2025-2026学年湖南省长沙市铁路第一中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

/数学满分150分，考试时量120分钟，考试时间：2026年5月13日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的子集个数为（）A.16 B.32 C.64 D.1282.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.44.若，且，则（）A. B. C. D.5.已知非零向量满足，且，则（）A. B. C. D.6.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.7.已知正数a，b满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.函数的图象（）A.关于原点对称 B.关于轴对称C.在上单调递增 D.在上单调递减10.若平面向量，，其中，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若在上的投影向量为，则C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.若，则的最小值为211.如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面截正方体所得的截面可能是五边形B.一定是锐角三角形C.当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为D.的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．13.已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．16.已知函数．（1）求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象；（2）求函数的最大值、最小值及相应的的值；（3）若，求函数的取值范围．17.如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值．18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，设点为的费马点，求；（3）设点为的费马点，求的最小值.19.如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，.（1）求直线与所成角的余弦值.（2）设是线段上的动点（含端点）.（i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值.（ii）当平面时，求的值.

数学满分150分，考试时量120分钟，考试时间：2026年5月13日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的子集个数为（）A.16 B.32 C.64 D.128答案：B解析：解答过程：，故子集的个数为.2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数除法的分母实数化，先化简复数，再求共轭复数，最后判断复平面内点的象限.解答过程：，则其共轭复数为，实部，虚部，故对应点位于第四象限.3.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.4答案：C解析：解答过程：．4.若，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解.解答过程：因为，所以，又，所以，所以.5.已知非零向量满足，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由可得：，整理可得：，根据数量积定义可得：，又因为，所以，又因为为非零向量，所以，所以等式约去，整理可得：.6.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象对应的函数解析式为，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为.7.已知正数a，b满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，，，当且仅当，时，等号成立，的最小值为．8.若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形答案：D解析：思路：由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案.解答过程：分别是非零向量同向的单位向量，因为，所以角的角平分线与垂直，即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形.由，得.又，所以.因此，是等边三角形.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.函数的图象（）A.关于原点对称 B.关于轴对称C.在上单调递增 D.在上单调递减答案：AC解析：解答过程：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误；因为函数和函数在上均为增函数，所以在上单调递增，故C正确，D错误.10.若平面向量，，其中，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若在上的投影向量为，则C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.若，则的最小值为2答案：BCD解析：思路：根据平面向量的坐标运算、平行与垂直判定、投影向量、向量夹角条件及基本不等式求最值，逐项分析即可判断．解答过程：选项A：由2a+b解得，故a=12,2因12×2−2×1=−1≠0，所以与不平行，故A错误；选项B：因在上的投影向量为，而a→·b→则a→⋅b解得，故，即B正确；选项C：由，即，又与的夹角为锐角，则m×1+2>0m×1≠2×1，解得，且所以的取值范围为，故C正确；选项D：由，则，又z=当且仅当，即时取等号，即的最小值为2，故D正确．11.如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面截正方体所得的截面可能是五边形B.一定是锐角三角形C.当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为D.的最小值是答案：AD解析：思路：对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离．解答过程：对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长，分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点，连接此时截面为五边形，所以A正确；对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，，此时因为，故为钝角，所以B错误；对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则，所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形,易知，所以其截面面积为，故C错误；对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得，连接与于P点，此时，故D正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．答案：1解析：思路：方法一：利用复数的模的性质及复数的运算性质得，进而得，再计算模即可．方法二：同方法一得，再根据计算即可;解答过程：解法一：设复数，则，所以；因为，所以，整理得：，即，因为，所以，所以，即，所以．解法二（秒杀技）：同方法一得：，所以．13.已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____．答案：解析：解答过程：由的周期为2，可得，由是奇函数，可得，再由的周期为2，可得，因为当时，，所以，即.14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______．答案：解析：思路：先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.解答过程：由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.16.已知函数．（1）求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象；（2）求函数的最大值、最小值及相应的的值；（3）若，求函数的取值范围．答案：（1），图象见解析（2）当时，有最大值，当时，有最小值.（3）解析：思路：（1）根据三角恒等变换化简，利用周期公式求周期，“五点法”画图象即可；（2）根据正弦型函数的最值求解；（3）利用正弦型函数在所给区间上的值域求解.（1）因为，所以，在区间上取，可得下表：据此可作出函数在上的大致图象如下：（2）当时，即，时，有最大值，当时，即，时，有最小值.（3）当时，，所以，所以.17.如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）利用面面垂直的性质得出平面，可得出直线与平面所成角，求出、的长，即可求解；（2）取的中点，连接、，则，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立；（3）过点在平面内，作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，计算出三边边长，即可求得的余弦值.（1）连接交于点，连接，不妨设，因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则，因为为的中点，且，因为，所以，即点为的中点，翻折前，，翻折后，则有，则，即，因为，为的中点，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，故直线与平面所成角，易知，，，故，即，所以，故.（2）取的中点，连接、，则，因为，则，因为平面，则平面，平面，所以，因为，、平面，故平面，因为平面，故.（3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，因为平面，平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，故，因为，，、平面，故平面，因为平面，故，故二面角的平面角为，因为，为的中点，故，在平面内，，，则，所以，故，所以，故，，由勾股定理可得，故，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，设点为的费马点，求；（3）设点为的费马点，求的最小值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理，可得三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理可得角.（2）根据费马点的概念可分别表示，再利用，结合三角形面积公式，即可求出所需要的结果.（3）结合费马点的概念及勾股定理，可得.设，，再利用基本不等式，可求的最小值，即为所求.（1）因为，根据正弦定理可得，所以是以角为直角的直角三角形.所以.（2）因为为的费马点，所以，所以，，.又，所以，所以.（3）因为为的费马点，所以.由余弦定理，，，.又，所以.设，，.则，又，当且仅当时取等号.所以，由，所以.即的最小值为，当且仅当时取等号.19.如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的