高中数学 加练 专题3　第27练　极值点偏移(一)

第27练极值点偏移(一)(分值：30分)对称化构造函数法构造辅助函数(1)对结论x1+x2>2x0型，构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x).(2)对结论x1x2>x02型，方法一是构造函数F(x)=f(x)-f

x02x，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，1.(15分)已知常数a>0，函数f(x)=12x2-ax-2a2lnx(1)若∀x>0，f(x)>-4a2，求a的取值范围；(6分)(2)若x1，x2是f(x)的零点，且x1≠x2，证明：x1+x2>4a.(9分)(1)解由已知得f(x)的定义域为{x|x>0}，且f'(x)=x-a-2a2=(x∵a>0，∴当x∈(0，2a)时，f'(x)<0，即f(x)在(0，2a)上单调递减；当x∈(2a，+∞)时，f'(x)>0，即f(x)在(2a，+∞)上单调递增.∴f(x)在x=2a处取得极小值，即最小值，∴f(x)min=f(2a)=-2a2ln(2a)，∵∀x>0，f(x)>-4a2⇔f(x)min=-2a2ln(2a)>-4a2⇔ln(2a)<lne2，∴0<a<e22，即a(2)证明由(1)知，f(x)的定义域为{x|x>0}，f(x)在(0，2a)上单调递减，在(2a，+∞)上单调递增，且x=2a是f(x)的极小值点.∵x1，x2是f(x)的零点，且x1≠x2，不妨设x1<x2，则0<x1<2a<x2，设F(x)=f(x)-f(4a-x)，则F'(x)=(x-2=2a当x∈(0，2a)时，F'(x)<0，即F(x)在(0，2a)上单调递减.∵0<x1<2a，∴F(x1)>F(2a)=0，即f(x1)>f(4a-x1)，∵f(x1)=f(x2)=0，∴f(x2)>f(4a-x1)，∵x1<2a，∴4a-x1>2a，又∵x2>2a，f(x)在(2a，+∞)上单调递增，∴x2>4a-x1，即x1+x2>4a.2.(15分)已知函数f(x)=xlnx+t在点(1，f(1))处的切线经过原点.(1)求实数t的值；(5分)(2)若存在x1<x2，使得f(x1)=f(x2)，求证：x1x2<1e2.(10(1)解因为f'(x)=lnx+1，所以f'(1)=1，因为f(1)=t，所以切线方程为y-t=x-1，即y=x+t-1.因为切线经过原点，所以0=0+t-1，所以t=1.(2)证明因为f(x)=xlnx+1(x>0)，所以f'(x)=lnx+1，令f'(x)>0，解得x>1e令f'(x)<0，解得0<x<1所以f(x)在1e，+∞上单调递增，因为f

1e=1-1e，f(1当x→0时，f(x)→1，当x→+∞时，f(x)→+∞，f(x)的大致图象如图所示.所以存在x1<x2，f(x1)=f(x2)，且0<x1<1e<x2<1要证x1x2<1即证x1<1因为1e2<1e2x2<1e，只需证f因为f(x1)=f(x2)，即证f(x2)>f

1e令g(x)=f(x)-f

1e2x=xlnx=xlnx+1e2x(lnx所以g'(x)=lnx+1-1e2x2(lnx=(lnx+1)1-1因为1e<x<1，所以ln