高中数学 加练 专题2　第10练　二次函数与幂函数

第10练二次函数与幂函数(分值：45分)一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.“a≤3”是“函数f(x)=x2-ax+1在区间[2，+∞)上单调递增”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由函数f(x)=x2-ax+1在区间[2，+∞)解得a≤5所以“a≤3”是“函数f(x)=x2-ax+1在区间[2，+∞)2.已知函数f(x)=x2-2x+a(a>0)，实数m满足f(m)<0，则下列关系一定成立的是()A.f(m+1)>0 B.f(m+2)>0C.f(m-1)<0 D.f(m-2)<0答案B解析函数f(x)=x2-2x+a在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.f(m)=m2-2m+a<0，故m2-2m<-a<0，解得0<m<2.m+2∈(2，4)，f(m+2)>f(2)=a>0，B正确；m-2∈(-2，0)，f(m-2)>f(0)=a>0，D错误；取a=19100，m=15，f(m)=-17f(m+1)=f

65=-77100<0，f(m-1)=f

-45=243100>0，3.已知函数f(x)是定义在[a，b]内的连续函数，若对任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，都有f

x1+x22>f(x1)+f(x2)2恒成立，则称f(x)在[a，b]内是“上凸函数”.则在①f(x)=x-2，②f(x)=x3，③f(x)=x这三个函数中，当1≤xA.0 B.1 C.2 D.3答案B解析对于f(x)=x-2，f(x)=x3，当1≤x1<x2≤2时，取x1=1，x2=2，可得f(x1)+故①②不是“上凸函数”；对于f(x)=x，任取1≤x1<x2≤2则f

x1+f(x要证f

x1+只需证x1+即证x1+x2-2x1x又当1≤x1<x2≤2时，x1+x2-2x1x2>2x1x则当1≤x1<x2≤2时，f

x1+x2故f(x)=x在[1，2]内是“上凸函数”.二、多项选择题(共6分)4.关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0，下列命题正确的有()A.存在实数k，使得方程无实数根B.存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根C.存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根D.存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根答案AB解析设t=x2-2x，方程化为关于t的二次方程t2+2t+k=0(*).当k>1时，方程(*)无实数根，故原方程无实数根.当k=1时，可得t=-1，则x2-2x=-1，原方程有2个相等的实数根x=1.当k<1时，方程(*)有2个实数根t1，t2(t1<t2)，由t1+t2=-2可知，t1<-1，t2>-1.因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，所以x2-2x=t1无实数根，x2-2x=t2有2个不相等的实数根.综上，A，B项正确，C，D项错误.三、填空题(每小题5分，共10分)5.若(a+1)12<(2-a)12，答案-1解析因为y=x12是定义在[0，+∞)上的增函数，又(a+1)12<所以a+1≥0，2-a≥6.幂函数y=xm(m≠0)，当m取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA，则αβ=.答案1解析因为A(1，0)，B(0，1)，BM=MN=NA，所以M13，不妨设y=xα，y=xβ分别过M1N2则23=13则23=13α=所以αβ=1.四、解答题(共14分)7.(14分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式；(4分)(2)若f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调，求实数a的取值范围；(3分)(3)当x∈-12，2时，f(x)>4mx+1恒成立，求实数m的取值范围.解(1)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3，可得函数f(x)的对称轴为x=1，又函数f(x)的最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)，又因为f(0)=3，可得f(0)=a+1=3，解得a=2，所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.(2)由函数f(x)=2(x-1)2+1，其对称轴为x=1，要使得函数f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调，则满足2a<1<2a+1，解得0<a<1故实数a的取值范围为0，(3)由函数f(x)=2x2-4x+3，若在-12，2上，f(x)>4则2x2-4x+3>4mx+1在-12即x2-2(1+m)x+1>0在-12设g(x)=x2-2(m+1)x+1，则g(x)的图象开口向上，对称轴为x=m+1，又g(x)>0在-12，2上恒成立，即当x∈-12，2时当m+1≤-12，即m≤-32时，g(x)在则g(x)min=g-12=-122-2(m+1)×-12+1>0，解得m>-94，当-12<m+1<2，即-32<m<1g(x)min=g(m+1)