2025-2026学年河南省新乡市部分民办高中高一下学期期中考试数学试题-含解析

/数学第一部分（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足，为虚数单位，则（

）A. B. C. D.2.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（）A.2 B. C. D.3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（）A. B. C. D.4.一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（）A.32 B. C. D.5.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（）A. B. C. D.6.在中，边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.7.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（）A. B. C. D.8.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（

）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A.z在复平面内对应的点位于第四象限 B.若复数，则C.z的共轭复数为 D.z的虚部为10.（多选题）下列说法错误的是（）A.斜棱柱的侧棱垂直于底面B.正棱柱的高可以与侧棱不相等C.六个面都是矩形的六面体是长方体D.底面是正多边形的棱柱为正棱柱11.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A.若，则有两解B.若，则是钝角三角形C.若为锐角三角形，则D.若，则的最小值为6第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数为纯虚数，则实数的值为_____________．13.已知向量，．若，则______．14.彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求；（2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.16.如图所示，在中，．（1）用表示；（2）若，证明：三点共线．17.已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．18.在中，角，，所对的边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2）若，设为的中点，且，求的周长.19.如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：（1）该三棱锥的体积与表面积；（2）蚂蚁爬行的最短路线长.

数学第一部分（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足，为虚数单位，则（

）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：依题意，.2.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积.解答过程：如图，的直观图是，则，则的面积为.故选：C.3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量的公式可求投影向量.解答过程：向量在向量方向上的投影向量为，故选：A.4.一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（）A.32 B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解.解答过程：若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为；若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为.故选：D.5.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意利用正弦定理可得.解答过程：由正弦定理得，得．故选：A.6.在中，边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由平面向量的线性运算即可.解答过程：为的中点，，.故选：A.7.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解.解答过程：由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，解得或，又，所以，则，所以.故选：C8.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得.思路：依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示：因为，所以为边长为的等边三角形，又，且，所以是的中位线，设，则平面，且，所以正四棱台的高，所以正四棱台的体积.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A.z在复平面内对应的点位于第四象限 B.若复数，则C.z的共轭复数为 D.z的虚部为答案：BD解析：思路：利用复数除法运算化简复数，根据复数的相关概念及几何意义逐项判断可得答案.解答过程：.对于A，z在复平面内对应的点为，位于第三象限，A错误；对于B，因为，所以，所以，B正确；对于C，z的共轭复数为，C错误；对于D，的虚部为，D正确.故选:BD.10.（多选题）下列说法错误的是（）A.斜棱柱的侧棱垂直于底面B.正棱柱的高可以与侧棱不相等C.六个面都是矩形的六面体是长方体D.底面是正多边形的棱柱为正棱柱答案：AD解析：思路：根据棱柱的性质可得解答过程：A.斜棱柱的侧棱与底面不垂直，故A错误；B.正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故B正确；C.根据长方体的定义，六个面都是矩形的六面体是长方体，故C正确；D.正棱柱的定义是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱（即直棱柱），选项D的描述缺少“侧棱垂直于底面”或“是直棱柱”的条件，故D错误．11.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A.若，则有两解B.若，则是钝角三角形C.若为锐角三角形，则D.若，则的最小值为6答案：ABC解析：思路：根据正弦、余弦定理逐项判断A，B，C，根据复数的模结合三角不等式即可判断D.解答过程：对A：由，所以有两解，故A正确；对B：由余弦定理：，所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确；对C：因为三角形为锐角三角形，所以，即，故C正确；对D：因为，所以，即时取最小值1，故D错误.故选：ABC第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.复数为纯虚数，则实数的值为_____________．答案：解析：思路：先计算复数，由复数为纯虚数，即实部为零即可求解.解答过程：由，所以，因为复数为纯虚数，所以，即.故答案为：.13.已知向量，．若，则______．答案：解析：思路：先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值.解答过程：∵，，∴，由得，解得，解得.故答案为：.14.彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________.答案：解析：思路：在中，由正弦定理可得，再由可得答案.解答过程：因为，，所以，在中，由正弦定理可得，可得，在直角三角形中，，所以.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求；（2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）设出复数的代数形式，结合已知列出方程组，求解并验证即得.（2）利用复数代数形式的加减乘运算求出，再借助几何意义列出不等式组求解即得.解答过程：（1）设，由，且，得，解得，而复数在复平面内对应的点在第一象限，，所以.（2），由复数在复平面内对应的点在第二象限，得，解得，所以实数的取值范围是.16.如图所示，在中，．（1）用表示；（2）若，证明：三点共线．答案：（1），（2）证明见解析解析：思路：（1）根据平面向量的线性运算结合图形计算即可；（2）根据平面向量共线定理证明与共线，即可得证.（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，即与共线，因为与有公共点B，所以三点共线．17.已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）或；（2）.解析：思路：（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得.（2）利用向量夹角公式，列式求解即得.（1）由，得，由，设，由，得，解得，所以的坐标是或.（2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围是.18.在中，角，，所对的边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2）若，设为的中点，且，求的周长.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）正弦边角关系有，结合三角形内角的性质、三角恒等变换化简得，即可求解；（2）由题意，应用向量数量积的运算律、定义得，由余弦定理得，进而可得，即可得周长.（1）∵，由正弦定理得，即，∴，又，所以，从而.（2）∵为的中点，∴，两边平方可得，即①，在中，由余弦定理得②，由①②可得，，，所以，即.所以的周长为.19.如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：（1）该三