2025-2026学年江苏省南通市启东市第一中学高一下学期第二次素质检测数学试题-含解析

/数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知非零向量，，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设复数满足，则的虚部为（）．A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知平面向量，，满足，，，则（）A. B. C.1 D.25.如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（）A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（）A. B. C. D.7.在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.8.如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（）

A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，，则下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知函数，则（）A.B.在区间上单调递增C.若的图象关于直线对称，则的最小值是2D.若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是11.如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，F,M分别是棱AD,CD的中点，则下列结论中正确的是（）A.B.当为中点时，C.存在点，使得平面平面D.点到平面ABC的距离为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为______.13.如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若AE⋅BF=−2，则______．14.设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）．（1）求的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．16.如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．17.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求周长的最大值．18.如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点．（1）若，证明：；（2）若，求的值；（3）若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面．（1）证明：平面；（2）求的值；（3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知非零向量，，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据平面共线向量的坐标表示求得，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论.解答过程：易知，由，得，解得或（舍去），所以“”是“”的充要条件.故选：C2.设复数满足，则的虚部为（）．A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部.解答过程：，，因此，复数的虚部为.故选：B.3.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用二倍角的余弦公式可求得结果.解答过程：由二倍角的余弦公式可得．故选：A．4.已知平面向量，，满足，，，则（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：思路：根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案.解答过程：由可得，即，即，所以，故选：D.5.如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得.解答过程：在中，，，则，由正弦定理得，则，在中，，所以.故选：D6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先根据三角函数的变换规则得到，根据奇偶性求出的取值，即可得解.解答过程：将函数的图象向左平移个单位得到：，又函数是奇函数，所以，解得，又，所以当时取得最大值，最大值为.故选：D7.在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：试题分析：设,故选C.考点：解三角形.8.如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（）

A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.解答过程：设是的中点，连接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以，由得.在中，，在中，，在中，由余弦定理得：，所以，由于，所以两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，，则下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BC解析：思路：取特殊值判断A、D；应用复数乘法的几何意义及共轭复数的性质判断B、C.解答过程：对于A，取，显然满足，但，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，取，满足，但，所以，故D错误．故选：BC10.已知函数，则（）A.B.在区间上单调递增C.若的图象关于直线对称，则的最小值是2D.若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是答案：AC解析：思路：由余弦二倍角公式及辅助角公式可判断A，由，求得的范围，可判断B，通过对称轴代入，可判断C，由，求得的范围，再结合正弦函数性质可判断D.解答过程：因为fx因为，所以π6<ωx+π6因为的图象关于直线对称，所以−π3ω又因为，所以，所以当时，取得最小值，最小值是，C正确；因为，所以，因为在区间上有且只有一个最大值，所以，所以13<11.如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，F,M分别是棱AD,CD的中点，则下列结论中正确的是（）A.B.当为中点时，C.存在点，使得平面平面D.点到平面ABC的距离为1答案：ABD解析：思路：由题设得、、是边长为的等边三角形，且必交于一点，即可判断A、B、C；由线面平行的判定证平面ABC，再由已知判断D.解答过程：由平行且相等，则为平行四边形，故，又F,M分别是棱AD,CD的中点，则，故，A对；由题设易知是边长为的等边三角形，所以为中点时，有，即，B对；在平面内，必交于一点，又平面，平面，所以平面，平面必交于一条直线，C错；由，平面ABC，平面ABC，则平面ABC，动点在线段上，结合已知点到平面ABC的距离为1，D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为______.答案：解析：思路：根据圆锥的侧面积列式求得圆锥母线长为，然后代入圆锥表面积公式计算即可.解答过程：设圆锥的母线为，因为底面半径，则，所以，所以该圆锥的表面积.故答案为：13.如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若AE⋅BF=−2，则______．答案：2解析：思路：根据平面向量基本定理和向量的数量积进行求解即可.解答过程：因为，则因为，所以.又，所以，化简得，解得（负值舍去），即.14.设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________．答案：解析：思路：先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，再结合B的范围求出c的范围.解答过程：由及余弦定理可得，即，所以．又为锐角三角形，所以．由正弦定理可得．由且可得，所以，所以，即．故的取值范围为．故答案为方法提示：(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）．（1）求的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用共轭复数意义及复数的乘法运算计算，再利用纯虚数的意义求得实数m的值；（2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解.（1）依题意，，则，由为纯虚数，得，所以.（2）由（1）得，复数，由复数在复平面对应的点在第一象限，得，解得，所以实数的取值范围是.16.如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）通过证得，且，证得平面，进而证得；（2）设与的交点为，连结，由三角形的中位线定理得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.（1）证明：由底面，且底面，所以，又因为，，且平面，所以平面，因为，所以．（2）证明：设与的交点为，连结，因为是的中点，是的中点，所以，因为平面，且平面，所以平面．17.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求周长的最大值．答案：（1）（2）9解析：思路：（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解；（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解．（1）由正弦定理及，得，，，．（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．18.如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点．（1）若，证明：；（2）若，求的值；（3）若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．解析：（1）证明：因为点为的中点，所以，因为，所以，所以．（2）解：设，由，得，即，即，因为不共线，所以，解得．（3）解：因为是边长为2的正三角形，点为的中点，所以BC=2,CP=则因为，所以，所以的取值范围是．19.如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面．（1）证明：平面；（2）求的值；（3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证；（2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解；（3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求