2025-2026学年江苏省连云港市灌南华侨高级中学高二下学期5月月考检测数学试题-含解析

/数学（分值：150分时间：120分钟）1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.设向量，，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.32.如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.若随机变量，，则（）A. B. C. D.5.设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A. B.或在平面内C. D.或6.用这个数字，组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A. B. C. D.7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（

）A. B. C. D.8.今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（）第年1234567利润亿元2.93.33.64.44.85.25.9A.变量与负相关 B.C.当时，残差为 D.预测当时，利润约为亿元10.已知正方体，则（）A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面ABCD所成的角为11.已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（）A.B.展开式中存在常数项C.展开式的所有项的系数和为128D.能被7整除三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知随机变量，则______.13.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的两根，求tanC=___________.14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知中，AB=6,∠ABC=45∘,∠（1）求的长；（2）若，求的长.16.如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离．17.某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表：男生女生合计了解501565不了解201535合计7030100（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？（2）从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82818.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．19.甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球.（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，①求从乙箱中取出的球是白球的概率.②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率.

数学（分值：150分时间：120分钟）1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.设向量，，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：解答过程：由，得，∵，，∴，解得.2.如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示，∵M为的中点，，AA1=，∴BM3.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，．4.若随机变量，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二项分布的性质求解即可.解答过程：因为，所以，解得，所以.5.设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A. B.或在平面内C. D.或答案：C解析：思路：计算出，即可判断得解.解答过程：∵，∴.又因直线在平面外，∴.6.用这个数字，组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：分两类：个位为和个位不为，当个位为时，从剩余的个数字中取出个放在十位和百位，有种取法，当个位不为时，第一步，确定个位上的数字，可以从中取出个，有种取法，第二步，确定百位上的数字，从除外剩余的个数字中取出个，有种取法，第三步，从包含在内的个数字中取出个，有种取法，根据分步乘法计数原理，个位不为的三位偶数有个，故所求没有重复数字的三位偶数的个数为.7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得.思路：依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示：因为，所以为边长为的等边三角形，又，且，所以是的中位线，设，则平面，且，所以正四棱台的高，所以正四棱台的体积.8.今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：D解析：解答过程：已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法：①：；②：；不同的分配方案共有种．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（）第年1234567利润亿元2.93.33.64.44.85.25.9A.变量与负相关 B.C.当时，残差为 D.预测当时，利润约为亿元答案：BC解析：思路：根据数据即可判断选项A；根据数据求出，的值，从而得到线性回归方程，进而分析选项B，C，D即可．解答过程：对于A，由数据知，随的增大而增大，所以变量与正相关，故A错误；对于B，，，由经验回归直线过样本中心点，得4.3=4b+2.3，解得对于C，结合B得，当时，，则残差为3.6−3.8=−0.2，故C正确；对于D，结合B得，当时，，故D错误．10.已知正方体，则（）A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面ABCD所成的角为答案：ABD解析：思路：数形结合，依次对所给选项进行判断即可.解答过程：如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD11.已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（）A.B.展开式中存在常数项C.展开式的所有项的系数和为128D.能被7整除答案：AD解析：解答过程：由题意得，，得，负值舍去，故A正确；通项为，因为，所以展开式中不存在常数项，故B错误；令，则展开式的所有项的系数和为，故C错误；，故能被7整除，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知随机变量，则______.答案：0.7##解析：解答过程：由可得正态分布曲线的对称轴为：，所以：.13.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的两根，求tanC=___________.答案：-7解析：思路：利用韦达定理结合诱导公式和两角和与差的三角公式求解即可.解答过程：由题意可得tanA+tanBtanAtanB=，所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)==-7，故答案为：-7.14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答）答案：24解析：解答过程：因为丙、丁相邻，所以将丙、丁“捆绑”，可得丙、丁的排列方法有种；“丙、丁”整体与戊的排列方法有种；“丙、丁”整体与戊排列后，形成3个空位，从这3个空位中选2个安排给甲、乙，排列方法有；所以，满足甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为种.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知中，AB=6,∠ABC=45∘,∠（1）求的长；（2）若，求的长.答案：（1）2（2）解析：思路：（1）在中，利用正弦定理运算求解即可；（2）在中，利用余弦定理运算求解即可.（1）在中，由正弦定理得，且AB=所以.（2）因为，则，在中，由余弦定理得AD=A16.如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由异面直线夹角余弦公式进行求解；（2）求出平面的法向量，利用相关公式求出点到平面的距离.（1）因为平面，平面，所以，．又因为，，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，．所以，，设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为；（2）由（1）知，，，．设平面的法向量为，则，所以，令，则，．所以平面的一个法向量为．所以点到平面的距离为．17.某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表：男生女生合计了解501565不了解201535合计7030100（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？（2）从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联.（2）数学期望.012解析：思路：（1）使用的计算公式求解；（2）使用超几何分布概率公式求解.（1）零假设：对“大语言模型”的了解程度与性别无关联.根据表中数据，计算得到χ2根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联.（2）由题知抽取的7名男生中，对“大语言模型”了解的有7×50对“大语言模型”不了解的有7×20则再从这7人中选取2人，的可能取值为，，所以的分布列为012数学期望.18.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则，又平面PCE，EC⊂平面，所以平面；（2）由平面平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又DE⊥CD，BC=所以平行四边形为正方形，所以，又，，又平面，平面，由平面，所以平面平面；（3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又因为平面，所以，故为二面角的平面角，即∠PDA=45