×0.3，先算25×3=75，两个乘数共有三位小数，从右边数出三位，75只有两位，所以要在75前面补一个0，即0.075。【易错点：位数不够忘补0】（4）积的小数部分末尾有0的，要把0去掉（化简）。2、乘数与积的大小关系规律（一个非0数）：（1）乘以一个大于1的数，积大于原数。如，3.2×1.2>3.2。（2）乘以一个等于1的数，积等于原数。如，3.2×1=3.2。（3）乘以一个小于1的数（0除外），积小于原数。如，3.2×0.8<3.2。【重要规律，用于估算和检验】（三）小数点移动与小数乘法的关系1、当一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）10倍、100倍……时，积也相应地扩大（或缩小）相同的倍数。2、这一规律揭示了小数乘法与整数乘法的内在联系，也是理解积的小数位数由乘数小数位数之和决定的基础。（四）小数乘法的估算与验算【实践应用】1、估算：在实际问题中，可以先估算出大致范围，检验计算的合理性。例如，买3.8千克苹果，每千克4.9元，大约需要多少钱？可以把3.8看作4，4.9看作5，估算结果为20元。2、验算：可以交换两个乘数的位置再乘一遍；也可以用计算器验算（学习工具）。（五）小数四则混合运算及简算【综合能力】1、运算顺序：与整数四则混合运算顺序相同。先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。2、运算定律推广：整数乘法中的交换律、结合律、分配律，对于小数乘法同样适用。（1）乘法交换律：a×b=b×a（2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)（3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；a×c+b×c=(a+b)×c【非常重要的简算工具】3、常见简算题型：【★】（1）运用乘法分配律：如0.65×101=0.65×(100+1)=0.65×100+0.65×1（2）提取公因数：如2.4×0.6+2.4×0.4=2.4×(0.6+0.4)=2.4×1（3）凑整思想：如12.5×3.2×2.5=(12.5×0.8)×(4×2.5)=10×10=100四、方程【思维提升】【热点】（一）用字母表示数【基础入门】1、在具体情境中，我们可以用字母（如a、b、c、x、y等）来表示未知数或数量关系。2、书写规则：【重要规范】（1）数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“·”或者省略不写。数字要写在字母前面。如，a×5通常写成5a，不能写成a5。（2）1与任何字母相乘时，1可以省略不写。如，1×b写成b。（3）两个相同的字母相乘，可以写成平方的形式。如，a×a写作a²，读作“a的平方”，表示2个a相乘。3、用字母表示运算律和公式：（1）加法交换律：a+b=b+a（2）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c（3）长方形面积公式：S=a×b（S表示面积，a表示长，b表示宽）（4）路程公式：s=v×t（s表示路程，v表示速度，t表示时间）（二）认识方程【核心概念】1、定义：含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程，必须同时满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。【基础判断】2、等式与方程的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。可以用集合图表示它们之间的关系。（三）等式的性质【解方程依据】【重要】1、等式性质（一）：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。2、等式性质（二）：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。3、等式的性质是解方程的理论基础。解方程的目的就是通过应用等式的性质，使方程的一边只剩下未知数。（四）解方程的方法与步骤【关键技能】【★★】1、形如x+a=b或xa=b的方程：（1）解法：利用等式性质（一），两边同时减去或加上a。例如，解方程x+3.2=6.4，两边同时减去3.2，得x=3.2。2、形如ax=b或x÷a=b(a≠0)的方程：（1）解法：利用等式性质（二），两边同时除以或乘以a。例如，解方程4x=10，两边同时除以4，得x=2.5。3、形如ax±b=c的方程（两步方程）：（1）解法思路：把“ax”看作一个整体，先利用等式性质（一）消去常数项b，再利用等式性质（二）求出x的值。【解题步骤规范】（2）例如：解方程3x6.3=5.7①将“3x”视为整体，两边同时加6.3，得3x=12②两边同时除以3，得x=44、检验：将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。这是确保解题正确的重要环节。（五）列方程解应用题【高阶思维】【难点突破】1、基本步骤：【解答要点】（1）理清题意，找未知数：读懂题目，找出未知量，通常用x表示。（2）找等量关系：分析题目中的数量关系，找出一个最能概括题目含义的相等关系。这是列方程的关键。【核心难点】（3）列方程：根据找出的等量关系，列出含有未知数的等式。（4）解方程：运用等式的性质求出未知数的值。（5）检验并写答：检验结果是否符合实际，最后写出答案。2、常见等量关系模型：【高频考点】（1）和差关系：如，甲数+乙数=总和；甲数乙数=差。（2）倍数关系：如，较小的数×倍数=较大的数。（3）常见的数量关系：如，单价×数量=总价；速度×时间=路程；工作效率×工作时间=工作总量。（4）周长、面积公式：如，（长+宽）×2=长方形周长；长×宽=长方形面积。五、常见的量与单位换算【实践应用】（一）人民币单位1、单位及进率：元、角、分。1元=10角，1角=10分。2、改写：如，3元5角=3.5元；2.8元=2元8角。（二）质量单位1、单位及进率：吨（t）、千克（kg）、克（g）。1吨=1000千克，1千克=1000克。2、改写：如，1.5吨=1500千克；3500克=3.5千克=0.0035吨。（三）长度单位1、单位及进率：千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）。2、重要进率：1千米=1000米；1米=10分米=100厘米=1000毫米。3、改写：如，3.06米=3米6厘米（注意06表示0.06米，即6厘米）。（四）面积单位（拓展）1、单位及进率：平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）。1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米。2、结合小数：如，0.4平方米=40平方分米。（五）时间单位1、单位及进率：时、分、秒。1时=60分，1分=60秒（非十进制，需特别留意）【易错点】。六、总复习数与代数领域考查方式与备考策略（一）常见题型1、填空题：考查小数的意义、数位、计数单位、读写、性质、大小比较、小数点移动等基础概念。如，“0.28里面有()个0.01”，“把3.5扩大到原来的100倍是()”。2、判断题：考查概念理解的准确性，尤其是小数的性质、方程定义等易混淆点。如，“小数点的后面添上0或去掉0，小数的大小不变”。（×）3、选择题：在几个相近选项中辨析，考查对核心知识的应用能力。如，“下面各数中，与6最接近的是（）。A.6.02B.5.99C.6.002”。4、计算题：（1）直接写出得数：考查小数加减乘除的口算能力。（2）竖式计算：考查小数加减法和乘法的笔算方法和算理，尤其关注小数点对齐和点小数点。（3）脱式计算（能简算的要简算）：考查运算顺序和运算定律在小数四则混合运算中的灵活运用。（4）解方程：考查运用等式性质解各种类型方程的能力。5、应用题：（1）小数应用题：结合生活实际（购物、行程、制作等），考查小数加减乘除的综合运用。【热点】（2）方程应用题：考查列方程解决实际问题的能力，尤其是一些需要逆向思维的问题，用方程解决更为简便。【难点】