北师大版五年级数学下册知识点详解及练习第七单元用方程解决问题

北师大版五年级数学下册第七单元“用方程解决问题”知识点详解及练习引言同学们，我们已经迈入了方程的世界，并且学习了如何解简单的方程。本单元，我们将聚焦于如何运用方程这一强大的数学工具来解决生活中的实际问题。“用方程解决问题”不仅仅是一种解题方法，更是一种数学思想的体现——它能帮助我们更清晰地梳理数量之间的关系，化繁为简，特别是对于一些逆向思考的问题，方程往往能提供一条直达核心的路径。让我们一起深入探索，掌握用方程解决问题的秘诀吧！一、核心知识点回顾与梳理在用方程解决问题之前，我们先来回顾几个至关重要的概念和步骤：1.方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。这意味着，一个方程必须同时满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。2.等式的性质：这是我们解方程的依据。*等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。*等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。3.解方程：求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。解方程时要注意书写格式，“解”字不能忘，等号要对齐。4.用方程解决问题的一般步骤：*审清题意，找出关键信息：认真读题，理解题意，明确题目讲的是什么事情，已知什么，要求什么。*找出等量关系，并用文字表述：这是列方程的核心！要分析题目中数量之间的相等关系，并用简洁的文字把这个关系表示出来。*设未知数：根据等量关系中哪个量是未知的，合理地设出未知数，通常用字母“x”表示。设未知数时，要写明单位（在设句的最后）。*根据等量关系列方程：把文字表述的等量关系，用含有未知数x的式子表示出来，列出方程。*解方程：运用等式的性质求出未知数x的值。*检验并写出答语：把求出的x的值代入原方程中检验，看左右两边是否相等；同时也要检验这个结果是否符合实际问题的意义。检验无误后，写出完整的答语。二、典型问题与解题策略详解（一）“比一个数的几倍多（少）几”的问题这类问题的特点是：已知一个数的几倍是多少，或者比一个数的几倍多几（少几）是多少，求这个数。等量关系探寻：*设这个数为x。*“一个数的几倍”就是“x×倍数”。*“比一个数的几倍多几”就是“x×倍数+几”。*“比一个数的几倍少几”就是“x×倍数-几”。*这个结果通常等于题目中给出的另一个已知量。例题详解：学校图书馆买来一批新书，其中故事书有120本，是科技书数量的2倍还多10本。科技书买了多少本？*审题：已知故事书120本，故事书是科技书的2倍还多10本。求科技书的数量。*找等量关系：科技书的数量×2+10本=故事书的数量（120本）*设未知数：设科技书买了x本。*列方程：2x+10=120*解方程：2x+10-10=120-10（等式两边同时减去10）2x=1102x÷2=110÷2（等式两边同时除以2）x=55*检验：把x=55代入原方程，左边=2×55+10=120，右边=120，左边=右边，所以x=55是方程的解。同时，55本科技书的2倍多10本确实是120本故事书，符合题意。*答：科技书买了55本。（二）“已知两个数的和（差）以及它们之间的倍数关系”的问题（和倍、差倍问题）这类问题的特点是：已知两个数的和或者差，并且知道这两个数中一个数是另一个数的几倍，求这两个数分别是多少。等量关系探寻：*通常设较小的数为x（1倍数）。*则另一个数就是“x×倍数”（几倍数）。*和倍问题：较小数+较大数=两数之和，即x+(x×倍数)=和。*差倍问题：较大数-较小数=两数之差，即(x×倍数)-x=差。例题详解（和倍问题）：果园里有苹果树和梨树共150棵，苹果树的棵数是梨树的4倍。苹果树和梨树各有多少棵？*审题：苹果树和梨树总和150棵，苹果树是梨树的4倍。求两种树各多少棵。*找等量关系：梨树的棵数+苹果树的棵数=150棵。苹果树棵数=梨树棵数×4。*设未知数：设梨树有x棵，则苹果树有4x棵。*列方程：x+4x=150*解方程：5x=150（合并同类项）5x÷5=150÷5x=30苹果树：4x=4×30=120*检验：30+120=150（棵），120÷30=4。符合题意。*答：梨树有30棵，苹果树有120棵。例题详解（差倍问题）：爸爸的年龄比小明大28岁，今年爸爸的年龄是小明的5倍。小明今年多少岁？爸爸呢？*审题：爸爸比小明大28岁，爸爸年龄是小明的5倍。求小明和爸爸今年的年龄。*找等量关系：爸爸的年龄-小明的年龄=28岁。爸爸的年龄=小明的年龄×5。*设未知数：设小明今年x岁，则爸爸今年5x岁。*列方程：5x-x=28*解方程：4x=284x÷4=28÷4x=7爸爸年龄：5x=5×7=35*检验：35-7=28（岁），35÷7=5。符合题意。*答：小明今年7岁，爸爸今年35岁。（三）“行程问题”中的相遇问题（相向而行）这类问题的特点是：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间后相遇，已知总路程和两者的速度（或速度关系），求相遇时间或其中一个速度。等量关系探寻：*路程=速度×时间。*基本等量关系：甲走的路程+乙走的路程=总路程。*若已知相遇时间，则：甲的速度×时间+乙的速度×时间=总路程。*若已知其中一个速度是另一个速度的几倍或多（少）几，则可以设一个速度为x，表达出另一个速度。例题详解：A、B两地相距300千米，甲车从A地出发，每小时行60千米，乙车从B地出发，每小时行40千米。两车同时出发，相向而行，经过几小时相遇？*审题：总路程300千米，甲速度60km/h，乙速度40km/h，同时相向而行。求相遇时间。*找等量关系：甲车行的路程+乙车行的路程=300千米。*设未知数：设经过x小时相遇。*列方程：60x+40x=300*解方程：100x=300100x÷100=300÷100x=3*检验：甲车3小时行60×3=180千米，乙车3小时行40×3=120千米，180+120=300千米。符合题意。*答：经过3小时相遇。（四）“用算术方法解逆思考”的问题有些问题用算术方法解答需要逆向思考，步骤较多，而用方程解答，顺着题意列方程，会更简便。例如：一个数加上它的一半等于7.5，求这个数。等量关系探寻：这类问题要根据题目叙述的顺序，找出数量之间的相等关系。例题详解：一个数的3倍减去1.2与5的积，差是63，求这个数。*审题：一个数的3倍，减去1.2乘5的积，结果是63。求这个数。*找等量关系：一个数×3-1.2×5=63*设未知数：设这个数是x。*列方程：3x-1.2×5=63*解方程：3x-6=63（先算1.2×5）3x-6+6=63+63x=693x÷3=69÷3x=23*检验：23×3-1.2×5=69-6=63。符合题意。*答：这个数是23。三、巩固练习基础练习1.公园里有月季花240盆，比菊花的3倍少15盆。菊花有多少盆？2.小红和小明共有邮票120张，小红的邮票张数是小明的2倍。小红和小明各有多少张邮票？3.学校合唱队比舞蹈队多24人，合唱队的人数是舞蹈队的3倍。合唱队和舞蹈队各有多少人？4.妈妈买了3千克苹果和2千克香蕉，一共用去29.2元。苹果每千克5.6元，香蕉每千克多少元？（提示：苹果总价+香蕉总价=总钱数）5.两地相距450米，甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，甲每分钟走55米，乙每分钟走45米，几分钟后两人相遇？提高练习1.一个长方形的周长是48厘米，长是宽的2倍。这个长方形的长和宽分别是多少厘米？（提示：长方形周长=(长+宽)×2）2.今年爷爷的年龄是小华的6倍，爷爷比小华大55岁。今年爷爷和小华各多少岁？3.甲、乙两车同时从同一地点向相反方向开出，甲车每小时行70千米，乙车每小时行55千米，几小时后两车相距375千米？（提示：背向而行，路程和等于相距距离）4.某工厂计划生产一批零件，已经生产了150个，剩下的如果每天生产80个，还需要4天完成。这批零件一共有多少个？5.小明买了一支钢笔和一本笔记本共用去12.6元，钢笔的价钱是笔记本的2.5倍。钢笔和笔记本的单价各是多少元？四、总结与温馨提示用方程解决问题是小学数学中的一个重要转折点，它不仅能帮助我们解决更复杂的实际问题，更能培养我们的逻辑思维能力和抽象概括能力。同学们在解题时，要牢记以下几点：1.“等量关系”是灵魂：列方程的关键在于准确找出题目中的等量关系。可以尝试用画图、列表等方法帮助理解和分析。2.“设未知数”要合理：通常设题目中“谁是谁的几倍”、“谁比谁多（少）”中的“谁”为x，即设“1倍数”或“标准量”为x。设完后，要在设句中写清楚单位。3.“列方程”要依据等量关系：将文字描述的等量关系，“翻译”成含有未知数x的等式。4.“解方程”要