2025-2026学年江苏南京师范大学附属中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.22.已知是空间两条直线，是一个平面，若”是“m∥n”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，，则（）A. B. C. D.4.在中，已知，，则（）A. B. C. D.或5.已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.6.已知，，且，，则为（）A. B. C. D.或7.已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（）A. B. C. D.8.在中，角的对边分别为，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（）A.若，则或B.若，，，则C.若，则D.一定为实数10.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（）A.B.若E，F分别是所在棱的中点，则平面C.若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形D.存在点E，使得平面11.已知分别是斜三个内角的对边，且对恒成立．则下列结论正确的有（）A. B.C.若，则的面积最大值为3 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在锐角中，已知，，，则的面积等于______13.在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______14.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，．（1）求证：；（2）若，且，求．16.如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形．（1）求证：平面；（2）若平面，且，求直线与平面的夹角．17.当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活．“五一”假期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观景台的圆心分别为A，B，C，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内．“行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m；为锐角三角形，它的三边满足关系式：．根据上述条件，解答下列问题：（1）定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”．试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由；（2）若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积（内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留）．18.在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点．（1）求角C；（2）已知D是边AB上一点，．①若，求的最小值；②若存在，使得，且，求的周长．19.设函数．（1）求的值；（2）求方程的最小的9个正实数解之和；（3）已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.2答案：D解析：思路：先利用复数除法求得复数z，进而求得复数z的虚部解答过程：由，可得则复数z的虚部为2故选：D2.已知是空间两条直线，是一个平面，若”是“m∥n”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：分别讨论充分性和必要性，即可选出答案．解答过程：充分性：由直线和平面垂直的性质定理，可知“若，则”能够推出，故充分性成立；必要性：当时，若，显然成立．故若，则“”是“”的充要条件，故选C.方法提示：本题考查了直线和平面垂直的性质定理，及平行线的性质，属于基础题．3.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先得到的范围，求出sinα+解答过程：∵∵cos∴sin∴=34.在中，已知，，则（）A. B. C. D.或答案：B解析：思路：先判断角的范围，求得，再根据正弦定理确定的大小关系，从而判断角的范围求得，再用诱导公式结合两角和的余弦公式计算．解答过程：∵，∴为锐角，，由正弦定理，得，所以，故为锐角，∴，．5.已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为向量，的夹角为钝角，所以，解得.6.已知，，且，，则为（）A. B. C. D.或答案：A解析：解答过程：因为，，所以，由同角三角函数的基本关系得，由两角和的正切公式得，而，，可得，故，因此．7.已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由得a+b2=在上的投影向量为：a+b⋅8.在中，角的对边分别为，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由正弦定理和三角函数恒等变换公式对已知式子化简可求得，再由平分结合面积公式，可得，然后利用基本不等式可求得结果解答过程：已知a2由余弦定理，又，所以，由等面积法知，又平分，则12absin所以有，即，因此4a当且仅当时取等．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（）A.若，则或B.若，，，则C.若，则D.一定为实数答案：ABD解析：思路：对于A：根据分析判断即可；对于B：根据运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算分析判断.解答过程：设，，，则，.对于选项A：因为，则或，所以或，故A正确；对于选项B：因为，即，可得，故B正确；对于选项C：例如，，则，，可得，符合题意，但，故C错误；对于选项D：因为，所以一定为实数，故D正确．10.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（）A.B.若E，F分别是所在棱的中点，则平面C.若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形D.存在点E，使得平面答案：ABC解析：思路：A.通过线面垂直证明线线垂直；B.通过线线平行证明线面平行；C.画图可得；D.由与不垂直，知不存在点E，使得平面.解答过程：在正方体中有，，又平面,所以平面，因为平面，所以，故A对；在B中，由中点得，即有，在C中，如图，延长，分别交直线、于，连接交于，连接，交于，则可得如图所示的截面，此时截面为五边形，故C对；因为四边形是矩形，非正方形，所以与不垂直，若存在点E，使得平面，平面，则，矛盾，所以不存在点E，使得平面，故D错.11.已知分别是斜三个内角的对边，且对恒成立．则下列结论正确的有（）A. B.C.若，则的面积最大值为3 D.的最小值为答案：BC解析：思路：利用向量模的运算，结合一元二次不等式恒成立，得到一个结论且，再利用这个结论结合向量的线性运算可判断A，结合直角三角正切函数可判断B，利用面积变换，结合不等式求最值可判断C，利用三角形内角和及正切的和角公式可判断D.解答过程：由已知得：AC−13化简得：c2因为上式对恒成立，所以2bccos化简得：bcos即，则作垂足为，有，所以，因为AC⋅因为tanA因为，即，所以，所以当且仅当时取等号，故C正确；因为，所以，当且仅当时取等，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在锐角中，已知，，，则的面积等于______答案：解析：解答过程：由余弦定理得，解得或，因为最大边为，所以，即，即，故舍，此时．13.在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______答案：解析：解答过程：由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F，因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知，所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值.在中，，，由余弦定理．所以异面直线和所成角的余弦值为.14.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______答案：解析：思路：根据任意三角函数值的定义可知x2=cos解答过程：由题意可知：x2因为，则，若，则，且，可知，则sinα所以y1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，．（1）求证：；（2）若，且，求．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先设，，a，b，c，，再代入计算即可证明；（2）先求出，，再结合（1）即可求出．（1）设，，a，b，c，，z1（2）因为z1=−1+2i由（1）得，所以20=5⋅z16.如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形．（1）求证：平面；（2）若平面，且，求直线与平面的夹角．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证；（2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角.（1）设中点为，又因为是的中点，所以且，因为底面是菱形且是的中点，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为，面，面，所以面.（2）设中点为，又因为是中点，所以，因为面，面，面，所以，.又因为，所以，，因为，，，面，所以面，所以是直线与面的夹角.又由（1）知，所以是直线与面的夹角，由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形.又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为.17.当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活．“五一”假期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观景台的圆心分别为A，B，C，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内．“行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m；为锐角三角形，它的三边满足关系式：．根据上述条件，解答下列问题：（1）定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”．试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由；（2）若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积（内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留）．答案：（1）是，（2）解析：思路：（1）由正弦定理对进行边角互化，根据平方差公式、两角和差化积公式、二倍角的正弦公式进行化简，可得，即为“倍角三角形”.由锐角三角形中各角均为锐角，列得关于的不等式，求解可得的范围，即幸运角的取值范围；（2）由已知条件可直接求出，由正弦定理及二倍角公式可求得，根据三角形的面积公式可得的面积，减出三角形内部三个观景台的面积，即为围成区域内湖面的面积.（1）已知，由正弦定理得，即有，得，得，因为，所以sinB+所以，又在中，，所以，即，或B−C+因此是倍角三角形.由锐角三角形得0<A<π20<因此幸运角的取值范围是；（2）由，，，得AC2=三边长都大于圆心观景点的半径，所以内观景台部分面积为，在中，由正弦定理，得，其中，所以有，解得，所以，sinC=6所以S△因此围成区域内湖面的面积为30015−818.在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点．（1）求角C；（2）已知D是边AB上一点，．①若，求的最小值；②若存在，使得，且，求的周长．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，代入已知等式化简得到，从而得到角C；（2）①为中点，将表示为12(CA+CB)②先根据向量性质判断为边上的高，结合①和面积公式求出，即可得到三角形周长.（1）由正弦定理得，即有2sinAcosC+即有，因为，所以，即.（2）①由余弦定理得，又基本不等式得，故有，当且仅当时取等，由得，即CD2所以的最小值是2；②由已知得CD⋅即CD⋅AB=即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2，由等面积法得12absinC=1由①知，所以有a+b2=所以，因此三角形的周长为．19.设函数．（1）求的值；（2）求方程的最小的9个正实数解之和；（3）已知a，b均为正实数，