高中数学 加练 专题8　第79练　与角度、斜率、参数、向量相关的范围(最值)问题

第79练与角度、斜率、参数、向量相关的范围(最值)问题(分值：30分)1.有关角度的问题，往往要转化为直线的斜率与点的坐标，或者转化为向量夹角，利用向量数量积进行处理.2.含参数、向量的范围(最值)问题，通常利用向量的运算转化为目标函数，然后利用基本不等式、函数单调性或求导等方法来求最值，也可以利用几何图形的有界性、判别式得到不等关系，从而求出相关量的范围(最值).1.(15分)已知双曲线Γ：x2-y2b2=1(b>0)，左、右顶点分别为A1，A2，过M(-2，0)的直线l交双曲线于P，(1)若b=104，P在第一象限，△MA2P是等腰三角形，求P的坐标；(6分(2)连接QO并延长交双曲线于R，若A1R·A2P=1，求b的取值范围解(1)当b=104时，双曲线Γ：x2-y2其中M(-2，0)，A2(1，0)，因为△MA2P为等腰三角形，点P在第一象限，所以由双曲线的性质可知，MP为等腰三角形的底边，|A2P|=|MA2|=3，所以点P在以A2为圆心，3为半径的圆(x-1)2+y2=9上，设P(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则有x02即P(3，5).(2)由题意知l的斜率不为0，设直线l：x=my-2，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(-x2，-y2)联立x消去x得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0，由已知得二次项系数b2m2-1≠0，且Δ>0，即(-4所以A1R=(-x2+1，-y2)，A2P=(x1-1，则A1R·A2P=(-x2+1)(x1-1)-=(-my2+2+1)(my1-2-1)-y1y2=-(my2-3)(my1-3)-y1y2=1，即(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0.代入得(m2+1)·3b2b2m即3b2(m2+1)-3m·4b2m+10(b2m2-1)=0，化简得b2m2+3b2-10=0，即b2(m2+3)=10，所以b2=10m2+3因为m2=10b2代入b2m2-1≠0，得10-3b2≠1，所以b2≠3，所以b2∈(0，3)∪3，综上，b的取值范围为(0，3)∪3，2.(15分)(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程；(5分)(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α-β取得最大值时，求直线AB的方程.(10分)解(1)当MD⊥x轴时，有|MF|=p2+p=3，得p=2所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)根据(1)知F(1，0)，D(2，0).当MN⊥x轴时，易得α=β=π2此时α-β=0.当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则直线MN的方程为y-y1=y1-y2x1-即y-y1=y1-y2y12即y-y1=4y1+y2(x即y(y1+y2)-y1(y1+y2)=4(x-x1)，所以直线MN的方程为y(y1+y2)-y1y2=4x，tanα=4y同理可得，直线AM的方程为y(y3+y1)-y3y1=4x，直线BN的方程为y(y4+y2)-y4y2=4x，直线AB的方程为y(y4+y3)-y4y3=4x.因为F(1，0)在MN上，所以y1y2=-4.因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1=-8，y4y2=-8，所以y3=-8y1，y4=-所以y3+y4=-8y1-8y2=-8(y1+y2)yy3y4=64y1y2所以直线AB的方程y(y4+y3)-y4y3=4x可化为(y1+y2)y+8=2x，所以tanβ=2y所以tan(α-β)=2=2×1(当y2+y1<0时，tan(α-β)<0，所以不符合题意.当y2+y1>0时，(y2+y1)+8y2+ytan(α-β)≤2×142=