2026届安徽六安第一中学高三下学期第十次月考数学试卷-含解析

/数学满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∈A.8 B.16 C.32 D.无数个2.在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（

）A. B. C. D.3.如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（

）A. B.C. D.4.设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（）A. B.C. D.5.等比数列中，与的等差中项为，若，则（

）A. B. C. D.6.已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（

）A. B. C.7 D.97.对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.8.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（

）A. B. C. D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（

）A.若，则事件A与B为对立事件B.若，则事件A与B为互斥事件C.若，，则D.若，则10.已知函数，则下列说法正确的是（

）A.若，则在上单调递增B.若，则的图象关于点中心对称C.若在上恰有三个零点，则D.若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为211.某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（

）（参考：，，计算结果精确到元）A.等额本息方案，每月还款金额为10196元B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元C.等额本金方案，所有的利息和为2430元D.等额本金方案比等额本息方案还款的利息少三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______.13.已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______.14.已知球是正三棱锥的外接球，AB=3,PA=5,AE→=1四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为．（1）求；（2）若的周长为，求的面积．16.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.17.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围.18.双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为.（1）如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程；（2）按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为.（i）求证：数列为等比数列；（ii）求数列的通项公式.19.设，集合（为向量），若，定义．（1）若，且，写出所有的；（2）若，且，设满足的的个数为，求的值；（3）从集合中任取两个不同的向量，记，求X的分布列与数学期望．

数学满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∈A.8 B.16 C.32 D.无数个答案：B解析：思路：化简集合，即可求出集合A的子集个数.解答过程：由题意，在A=，解得，∴，∴集合A的子集个数是.2.在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由复数对应的点关于实轴对称，且，得，所以z13.如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（

）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先将直观图还原，然后去求即可.解答过程：由题意，在直观图中，与轴平行且，所以在还原图中，与轴平行且.直观图中，与轴重合且，所以在还原图中，与轴重合且.由题意可知，在还原图中，..4.设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解.解答过程：对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方，所以且，所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误；对B，函数单调递增，且图象过原点，所以且，所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确；对C，函数单调递减，且图象过原点，所以且，所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误；对D，函数单调递减，且图象过原点，所以且，所以函数单调递减，故D错误.故选：B5.等比数列中，与的等差中项为，若，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据等差中项和等比数列的性质即可求解.解答过程：由于与的等差中项为17，所以a2+a又由于，可得，因为数列是等比数列，是的等比中项，有a42=a所以a42=又因为a2=2>0，且公比为实数且不为0，所以a因此，故C正确.6.已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（

）A. B. C.7 D.9答案：B解析：思路：求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值.解答过程：由题意，在圆中，，圆心，半径，在抛物线中，点为抛物线上一点，∴，连接，设切点为，，分别与点连接，则切线,由几何知识，，CD=CE∵PC=∴由勾股定理得，PD=在中，对称轴，函数开口向上,∴函数在上单调递增，∴切线PD=PE=PDmin7.对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数求出函数的零点，由定义确定函数零点所在的区间，再利用零点的意义分离参数并构造函数，利用导数参数的取值范围.解答过程：函数的定义域为R，求导得，函数在R上单调递增，而，因此函数有唯一零点2026，即，由，得，解得，则函数在上存在零点，令，由，得，由，得，则，依题意，在上有解，令函数，求导得，当时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，而，则函数在的值域为，所以的取值范围为.8.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（

）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值.解答过程：对于式子变为两边同乘，可得，即，化简为cosC4由正弦定理得，，即移项得到：，因为，故2m=cosC−2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（

）A.若，则事件A与B为对立事件B.若，则事件A与B为互斥事件C.若，，则D.若，则答案：CD解析：思路：根据对立事件的定义可判断A；根据互斥事件的定义可判断B；由条件概率的公式PBA=PA解答过程：对于A：由，故，则事件A、B互斥，不能得到事件A、B对立，故A错误；对于B：若则事件A和B相互独立，而互斥事件的定义是，故B错误；对于C：PA=1−P对于D：，，若则，故D正确.10.已知函数，则下列说法正确的是（

）A.若，则在上单调递增B.若，则的图象关于点中心对称C.若在上恰有三个零点，则D.若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2答案：BCD解析：思路：利用正弦型函数的图像性质可判断A、B；根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满足的不等式求解，可判断C；根据正弦函数平移的性质可判断D.解答过程：对于A，若，可得，当，可得，当时，即时，函数单调递增；当时，即时，函数单调递减，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误；对于B，若，可得f(x)=sin所以的图象关于点中心对称.所以B正确;对于C，当，可得，要使得函数在上恰有三个零点，则需要包含，则满足2π≤2ω对于D，将的图象向左平移个单位长度后，可得，要使得函数的图象关于轴对称，则满足ωπ3−解得，因为，所以的最小值为.所以D正确.11.某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（

）（参考：，，计算结果精确到元）A.等额本息方案，每月还款金额为10196元B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元C.等额本金方案，所有的利息和为2430元D.等额本金方案比等额本息方案还款的利息少答案：ABD解析：思路：对于BC选项，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可；对于A选项，等额本息的还款方案，结合等比数列的判定及求和公式计算；对于D选项，通过比较两种还款方案的利息进行判断.解答过程：对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元），则，，…，，所以B选项正确；所还的利息总数为0.3%×1+2+3+⋯+12所以C选项错误；对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元），则，b2=12−c1×0.3%=0.036−0.3%=1+0.3%同理可得：c4=1+0.3%3⋅所以是以为首项，为公比的等比数列，其前12项的和为：c11−1+0.3%所以每月的还款额为，故A选项正确；所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元，又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元，因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确.综上所述，选项ABD正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______.答案：9解析：思路：利用平面向量三点共线的结论得到，利用基本不等式中“1”的妙用求解.解答过程：、、三点共线（该直线不过原点），且，，，当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为.13.已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______.答案：##解析：思路：根据椭圆定义和余弦定理可构造方程，利用表示出的长度，再利用余弦定理构造关于的齐次式即可求得离心率.解答过程：设，则，由椭圆定义可知：，，由余弦定理得：，整理可得：，（舍）或，，，，，，即，的离心率.14.已知球是正三棱锥的外接球，AB=3,PA=5,AE→=1答案：解析：思路：作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.解答过程：如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，因为，，所以，则，因为AE→=13EB→，取的中点，所以设正三棱锥外接球的半径为，则，得，所以，故，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，17π16=πr2，则r所以OS2=所以与该截面所成角为，故sin∠OES=即与该截面所成角为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为．（1）求；（2）若的周长为，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求出A角正弦值，最后根据A为钝角确定角A大小；（2）先用余弦定理求出a与b的关系，再结合周长条件解出b，最后代入面积公式得到结果.（1）因为，由正弦定理得，因为的面积为，所以，即，所以，因为为钝角，所以．（2）由余弦定理，所以，又，所以，故.16.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，进而得，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可得解.（1）取的中点，连接，如图所示，因为为的中点，所以.在等腰梯形中，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为，故，故以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，，则此梯形的高为.因为，则，所以.设平面的法向量为，则有，即，取，则，，即.则点到平面的距离.17.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围.答案：（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）解析：思路：（1）求导得，对分类讨论可得函数的单调性;（2）求导可得时函数在上单调递增，将不等式化为恒成立，即对恒成立，令并求出其最小值即可.（1）函数的定义域为，由，①当时，，则函数在上单调递减；②当时，，则函数在上单调递增；③当时，，令，得，令，得或，故函数在上单调递减，在上单调递增；④当时，，令，可得，令，得或，故函数在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，可得，此时恒成立，所以在上单调递增，若对，有恒成立，可得恒成立，且，即；可等价于对恒成立，令，则；因为时，恒成立，因此在上单调递增，所以即可满足题意，因此实数m的取值范围为18.双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为.（1）如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程；（2）按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为.（i）求证：数列为等比数列；（ii）求数列的通项公式.答案：（1）（2）（i）证明见解析；（ii）.解析：思路：（1）设的方程为，根据题意得到，设，，则代入方程可得的等式，又，得到，从而得到的方程；（2）（i）求出，由得到，，，，从而得到得到直线，直线和双曲线联立方程组，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到，又点在直线上，将代入直线的方程，从而得到，通过计算得到数列是以为首项，以为公比的等比数列.（ii）由（i）得到数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，通过计算得到.（1）设的方程为，因的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，则，设，，则，将代入方程可得，且，解得，，故该双曲线的标准方程为；（2）（i），，直线，因为，可得，，，，直线，即，联立方程组，整理得，则恒成立，所以，即①，又因为满足直线方程，所以，即②，设，由①②得，所以，解得，当时，，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列.（ii）由（i）知③，当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，④，由③减去④整理得到.19.设，集合（为向量），若，定义．（1）若，且，写出所有的；（2）若，且，设满足的的个数为，求的值；（3）从集合中任取两个不同的向量，记，求X的分布列与数学期