高中数学 加练 专题4　第42练　解三角形中的最值与范围问题

第42练解三角形中的最值与范围问题(分值：40分)解三角形中的最值与范围问题的解题策略一般有以下几种(1)涉及周长、面积等有关的最值或范围，利用余弦定理、正弦定理，构造出边之间的关系，利用重要不等式、基本不等式及其常见变形，构造出a+b或ab的不等式，进而求出a+b或ab的最值，得到周长或面积的最值或范围.(2)如果三角形为锐角三角形，或其他条件的限制，一般采用正弦定理边化角，把要求的量构造出正弦型、余弦型函数或正切型函数，利用三角函数的性质求最值或范围，要注意角的范围限制.(3)利用正弦、余弦定理构造出关于角或边的二次函数、对勾函数等等，利用函数的性质或导数求最值或范围.一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.在锐角三角形ABC中，若C=2B，则ABAC的取值范围是(A.(0，2) B.(2，2)C.(2，3) D.(3，2)答案C解析由正弦定理及C=2B得ABAC=sinCsinB=sin2BsinB=2sinBcosBsinB=2cosB所以2cosB∈2，即ABAC的取值范围是(2，3)2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=3，b=2，则B+C的取值范围是()A.2π3，5πC.5π6，π答案B解析根据三角形三边关系可得2-3<c<2+3，即cosA=b2+c2=14易知对勾函数y=x+1x在(2-3，1)上单调递减，在(1，2+3)即cosA=14c+可得A∈0，所以B+C的取值范围是2π33.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，8sinAsinB+cosC=0，则absinCa2A.38 B.-38 C.34 D答案B解析在△ABC中，cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB，因为8sinAsinB+cosC=0，所以8sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=0，则9sinAsinB=cosAcosB，所以tanAtanB=sinAsinBcosAcosB=19，且A，B均为锐角，故tan由余弦定理的推论，得cosC=a2所以absinCa2+b2=12tan[π-(A+B)]=-12tan(A+=-12·tanA+tanB1-tanAtanB=-916又tanA+tanB≥2tanAtanB当且仅当tanA=tanB=13所以absinCa2+b2-二、多项选择题(共6分)4.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sinA-sinB)=csinC-bsinB，则下列说法正确的是()A.C=πB.若△ABC的面积为3，则c的最小值为2C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6D.若b=3，c=22，则满足条件的△ABC有且仅有一个答案BC解析∵a(sinA-sinB)=csinC-bsinB，∴由正弦定理可得a(a-b)=c2-b2，即a2+b2-c2=ab，对于A选项，由余弦定理的推论，可得cosC=a2+b∵0<C<π，∴C=π3，故A对于B选项，由题可知12absinC=34ab=∴ab=4，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=4，∴c≥2，当且仅当a=b=2时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；对于C选项，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4，∵ab≤(a+b)24，-3ab≥-3(a+b)24，则4=(a+b)2-3ab∴(a+b)2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，∵c=2，∴a+b>2，∴4<a+b+c≤6，则△ABC的周长的最大值为6，故C正确；对于D选项，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC，即8=a2+9-3a，即a2-3a+1=0，解得a=3±则满足条件的△ABC有2个，故D错误.三、填空题(共5分)5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠b).已知c=2acosA，则sinB+sinA的最大值是.答案8解析因为c=2acosA，则由正弦定理可得sinC=2sinAcosA=sin2A，A，C∈(0，π)，所以C=2A或C+2A=π，而A+B+C=π，且a≠b，即A≠B，所以C=2A，且0<A+C=3A<π，即0<A<π3所以sinB+sinA=sin3A+sinA=sinAcos2A+cosAsin2A+sinA=sinA(1-2sin2A)+2cos2AsinA+sinA=sinA-2sin3A+2(1-sin2A)sinA+sinA=-4sin3A+4sinA，令t=sinA，f(t)=-4t3+4t，t∈0，所以f'(t)=-12t2+4=-12t2-1当t∈0，33时，f'(t)>0，则f(t)当t∈33，32时，f'(t)<0，则f(t所以f(t)max=f

33=-4×333+4×3即sinB+sinA的最大值为83四、解答题(共14分)6.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA=bcosB(1)若BC边上的高h等于1，求cosA；(7分)(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.(7分)解(1)由正弦定理，asinA=bcos所以sinB=cosB，则tanB=1，又0<B<π，所以B=π4因为S△ABC=12ah=12acsin所以12×3×1=12×3×c×22，解得c又由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=32+(2)2-2×3×2×解得b=5，所以cosA=b2+=-1010(2)由正弦定理有c