2025-2026学年河南省开封市名校联考高二下学期6月阶段检测数学试题-含解析

/数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若，则（）A B. C. D.2.在等差数列中，若，则（）A.3 B.4 C.6 D.123.某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为（）A. B. C. D.4.如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（）A. B. C. D.5.已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（）A.5 B.4 C.3 D.6.已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（）A. B. C. D.8.如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（）A.只有一个极值点B.有两个极值点，且极小值点小于极大值点C.的极小值点小于极大值点，且极小值为D.的极小值点大于极大值点，且极大值为2二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.已知，则下列结论正确是（

）A.若，则B.若，则C.若，则的最大值为D.的最小值为310.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（）A. B.各项系数之和为C.只有第4项的二项式系数最大 D.第二项的系数为11.下列不等式中成立的是（）A B.C. D.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知等比数列的前项和为，若，，则______．13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．14.现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数，设轮变换后黑板上的数字为，已知在的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为，则__________.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．（1）证明函数的图象是关于点的中心对称图形（2）判断函数图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；（3）若函数的图象是弱中心对称图形，且是其弱对称中心，求实数的取值范围．16.已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表赔偿次数01234单数90060201010表1用频率估计概率，解答下列问题.已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示.上一个保险期的赔偿次数01234下一个保险期的保费表2已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保.（1）估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望；（2）求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率.17.某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布.（1）估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；（2）若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数.参考数据：若，则，，.18.已知双曲线的渐近线方程为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程.19.已知函数.（1）若函数为增函数，求的取值范围；（2）已知.（i）证明：；（ii）若，证明：.

数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据导数的定义：函数在处的导数为，所以．2.在等差数列中，若，则（）A.3 B.4 C.6 D.12答案：C解析：解答过程：在等差数列中，若，则，解得：3.某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先计算一台电器使用寿命超过小时的概率为，再由台这样的电器服从可得结果.解答过程：因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，所以元件1、元件2、元件3使用寿命超过小时的概率均为，一台这样的电器使用寿命超过小时，是元件1使用寿命超过小时，并且元件2、元件3至少有一个使用寿命超过小时，因此一台这样的电器使用寿命超过小时的概率为，显然台这样的电器，使用寿命超过小时的台数，所以台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为．故选：B．4.如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解.解答过程：连接，因为，，，分别为棱，，，的中点．则，又平面平面，所以平面，连接，则．所以四边形为平行四边形，所以．又平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.所以平面与平面间的距离为点到平面的距离.以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，，，则有，令得，故，其中，则点到平面的距离为.5.已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（）A.5 B.4 C.3 D.答案：A解析：思路：利用等差数列的性质与前项和公式即可求解.解答过程：因为，所以，所以，所以.故选：A.6.已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分别考虑函数在每一段上的单调性，结合端点函数值列出不等式求解即得.解答过程：当时，，其对称轴为，依题意，，即，此时当时，显然在上单调递减，且.综上可得.故选：A.7.袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解.解答过程：前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，；前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，；前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，.所以.故选：C.8.如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（）A.只有一个极值点B.有两个极值点，且极小值点小于极大值点C.的极小值点小于极大值点，且极小值为D.的极小值点大于极大值点，且极大值为2答案：D解析：思路：利用的几何意义可判断AB；求导，结合切点与另一个切点，可得的单调性，进而可得结论.解答过程：由，得，可得表示曲线上的过点与原点的直线的斜率，由图形可知，先增大，后减小，又增大，所以有两个极值点，且极小值点大于极大值点，故AB错误；设切点的坐标为，则由条件得有两个解，其中一个解为，另一个解设为，显然有，当时，；当时，，当，.，，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴当时，有极大值，且极大值为.当时，有极小值，且的极小值点大于极大值点，故C错误，D正确；二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.已知，则下列结论正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则的最大值为D.的最小值为3答案：BC解析：思路：由时即可判断A；由基本不等式常数“1”的等价代换即可计算求解判断B；由基本不等式即可计算判断CD.解答过程：对于A，当时，，故A错误；对于B，，当且仅当即时，取等号，故B正确；对于C，，所以，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：BC.10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（）A. B.各项系数之和为C.只有第4项的二项式系数最大 D.第二项的系数为答案：ABD解析：思路：根据二项式系数之和的公式即可判断A；令即可判断B；根据二项式系数的性质即可判断C；根据二项展开式即可判断的D.解答过程：对于，A，因为的展开式中，各项的二项式系数之和为128，所以，解得，故A正确；对于B，令，则各项系数之和为，故B正确；对于C，因为，所以第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误；对于D，第二项为，则第二项的系数为，故D正确.故选：ABD.11.下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：利用指数和幂函数的单调性可判断A，利用与比较大小即可判断B；构造函数求导判断单调性，比较与即可判断C；构造函数，求导判断单调性，比较与的大小即可判断D，进而可得正确选项.解答过程：对于选项A：因为幂函数在单调递增，，所以因为指数函数在上单调递减，所以，所以，故选项A不正确；对于选项B：因为，，所以，所以，即，故选项B正确；对于选项C：令，则所以在上递减，所以，即，故选项C正确；对于选项D：令，则，所以在上递增，在上递减，而,所以，即，所以，即，所以，故选项D正确，综上正确答案为BCD.故选：BCD方法提示：关键点点睛：本题的关键点是构造函数，通过函数的单调性比较两个函数值的大小即可判断不等式是否成立，对于看结构要想到构造函数求导判断单调性，比较与，对于这个不容易想到构造函数，比较与的大小即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知等比数列的前项和为，若，，则______．答案：解析：思路：利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.解答过程：由已知条件得，解得，∴；故答案为：.13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．答案：解析：思路：根据投影向量的定义求解．解答过程：，则方向的单位向量为，向量在向量上的投影向量为，故答案为：．14.现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数，设轮变换后黑板上的数字为，已知在的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为，则__________.答案：解析：思路：设该事件为，设“3轮变换后”为事件，利用列举法，求得事件的路径及其概率，得到，结合条件概率的计算公式，列出方程，即可求解.解答过程：因为初始数字为2，可得“第1轮变换前后数字之差为1”等价于“第1轮执行加1变换”，设该事件为，设“3轮变换后”为事件，列举所有3轮变换的路径，满足事件的路径及其概率分别为：加1､加1､乘2概率为，加1､乘2､乘2概率为，乘2､加1､乘2概率为，乘2､乘2､加1概率为，乘2､乘2､乘2概率为，求和得，事件包含前两条路径，其概率，因为，由条件概率公式可得，整理得，解得或，结合可得.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．（1）证明函数的图象是关于点的中心对称图形（2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；（3）若函数的图象是弱中心对称图形，且是其弱对称中心，求实数的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）不是，理由见解析（3）解析：思路：（1）直接根据定义即可证明；（2）根据定义列出方程，并证明无解；（3）先根据题目条件证明，再对每个构造相应的，即可得到答案.（1）对任意的，都有.所以函数的图象是关于点的中心对称图形．（2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形．理由如下：假设，，使得，则.从而，即，解得，与矛盾.所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形.（3）①一方面，若存在，，使得，根据对称性，不妨设.假设，则，从而由可知，故，矛盾，所以.故，那么，从而由可知.所以.②另一方面，若，此时令，则.此即，且.从而，这就意味着，故.而，故，从而.这就说明存在，，使得.综合①②两个方面可知，实数的取值范围为．方法提示：关键点点睛：本题的关键在于对弱对称中心图形的定义的理解.16.已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表赔偿次数01234单数90060201010表1用频率估计概率，解答下列问题.已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示.上一个保险期的赔偿次数01234下一个保险期的保费表2已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保.（1）估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望；（2）求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率.答案：（1）1944（2）解析：思路：(1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望．(2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可．（1）X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800；，，，即X的分布列为X1900220024002800P数学期望为：元（2）甲2026年参保的保费大于2000元的概率为甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括：2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0；2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为其概率，故所求的概率为17.某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布.（1）估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；（2）若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数.参考数据：若，则，，.答案：（1）（2）8186人解析：思路：（1）由，结合对称性即可求解；（2）由正态分布对称性即可求解.（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，可得，则，所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；（2）解：则，，所以估计成绩在内的学生人数为8186人.18.已知双曲线的渐近线方程为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程.答案：（1）（2），或或.解析：思路：（1）根据题意得，进而解方程即可得答案；（2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可.（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点，所以，，