2025-2026学年湖南省浏阳市高二下学期期末质量监测数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知斜率为2的直线经过点，，则（）A. B.2+2 C.1 D.02.已知直线，若，则的值为（）A. B.3 C.-1 D.3或-13.已知抛物线y2=2px上一点到其焦点的距离为4，则A.3 B. C.6 D.4.如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（）A. B.C. D.5.某物体运动时，位移（米）与时间t（秒）之间的关系式为：，且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（）A.1米/秒 B.2米/秒 C.4米/秒 D.无法确定6.在一个数列中，如果∀n∈N*，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且，公积为8，则（）A.4719 B.4721 C.4723 D.47247.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A. B.−32 C. D.8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，点A. B.53 C.2 D.7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（）A.B.若m=−4，则C.若，则D.若，则a⊥10.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A,B，为抛物线上一个动点，，则（）A.的坐标为B.的最小值为2C.若，则过与抛物线相切的直线的方程为D.的最小值为311.如图，在边长为2的正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为6+C.三棱锥的体积是定值83D.存在点P使直线D1P与直线AP三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，成等比数列，则__________．13.若圆与圆相交于点A,B，则__________．14.已知函数，若，则函数的最小值为______;若，都有，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C方程为.（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）求直线被圆C截得的弦长.16.数列an的前项和为Sn，且，在等差数列中，．（1）求数列an和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．17.已知椭圆，其中离心率为22，长轴长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点0,2的直线交椭圆于A,B两点，为坐标原点，若的面积为2，求.18.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．19.已知，函数f(x（I）求曲线y=f(（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得f(x)≤a+

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知斜率为2的直线经过点，，则（）A. B.2+2 C.1 D.0答案：B解析：思路：应用斜率的两点式列方程求参数值.解答过程：由题设，可得.故选：B2.已知直线，若，则的值为（）A. B.3 C.-1 D.3或-1答案：A解析：思路：根据直线平行公式计算求参.解答过程：当或a=0时两直线不平行，当且时，因为，所以，故选:A．3.已知抛物线y2=2px上一点到其焦点的距离为4，则A.3 B. C.6 D.答案：C解析：思路：利用抛物线的定义即可求解.解答过程：点在抛物线y2=2px上，抛物线开口向右，p>0又点到抛物线焦点的距离为4，，.故选：C.4.如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解.解答过程：根据题意，.故选：A5.某物体运动时，位移（米）与时间t（秒）之间的关系式为：，且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（）A.1米/秒 B.2米/秒 C.4米/秒 D.无法确定答案：A解析：思路：由导数的定义及瞬时速度的概念可得.解答过程：由题意可得，所以，所以该物体在2秒末的瞬时速度为1米/秒.故选：A6.在一个数列中，如果∀n∈N*，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则（）A.4719 B.4721 C.4723 D.4724答案：B解析：思路：先根据题干已知条件及递推公式逐项代入进行计算即可发现数列{an}解答过程：依题意，由，及，可得当时，，解得，当n=2时，，解得a4当时，，解得，当n=4时，，解得，数列{an，，，．故选：B7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A. B.−32 C. D.答案：C解析：思路：转化为点与点2,0连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.解答过程：记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），即的最小值为.故选：C.8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，点A. B.53 C.2 D.7答案：B解析：思路：利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率.解答过程：如图所示，由已知得，且，，则又由双曲线定义可知，即，而，可得，即，解得（舍）或，所以离心率，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（）A.B.若m=−4，则C.若，则D.若，则a⊥答案：ABD解析：思路：利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由m=−4可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C错误；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D正确.解答过程：由可知，即A正确；当m=−4时，则，满足，因此，即B正确；当时，易知，所以，可知C错误；当时，可得，满足，可知a⊥b，即D正确.故选：ABD10.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A,B，为抛物线上一个动点，，则（）A.的坐标为B.的最小值为2C.若，则过与抛物线相切的直线的方程为D.的最小值为3答案：ACD解析：思路：利用抛物线的性质求解焦点判断A，举反例判断B，联立方程组，令判别式为0求解切线斜率，进而得到切线方程判断C，利用抛物线的定义求解最小值判断D即可.解答过程：对于A，由抛物线性质得的坐标为，故A正确，对于B，当的斜率不存在时，可得的方程为x=1，联立方程组，解得x=1，，得到，，则，得到的最小值不可能为2，故B错误，对于C，若，设切线方程为不为，联立方程组，可得，此时，解得k=1，则，即，故C正确，对于D，如图，作出符合题意的图形，作QM垂直于准线，由抛物线定义可得，当且仅当三点共线时取等，此时，可得PM=3，则的最小值为3，故D正确.故选：ACD11.如图，在边长为2的正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为6+C.三棱锥的体积是定值83D.存在点P使直线D1P与直线AP答案：AB解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断.解答过程：建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设，则.对于选项A：因为，故，故A正确;对于选项B:结合题意易得：，当时，取得最小值为6+2，故B正确;对于选项C:因为平面平面，则平面，所以三棱锥的体积为，故C错误；对于选项D:因为，，设D1P与AP的夹角为则，因为，则，故不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为，故D错误.故选:AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，成等比数列，则__________．答案：解析：思路：利用等比中项的定义列方程，求出m．解答过程：，，成等比数列，或m=−4．而当m=−4时，，不合题意∴m故答案为：13.若圆与圆相交于点A,B，则__________．答案：解析：思路：根据两圆相交的性质，求得两圆的公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求得其中一个圆的圆心到此直线的距离，再利用弦长公式进行计算即可.解答过程：圆，即;圆，即,两圆相减得直线：，圆的圆心坐标为，半径为，到直线的距离直线，弦长为，故答案为：14.已知函数，若，则函数fx的最小值为______;若，都有，则实数的取值范围为______.答案：①.②.解析：思路：导数法判断单调性；即可求出最小值；由题意易知，在单调递增，从而，即可解题.解答过程：若，则，∴，当时，，fx单调递减；当时，，fx单调递增.∴.若，都有，则，∴在单调递增，∴在恒成立，∴即，又，当且仅当x=1∴a≤2故答案为：；−∞,2四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C方程为.（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）求直线被圆C截得的弦长.答案：（1）圆心坐标为，半径为2；（2）22.解析：思路：（1）写出圆的标准方程即得解；（2）求出圆心到直线的距离即得直线被圆C截得的弦长.解答过程：（1）由题得圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为2.（2）由题得圆心到直线的距离为，所以直线被圆C截得的弦长为.方法提示：结论点睛：直线被圆所截得到的弦长（其中为圆的半径，d为圆心到直线的距离）.16.数列的前项和为Sn，且，在等差数列中，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用an与Sn之间的关系可得数列的通项公式；利用等差数列的通项公式列方程组可得数列的通项公式.（2）利用错位相减法可求得.（1）当时，，即；当时，由得，则两式相减得，即，，综上可知，是首项，公比的等比数列，则，即.设等差数列的公差为d，则，即，解得，所以，即.故，.（2）由（1）知，，则①，②，①②得，整理得，即，所以.17.已知椭圆，其中离心率为，长轴长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点0,2的直线交椭圆于A,B两点，为坐标原点，若的面积为2，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由长轴长为4，得出，由离心率为，求出c，再根据即可得出椭圆的标准方程；（2）由题意知直线的斜率存在，画出图形，设直线，联立直线与椭圆方程化简写出韦达定理，利用弦长公式求出，再求出原点到直线的距离d，表示出三角形的面积，解出参数，求出即可.（1）因为长轴长为，所以a=2，由离心率为，可得，从而，故椭圆的方程为.（2）由题意知当直线的斜率存在设为，记C0,2，如图所示：故设直线，Ax1联立，整理得：，由解得：，由韦达定理得：，所以，又原点到直线的距离为：，则，即，解得：满足题意，所以.18.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．答案：(Ⅰ)证明：由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)；(Ⅲ)直线AG是否在平面AEF内，理由如下：易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.解析：思路：(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.解答过程：(Ⅰ)略(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.(Ⅲ)略19.已知a>0，函数f（I）求曲线y=f(（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得f(x)≤a+答案：（I）y=(（II）令f′(x令g(x)=(当x∈(−∞,−2)时，g′(x)<0，单调递减；当x∈(−2,+∞)当x→−∞时，gx<0，g−1=0，当x所以当a>0时，与y=gx仅有一个交点，令gm=当x∈(−∞,m)时，a>g当x∈m,+∞时，a<g为fx的