高中数学 加练 专题7　第64练　向量法求空间角

第64练向量法求空间角(分值：30分)1.(13分)如图，四边形ACFE为矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=1，CD=2，AD=1，平面ADF与棱BE交于点G.(1)求证：AG∥DF；(5分)(2)求直线CF与平面ADF所成角的正弦值.(8分)(1)证明因为CD∥AB，CD⊂平面CDF，AB⊄平面CDF，所以AB∥平面CDF，又CF∥AE，CF⊂平面CDF，AE⊄平面CDF，所以AE∥平面CDF，又AB∩AE=A，且AB，AE⊂平面ABE，所以平面ABE∥平面CDF，又因为平面ADF∩平面CDF=DF，平面ADF∩平面ABE=AG，所以AG∥DF.(2)解因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，AE⊥AC，AE⊂平面ACFE，所以AE⊥平面ABCD，又AB，AD⊂平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AB⊥AD，故以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，F(2，1，1)，所以CF=(0，0，1)，AD=(0，1，0)，DF=(2，0，1)，设平面ADF的法向量为n=(x，y，z)，则AD·n令x=1，则y=0，z=-2，所以n=(1，0，-2)，则|cos〈CF，n〉|=|CF·n||所以直线CF与平面ADF所成角的正弦值为252.(17分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，底面ABC为等边三角形，平面A1ACC1⊥平面ABC，点D，E分别是A1B1，A1C1的中点.(1)证明：平面DEC⊥平面ABC；(7分)(2)若AB=2，点F在直线CC1上，且平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为1717，求线段CF的长.(10分(1)证明如图，取AC的中点O，连接A1O，因为侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，所以A1O⊥AC.又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1O⊂平面A1ACC1，所以A1O⊥平面ABC.又因为E是A1C1的中点，且A1O⊥AC，所以四边形A1OCE为矩形，所以A1O∥CE，所以CE⊥平面ABC.又CE⊂平面DEC，所以平面DEC⊥平面ABC.(2)解连接OB，因为△ABC为等边三角形，则OB⊥OC，所以OB，OC，OA1两两垂直.则以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AB=2，所以OB=OA1=3，故O(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，E(0，1，3)，C1(0，2，3)，OC=(0，1，0)，CC1=(0，1，3设CF=λCC1，λ∈R则OF=OC+λCC1=(0，1，0)+(0，λ，3λ)=(0，1+λ，3λ)，即F(0，1+λ，3λ所以EF=(0，λ，3λ-3)，又DE=12B1C1设平面DEF的法向量为m=(x，y，z)，则m·DE取z=λ，则y=3-3λ，x=1-λ，故平面DEF的一个法向量为m=(1-λ，3-3λ，λ).又由(1)可知平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)，则|c