应用离散数学（第4版）（微课版）习题及答案 习题4.5

应用离散数学代数结构杭电－周丽、方景龙第四章PAGE3§4.5循环群、置换群习题4.5证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。证明：对于循环群<a>来说，任意的am*at=am+t=at*am,所以是交换群。但是交换群不一定是循环群，例：交换群G={e,a,b,c}，G中的元素除单位元e外，a,b,c都是2次元，但此群并不是循环群。2．证明由1的次复根的全体所组成的集合在复数的乘法下构成阶循环群。解由代数的知识可知，1的次复根的全体所组成的集合为，有。若，则；若，则存在，使得，而。因此关于数的乘法是封闭的。故是代数系统。数的乘法运算满足结合律。故是半群。因为，有，所以是的么元。故是有幺半群。，存在，使得，所以的逆元存在。故是群。因为，故是群的一个生成元，因此是循环群。3．阶数为5、6、14、15的循环群的生成元分别有多少个？设是阶数为5的循环群的生成元，因在比5小的正整数中有且仅有2，3，4与5互质，所以也是生成元，因此生成元个数为4。设是阶数为6的循环群的生成元，因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以也是生成元，因此生成元个数为2。设是阶数为14的循环群的生成元，因在比14小的正整数中有且仅有3，5，9，11，13与14互质，所以也是生成元，因此生成元个数为6。设是阶数为15的循环群的生成元，因在比15小的正整数中有且仅有2，4，8，11，13，14与15互质，所以也是生成元，因此生成元个数为7。4．设，对于上的二元运算“模12乘法”： （1）证明构成群； （2）求出的所有子群；（3）求中每个元素的次数；（4）是循环群吗？解：列出运算表如下×157111157115511177711151111751由运算表知，满足封闭性要求，结合律，单位元是1，每个元素都有逆元：1的逆元是1，5的逆元5，7的逆元是7，11逆元的11。所以构成群。所有子群为：{1}，{1，5，7，11}，{1，5}，{1，7}，{1，11}.（3）|1|=1，|5|=|7|=|11|=2。（4）不是循环群。5．设是循环群，和是它的两个子群。证明

，这里是和的最小公倍数。，则根据定理，应是的倍数，也应是的倍数，从而应是和的最小公倍数的倍数，所以。，则应是和的最小公倍数的倍数，从而是的倍数，也是的倍数，所以，，即。6．设是从群到群的同态映射，证明若是循环群，则也是循环群。证明：因为G是循环群所以存在生成元a属于G，对于任何x属于G，则存在x=an。又因为是从群到群的同态映射，则对任何y属于(G)都存在x属于G，有y=(x)=(an)=((a))n。所以也是循环群。

7．设5阶置换为 计算，，，，。=1234534125=1234521543=1234531254=12345=12345354128.设，写出上的所有4元置换。解：共有24个置换。分别为：（1），（12），（13），（14），（23），（24），（34），（12）（34），（13）（24），（14）（23），（123），（132），（234），（243），（124），（142），（134），（143），（1234），（1432），（1342），（1243），（1342），（1423）9．列出4元对称群的运算表，求出单位元，每个元的逆元，每个元的次数以及它的所有子群。解：（1）4元对称群S4含24个元素，‌非交换群‌，其完整24×24运算表因篇幅过大无法在此直接列出（需576格置换复合结果），行左乘列（g（2）单位元及逆元单位元‌：e=(1)（恒等置换）。‌元素总数‌：24个；‌次数分布：1个1次，6个2次（对换），3个2次（双对换），8个3次，6个4次。按共轭类（置换型）分类，记号abc表示a→b→c→a，ab表示交换a,b。‌‌其中1次（单位元，1个）：‌1，逆元1，次数为1。次（对换，6个，自逆）‌：12),(13),(14),(23),(24),(34次（双对换，3个，自逆）‌：12)(34),(13)(24),(14)(23；逆元均为自身。次（3-循环，8个）‌：123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243；逆元：abc)-1=(acb4次（4-循环，6个）‌1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432；逆元：abcd)-1=(adcb逆元规律‌：对换与双对换自逆；3-循环abc)-1=(acb；4-（3）子群子群总数‌：共‌30个‌子群（含平凡子群和自身），‌‌其中有2个平凡子群，另外28个非平凡子群：9个2阶子群，4个3阶子群，3个4阶循环子群，4个与klein群同构的4阶子群，4个和S3同构的6阶子群，3个8阶子群，1个12阶子群。详细如下：‌1阶子群（1个）‌：e。2阶子群（6个）‌：由单个对换生成

⟨(12)⟩,…,⟨(34)⟩；由单个双对换生成

⟨(12)(34)⟩,…（共6+3=9？注：双对换阶为2，故阶2子群共6+3=9个？修正：双对换生成的子群也是阶2，故阶2子群共‌9个‌）。3阶子群（4个）‌：由3-循环生成，如⟨(123)⟩，共4个（每个3-循环子群含2个3-循环，8/2=4）。4阶子群（7个）‌：克莱因四元群V4型（正规）：e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)（1循环群C4型：由4-循环生成，如⟨(1234)⟩，共3个（6个4-循环，每子群含2个生成元，6/2=3另含3个非正规V4型（如e,(12),(34),(12)(34)），共1+3+3=76阶子群（4